Hệ thống các vấn đề cơ bản của Toán 9

tâm thì vuông góc với dây cung ấy. 5 . Quan hệ giữa dây cung và khoảng cách đến tâm : * Định lí 1 : Trong một đường tròn hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm . * Định lí 2 : Trong hai dây cung không bằng nhau của một đường tròn, dây cung lớn hơn khi và chỉ khi nó gần tâm hơn . 2, Mối quan hệ giữa cung và dây cung: * Định lí 1: Đối với hai cung nhỏ trong một đường tròn: a, Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau b, Đảo lại, hai dây bằng nhau trương hai cung bằng nhau. * Định lí 2: Đối với hai cung nhỏ trong một đường tròn: a, Cung lớn hơn căng dây lớn hơn b, Dây lớn hơn trương cung lớn hơn. KHI CHứNG MINH HìNH CầN KHAI THáC GIả THIếT Và PHÂN TíCH ĐI LÊN Từ KếT LUậN A.Khai thác giả thiết -Khi chứng minh Hình cần khai thác những điều có được từ đầu bài ,những điều đã chứng minh được.Đặc biệt cần chú ý những điều sau: I.Nếu có điểm thuộc đường tròn thì nghĩ tới 1, Các bán kính bằng nhau 2, Tứ giác nội tiếp 3,Các góc với đường tròn.Đặc biệt nếu có đường kính thì sẽ có góc vuông II. Nếu có Tứ giác nội tiếp thì nghĩ tới 1,Các góc đối bù nhau 2, 4 cặp góc nội tiếp bằng nhau(nếu nối 2 đường chéo) 3, Góc trong bằng góc ngoài ở đỉnh đối( Phải chứng minh) 4, Điểm thuộc đường tròn III. Nếu có Tiếp tuyến thì nghĩ tới 1,Các tính chất Vuông góc , cách đều , phân giác 2, Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung IV. Quan hệ Góc - Cung - Dây - Khoảng cách từ tâm đến dây V .Nếu có tam giác cân, tam giác đều , hình bình hành , hình chữ nhật , hình thoi, hình vuôngthì nghĩ tới Tính chất của các hình ấy VI.Nếu có góc vuông , tam giác vuông thì nghĩ tới định lý Pi ta go và các hệ thức lượng trong tam giác vuông VII.Nếu có 2 đường thẳng song song thì nghĩ tới Định lý Ta Lét và các cặp góc So le trong , Đồng vị VIII.Nếu có đường phân giác , đường trung tuyến , đường cao , trung trực của tam giác thì nghĩ tới tính chất của chúng B.phân tích đi lên từ kết luận(Dựa vào các phép chứng minh) I - Chứng minh các yếu tố bằng nhau. 1. Chứng minh hai góc bằng nhau. C1 Thường CM chúng là hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau hoặc đồng dạng. C2/ Nếu là hai góc trong 1 tam giác thường CM chúng là hai góc ở đáy của tam giác cân. C3/ Nếu là hai góc đối trong một tứ giác ta thường CM tứ giác đó là hình bình hành. C4/ Nếu là hai góc kề trong một tứ giác thường CM tứ giác là hình thang cân. C6/ Nếu là hai góc So le trong hoặc đồng vị thường chứng minh hai đường thẳng song song. C7/ Nếu là hai góc trong đường tròn ta thường chuyển về chứng minh cung , dây tương ứng bằng nhau. C8/ Ngoài ra ta có thể sử dụng: hai góc có cùng số đo (tính cụ thể), tính chất tia phân giác, hai góc đối đỉnh, cặp góc có cạnh tương ứng vuông góc hay song song, *Chú ý: Nếu không cm được trực tiếp. Ta nghĩ tới việc sử dụng góc thứ 3 làm trung gian. (CM chúng cùng bằng ,cùng bù,cùng phụ với 1góc .Hay 2 góc cùng bằng tổng ,hiệu của 2 góc bằng nhau.) 2. