Hệ thống kiến thức cần ghi nhớ môn toán

I. Bài toán Tìm số trung bình cộng 1. Muốn tìm trung bình cộng của nhiều số ta lấy tổng chia cho số các số hạng. 2. Muốn tìm tổng các số hạng ta lấy trung bình cộng nhân với số các số hạng. 3. Trong dãy số cách đều: - Trung bình cộng của một dãy gồm số lẻ các số cách đều nhau thì bằng số ở chính giữa của dãy số đó. VD : Cho dãy số : 1; 3; 5; 7; 9; 11, 13 TBC của dãy số gồm số các số lẻ cách đều nhau bằng số ở chính giữa của dãy số. Vậy TBC của dãy số trên bằng 7 - Trung bình cộng của một dãy số chẵn các số cách đều nhau thì bằng trung bình cộng của một cặp số cách đều hai đầu dãy số. VD : Cho dãy số : 1; 3; 5; 7; 9; 11 TBC của dãy số trên = (1 + 11) : 2 = (3 + 9) : 2 = (5 +7) : 2 = 6 4. Một số bằng trung bình cộng của các số còn lại thì số đó chính bằng trung bình cộng của tất cả các số đã cho VD : TBC của ba số 3; 8 và 13 là 8. Ta thấy 8 bằng TBC của ba số và 8 cũng bằng TBC của hai số còn lại 3 và 13 : (3 + 13 ) : 2 = 8 5. Trong các số, nếu có một số lớn hơn mức trung bình cộng của các số n đơn vị thì trung bình cộng của các số đó bằng tổng của các số còn lại cộng với n đơn vị rồi chia cho các số hạng còn lại đó. Ví dụ: An có 20 viên bi, Bình có số bi bằng số bi của An. Chi có số bi hơn mức trung bình cộng của ba bạn là 6 viên bi. Hỏi Chi có bao nhiêu viên bi? Bài giải Số bi của Bình là : 20 x = 10 (viên) Nếu Chi bù 6 viên bi cho hai bạn còn lại rồi chia đều thì số bi của ba bạn sẽ bằng nhau và bằng trung bình cộng của cả ba bạn. Vậy trung bình cộng số bi của ba bạn là: (20 + 10 + 6) : 2 = 18 (viên) Số bi của Chi là: 18 + 6 = 24 (viên) Đáp số: 24 viên bi 6. Trong các số, nếu một số kém trung bình cộng của các số đó tn đơn vị thì trung bình cộng của các số đó bằng tổng các số còn lại trừ đi n đơn vị rồi chia cho số lượng các số hạng còn lại. Ví dụ : Có ba tổ trồng cây, tổ một trồng được 8 cây, tổ hai trồng được 10 cây. Tổ ba trồng được ít hơn số trung bình cộng của cả ba tổ là 2 cây. Hỏi trung bình mỗi tổ đã trồng được bao nhiêu cây và số cây tổ ba đã trồng được ? Giải Vì tổ ba trồng ít hơn số trung bình cộng của cả ba tổ là 2 cây, suy ra tổ ba đã được bù 2 cây từ tổ 1 và tổ 2 để đạt số cây trung bình. Số cây trung bình mỗi tổ trồng được là : (8 + 10 - 2 ) : 2 = 8 (cây) Số cây tổ ba đã trồng được là : 8 - 2 = 6 (cây) Đáp số : 8 cây, 6 cây Lưu ý: + ở dạng này cần đọc kĩ xem số hạng chưa biết lớn hơn (hay bé hơn) số trung bình cộng. + Nếu số hạng chưa biết lớn hơn số trung bình cộng là a đơn vị ; chứng tỏ số hạng đó phải bù cho các số hạng còn lại đúng a đơn vị để được số trung bình cộng. + Nếu số hạng chưa biết bé hơn số trung bình cộng là a đơn vị ; chứng tỏ số hạng đó đã được bù từ các số hạng còn lại đúng a đơn vị để được số trung bình cộng. Cách giải : Bước 1 : Xác định các số hạng đã cho (a1; a2 ; a3 ; ) Bước 2 : Tính số trung bình cộng bằng cách : + Tính tổng các số hạng đã biết : số hạng 1 + số hạng 2 + số hạng 3 + Thêm (hoặc bớt) a đơn vị vào tổng tìm được. + Chia tổng đó cho số số hạng đã biết. Bước 3 : Tính số hạng còn lại bằng cách : Lấy số trung bình cộng rồi cộng (hoặc trừ) với a. 7. Bài toán có thêm một số hạng để mức trung bình cộng của tất cả tăng thêm n đơn vị, ta làm như sau: Bước 1: Tính tổng ban đầu Bước 2: Tính trung bình cộng của các số đã cho Bước 3: Tính tổng mới = (trung bình cộng của các số đã cho + n) x số lượng các số hạng mới. Bước 4: Tìm số đó = tổng mới - tổng ban đầu Ví dụ: Một ô tô trong 3 giờ đầu, mỗi giờ đi được 40km, trong 3 giờ sau, mỗi giờ đi được 50 km. Nếu muốn tăng mức trung bình cộng mỗi giờ tăng thêm 1km nữa thì đến giờ thứ 7, ô tô đó cần đi bao nhiêu ki-lô-mét nữa? Bài giải Trong 6 giờ đầu, trung bình mỗi giờ ô tô đi được: (40 x 3 + 50 x 3 ) : 6 = 45 (km) Quãng đường ô tô đi trong 7 giờ là : (45 + 1) x 7 = 322 (km) Giờ thứ 7 ô tô cần đi là: 322 - (40 x 3 + 50 x 3) = 52 (km) Đáp số: 52km II. Bài toán Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó. Cách giải Cách 1 : Bước 1 : Xác định tổng, xác định hiệu đã cho trong đề bài (có thể biểu thị trên sơ đồ tóm tắt với các đoạn thẳng). Bước 2 : Tìm số bé = (Tổng – Hiệu) : 2 Bước 3 : Tìm số lớn = số bé + hiệu Cách 2 : Bước 1 : Xác định tổng, xác định hiệu đã cho trong đề bài (có thể biểu thị trên sơ đồ tóm tắt với các đoạn thẳng). Bước 2 : Tìm số lớn = (Tổng + Hiệu) : 2 Bước 3 : Tìm số bé = số lớn - hiệu 3. Bài toán Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó. Cách giải : Bước 1: Xác định tổng, xác định tỉ số và biểu diễn tổng, tỉ trên sơ đồ đoạn thẳng tóm tắt bài toán. Bước 2 : Theo sơ đồ để tìm tổng số phần bằng nhau. Bước 3 : Tìm giá trị một phần Bước 4 : Tìm số lớn (hoặc số bé) Bước 5 : Tìm số bé (hoặc số lớn) và ghi đáp số. 4. Bài toán Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó. Cách giải : Bước 1: Xác định hiệu và tỉ của hai số đã cho trong đề bài và biểu thị trên sơ đồ đoạn thẳng tóm tắt bài toán. Bước 2: Theo sơ đồ tìm hiệu số phần bằng nhau. Bước 3: Tìm giá trị của một phần. Bước 4: Tìm số bé ( hoặc số lớn). Bước 5: Tìm số lớn (hoặc số bé) và đáp số. Hình hoc 1. Các quy tắc tính toán với hình phẳng 1.1. Hình chữ nhật P = (a + b) x 2 a = P : 2 - b = S : b a + b = P : 2 b = P : 2 - a = S : a S = a x b Trong đó: S là diện tích; P là chu vi.; a là chiều dài; b la chiều rộng. 1.2. Hình vuông P = a x 4 a = P : 4 S = a x a Trong đó: S là diện tích; P là chu vi; a là cạnh. 1.3. Hình bình hành P = (a + b) x 2 (a + b) = P : 2 a = P : 2 - b b = P : 2 - a S = a x h a = S : h h = S : a Trong đó: S là diện tích; P là chu vi; a là cạnh bên; b là cạnh đáy; h là chiều cao. 1.4. Hình thoi P = a x 4 a = P : 4 S = m x n : 2 m x n = 2 x S m = 2 x S : n n = 2 x S : m 1.5. Hình tam giác S = a x h : 2 a = S x 2 : h h = S x 2 : a Trong đó: S là diện tích; a là đáy; h là chiều cao. 1. 6. Hình thang S = (a + b) x h : 2 a = S x 2 : h - b b = S x 2 : h - a h = S x 2 : (a + b) a + b = S x 2 : h Trong đó: S là diện tích; a là đáylớn; b là đáy bé; h là chiều cao. 1.7. Hình tròn C = d x 3, 14 = r x 2 x 3,14 d = C : 3,14 r = C : (3,14 x 2) r = d : 2 S = r x r x 3, 14 r x r = S : 3,14 2. Các quy tắc tính toán với hình khối 2.1. Khối hộp chữ nhật P đáy = (a + b) x 2 S đáy = a x b S xq = P đáy x c S tp = S xq + S đáy x 2 V = a x b x c P đáy = S xq : c S đáy = V : c Trong đó: a là chiều dài; b là chiều rộng; c là chiều cao; P là chu vi; S là diện tích; V là thể tích. 2.2. Khối lập phương P đáy = a x 4 S đáy = a x a S xq = a x a x 4 S tp = a x a x 6 V = a x a x a Trong đó: a là cạnh; P là chu vi; S là diện tích; V là thể tích. 3. Quan hệ tỉ lệ giữa các đại lượng hình học 3.1. Trong hình chữ nhật - Nếu diện tích hình chữ nhật không thay đổi thì chiều dài tỉ lệ nghịch với chiều rộng. - Nếu chiều dài hình chữ nhật không thay đổi thì diện tích tỉ lệ thuận với chiều rộng - Nếu chiều rộng hình chữ nhật không thay đổi thì diện tích tỉ lệ thuận với chiều dài. 3.2. Trong hình vuông - Chu vi hình vuông tỉ lệ với cạnh của nó - Nếu cạnh hình vuông được gấp lên n lần thì diện tích hình vuông được gấp lên n x n lần (n > 1). 