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau. C1/ Thông thường gắn vào hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau. C2/ CM là hai cạnh bên của một tam giác cân hoặc hình thang cân. C3/ CM là hai cạnh đối của hình bình hành (HCN, Hình thoi, Hình vuông). C4/Sửdụngđịnh nghĩa:Trung điểm đường trung tuyến, đường trung trực,bán kính , tiếp tuyến C5/ Sử dụng định lí thuận đảo về đường trung bình trong tam giác, hình thang. C6/ Nếu là 2 đường chéo trong 1 tứ giác thường CM tứ giác là Hình thang cân, HCN, HV. C7/ Nếu là 2 dây cung trong 1 đường tròn thường chuyển về dây , góc , kc đến tâm tương ứng. *Chú ý: Ngoài ra ta có thể chứng minh bằng cách: + Biến đổi đại số trên đoạn thẳng bằng nhau. + Chứng minh hai đoạn thẳng có cùng số đo. + Sử dụng tính chất bắc cầu hay CM phản chứng. II-Chứng minh 2 đường thẳng song song, 2 đường thẳng vuông góc 1. Chứng minh hai đường thẳng song song. C1/CM cùng song song hoặc cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba. C2/ CM 1 cặp góc So le trong hoặc đồng vị bằng nhau , hoặc 1 cặp Trong cùng phía bù nhau. C3/ Nếu là 2 cạnh trong 1 tứ giác thường CM tứ giác là Hình bình hành C4/ Nếu có các đoạn thẳng tỉ lệ: ta sử dụng định lí đảo của định lí Talét. C5/ Nếu có nhiều trung điểm thường dùng đường trung bình của tam giác , hình thang. 2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc. C1/ Cm chúng là 2 tia phân giác của 2 góc kề bù hay hai đường thẳng cắt nhau tạo ra góc bằng 900. C2/ Sử dụng tính chất đồng qui của ba đường cao trong tam giác. Sử dụng tính chất đường cao ứng với cạnh đáy trong tam giác cân hoặc đường trung trực. C3/ Sử dụng tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn. Đường kính của đường tròn đi qua trung điểm của dây cung hay tính chất của tiếp tuyến. C4/ Nếu có độ dài: Sử dụng định lí đảo của định lí Pytago. C5/ Nếu là 2 đường chéo trong 1 tứ giác thường chứng minh tứ giác là hình thoi C6/ Chứng minh đường thẳng này vuông góc với đường thẳng song song với đường kia hoặc song song với đường thẳng vuông góc với đường kia. III - chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui. 1. Chứng minh ba điểm thẳng hàng: ( Cùng thuộc một đường thẳng ) Cần chứng minh ba điểm: A, B, C thẳng hàng : C1/ AB + BC = AC (hoặc AC + CB = AB, BA + AC = BC). C2/ Chứng minh góc ABC = 1800. C3/ CM: AB, AC cùng song song với một đường thẳng ( Sử dụng tiên đề Ơclit).Hoặc cùng vuông góc với 1 đường thẳng. C4/ Dùng tính chất: Trung điểm 1 đường chéo và 2 đầu đường chéo kia trong hình bình hành thẳng hàng. Đường kính đi qua tâm. 2. Chứng minh ba đường thẳng đồng qui. C1/ Chứng minh đường thẳng thứ ba đi qua giao điểm của hai đường thẳng kia. C2/ Sử dụng tính chất các đường thẳng đồng qui trong một tam giác: 3 đường cao đồng qui, 3 đường trung tuyến đồng qui, 3 đường phân giác đồng qui, 3 đường trung trực đồng qui. C3/ Dùng tính chất : Các đường kính đồng quy tại tâm .Các đường chéo của những hình bình hành có chung 1 đường chéo đồng quy. C4/ Đưa về chứng minh ba điểm thẳng hàng. IV - chứng minh các hình cơ bản. 1. Chứng minh tam giác cân. C1/ CM tam giác có hai góc bằng nhau. C2/ CM tam giác có hai cạnh bằng nhau. C3/ CM tam giác có một đường đi qua đỉnh đồng thời là một đường khác của tam giác. 2. Chứng minh tam giác đều. C1/ CM tam giác có ba cạnh bằng nhau. C2/ CM tam giác có hai góc bằng 600.hoặc 3 góc bằng nhau. C3/ CM tam giác cân có một góc bằng 600.hoặc cạnh bên bằng cạnh đáy. 3. Chứng minh tam giác vuông. C1/ Sử dụng định lí đảo của định lí Pytago (nếu có độ dài). C2/ CM tam giác có một góc bằng 900. C3/ CM tam giác có đường trung tuyến bằng 1/2 cạnh tương ứng. 4. Chứng minh các đường thẳng đặc biệt. Để chứng minh một đường thẳng là: Đường cao, đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực, đường trung bình, trong một tam giác. Ta chứng minh: C1/ Sử dụng tính chất đồng qui của các đường này trong một tam giác. C2/ Sử dụng chính tính chất của các đường ấy: Ví dụ: + Điểm cách đều hai cạnh của góc thì thuộc tia phân giác của góc ấy. + Điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng thì thuộc đường trung trực của đoạn thẳng ấy. Iv - Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn C1/ CM bốn đỉnh cùng cách đều một điểm nào đó (gọi là tâm đường tròn). C2/ CM tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800. C3/ Từ hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn cạnh tạo bởi hai đỉnh còn lại dưới hai góc bằng nhau. C4/ CM tứ giác có tổng các góc đối bằng nhau C5/Cm góc trong bằng góc ngoài ở đỉnh đối. C6/CM tứ giác là hình chữ nhật hoặc hình thang cân. C7/ Chứng minh 2 điểm thuộc đường tròn đường kính là đoạn thẳng nối 2 điểm còn lại. Chú ý: Nếu CM 5 điểm trở lên cùng thuộc một đường tròn. Ta chọn ba điểm cố định rồi chon điểm thứ 4, sau đó CM 4 điểm này cùng thuộc một đường tròn. Sau đó CM tương tự với các điểm còn lại. VI-chứng minh hệ thức , tỉ lệ thức C1/ Gắn vào 2 tam giác đồng dạng. C2/ Nếu có đường thẳng song song thường dùng định lý Ta Lét. C3/Nếu có góc vuông thường dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông C4/ Nếu có phân giác thường dùng tính chất đường phân giác Chú ý: Nếu không chứng minh được trực tiếp thì dùng tính chất bắc cầu. VII-Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn. C1/ Chứng minh đường thẳng vuông góc với bán kính tại đầu thuộc đường tròn. C2/ Chứng minh khoảng cách từ tâm đến đường thẳng bằng bán kính. VIII-các trường hợp bằng nhau và đồng dạng của 2 tam giác. A)Bằng nhau: c. c. c ; c. g.c ; g.c.g B)Đồng dạng : g. g ; c.c.c ; c.g.c IX-Khi giải bài tập tính toán cần ghi nhớ 1.Công thức tính chu vi và diện tích các hình 2.Diện tích tam giác đều 3.Hệ thức lượng trong tam giác vuông ( cả định lý Pi- ta – go) và tỉ số lượng giác của góc nhọn. X-Khi giải bài toán quỹ tích (Thường cho dưới dạng “Khi một điểm chuyển động thì điểm đó di chuyển trên đường nào hoặc chứng minh điểm đó di chuyển trên một đường tròn, cung tròn, hay đường thẳng cố định”) cần xét xem điểm đó có một trong các tính chất sau: (Quỹ tích cơ bản hình học) Nhìn đoạn thẳng cố định một góc vuông là đường tròn đường kính Cách một điểm cố định một khoảng không đổi là đường tròn tâm Nhìn đoạn thẳng cố định một góc không đổi là cung chứa góc Cách đường thẳng cố định một khoảng không đổi là đường thẳng song song ( hoặc vuông góc) Cách đều 2 điểm cố định là đường trung trực của đoạn thẳng Cách đều 2 cạnh một góc cố định là tia phận giác cuả góc Chú ý : Quỹ tích ( còn gọi là tập hợp) phải gắn với yếu tố cố định XI-Khi giải bài toán giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất (bài toán cực trị)trong hình học cần ghi nhớ: 1.Trong tam giác vuông cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông 2.Trong hình thang vuông cạnh xiên lớn hơn cạnh vuông Kết quả: -Với tam giỏc đều cạnh là a, ta cú: + đường cao: + Diện tích: - Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh a là: R= - Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a là: - Hình vuông cạnh a, có độ dài đường chéo: - Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông cạnh a là: - Bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông cạnh a là: Từ các kết quả trên co thể tính ra được chu, diện tích của đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp cua tam giác đều, của hình vuông.