3.3. Trong hình tam giác - Nếu hai hình tam giác có đáy bằng nhau thì diện tích của chúng tỉ lệ thuận với chiều cao tương ứng. - Nếu hai hình tam giác có chiều cao bằng nhau thì diện tích tỉ lệ thuận với đáy tương ứng. - Nếu diện tích tam giác không thay đổi thì đáy của chúng tỉ lệ nghịch với chiều cao tương ứng. 3.4. Trong hình tròn: Chu vi hình tròn tỉ lệ thuận với đường kính hoặc bán kính của nó. 4. Quy tắc cộng trừ diện tích 4.1. Khi tách một hình bình hành thành nhiều hình nhỏ thì diện tích hình ban đầu bằng tổng diện tích các hình nhỏ. 4.2. Nếu hai hình có diện tích bằng nhau mà có một phần chung thì diện tích hai phần còn lại sẽ bằng nhau. 4.3. Khi cộng hoặc trừ cùng một diện tích thứ 3 vào hai diện tích bằng nhau thì ta vẫn được hai diện tích bằng nhau. Toán chuyển động 1. Mỗi quan hệ giữa quãng đường (s), vận tốc (v) và thời gian (t) 1.1. Vận tốc: v = 1.2. Quãng đường: s = v x t 1.3. Thời gian: t = s : v - Với cùng một vận tốc thì quãng đường và thời gian là 2 đại lượng tỉ lệ thuận với nhau. - Với cùng một thời gian thì quãng đường và vận tốc là 2 đại lượng tỉ lệ thuận với nhau. - Với cùng một quãng đường thì vận tốc và thời gian là 2 đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau. 2. Bài toán có một động tử (chỉ có một vật tham gia chuyển động,ví dụ: ô tô, xe máy, xe đạp, người đi bộ, xe lửa, ) 2.1. Thời gian đi = thời gian đến - thời gian khởi hành - thời gian nghỉ (nếu có). 2.2. Thời gian đến = thời gian khởi hành + thời gian đi + thời gian nghỉ (nếu có). 2.3. Thời gian khởi hành = thời gian đến - thời gian đi - thời gian nghỉ (nếu có). 3. Bài toán động tử chạy ngược chiều 3.1. Thời gian gặp nhau = quãng đường : tổng vận tốc 3.2. Tổng vận tốc = quãng đường : thời gian gặp nhau 3.3. Quãng đường = thời gian gặp nhau tổng vận tốc 4. Bài toán động tử chạy cùng chiều 4.1. Thời gian gặp nhau = khoảng cách ban đầu : hiệu vận tốc 4.2. Hiệu vận tốc = khoảng cách ban đầu : thời gian gặp nhau 4.3. Khoảng cách ban đầu = thời gian gặp nhau hiệu vận tốc 5. Bài toán động tử trên dòng nước 5.1. Vận tốc xuôi dòng = vận tốc của vật + vận tốc dòng nước 5.2. Vận tốc ngược dòng = vận tốc của vật - vận tốc dòng nước 5.3. Vận tốc của vật = (vận tốc xuôi dòng + vận tốc ngược dòng) : 2 5.4. Vận tốc dòng nước = (vận tốc xuôi dòng - vận tốc ngược dòng) : 2 6. Động tử có chiều dài đáng kể 6.1. Đoàn tàu có chiều dài bằng l chạy qua một cột điện Thời gian chạy qua cột điện = l : vận tốc đoàn tàu 6.2. Đoàn tàu có chiều dài l chạy qua một cái cầu có chiều dài d Thời gian chạy qua cầu = (l + d) : vận tốc đoàn tàu 6.3. Đoàn tàu có chiều dài l chạy qua một ô tô đang chạy ngược chiều (chiều dài của ô tô là không đáng kể) Thời gian đi qua nhau = cả quãng đường : tổng vận tốc 6.4. Đoàn tàu có chiều dài l chạy qua một ô tô chạy cùng chiều (chiều dài ô tô là không đáng kể) Thời gian đi qua nhau = cả quãng đường: hiệu vận tốc