Hàm số tính đơn điệu của Hàm số

xứng Ta xt hệ sau : đây không phải là hệ đối xứng loại 2 nhưng chúng ta vẫn giải hệ được , và từ hệ này chúng ta xây dưng được bài toán phương trình sau : Bài 1 . Giải phương trình: Nhận xét : Nếu chúng ta nhóm như những phương trình trước : Đặt thì chúng ta không thu được hệ phương trình mà chúng ta có thể giải được. Để thu được hệ (1) ta đặt : , chọn sao cho hệ chúng ta có thể giải được , (đối xứng hoặc gần đối xứng ) Ta có hệ : Để giải hệ trên thì ta lấy (1) nhân với k cộng với (2): và mong muốn của chúng ta là có nghiệm Nên ta phải có : , ta chọn được ngay Ta có lời giải như sau : Điều kiện: , Đặt Ta có hệ phương trình sau: Với Với Kết luận: tập nghiệm của phương trình là: Chú ý : khi đã làm quen, chúng ta có thể tìm ngay bằng cách viết lại phương trình ta viết lại phương trình như sau: khi đó đặt , nếu đặt thì chúng ta không thu được hệ như mong muốn , ta thấy dấu của cùng dấu với dấu trước căn. Một cách tổng quát . Xét hệ: để hệ có nghiệm x = y thì : A-A’=B và m=m’, Nếu từ (2) tìm được hàm ngược thay vào (1) ta được phương trình Như vậy để xây dựng pt theo lối này ta cần xem xét để có hàm ngược và tìm được và hơn nữa hệ phải giải được. Một số phương trình được xây dựng từ hệ. Giải các phương trình sau Giải (3): Phương trình : Ta đặt : Các em hãy xây dựng những phương trình dạng này ! III. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 1. Dùng hằng đẳng thức : Từ những đánh giá bình phương : , ta xây dựng phương trình dạng Từ phương trình ta khai triển ra có phương trình : 2. Dùng bất đẳng thức Một số phương trình được tạo ra từ dấu bằng của bất đẳng thức: nếu dấu bằng ỏ (1) và (2) cùng dạt được tại thì là nghiệm của phương trình Ta có : Dấu bằng khi và chỉ khi và , dấu bằng khi và chỉ khi x=0. Vậy ta có phương trình: Đôi khi một số phương trình được tạo ra từ ý tưởng : khi đó : Nếu ta đoán trước được nghiệm thì việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, nhưng có nhiều bài nghiệm là vô tỉ việc đoán nghiệm không được, ta vẫn dùng bất đẳng thức để đánh giá được Bài 1. Giải phương trình (OLYMPIC 30/4 -2007): Giải: Đk Ta có : Dấu bằng Bài 2. Giải phương trình : Giải: Đk: Biến đổi pt ta có : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: Áp dụng bất đẳng thức Côsi: Dấu bằng Bài 3. giải phương trình: Ta chứng minh : và Bài tập đề nghị . Giải các phương trình sau 3. Xây dựng bài toán từ tính chất cực trị hình học 3.1 Dùng tọa độ của véc tơ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho các véc tơ: khi đó ta có Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi hai véc tơ cùng hướng , chú ý tỉ số phải dương , dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi 3.2 Sử dụng tính chất đặc biệt về tam giác Nếu tam giác là tam giác đều , thì với mọi điểm M trên mặt phẳng tam giác, ta luôn có với O là tâm của đường tròn .Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi . Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và điểm M tùy ý trong mặt mặt phẳng Thì MA+MB+MC nhỏ nhất khi điểm M nhìn các cạnh AB,BC,AC dưới cùng một góc Bài tập IV. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 1.Xây dựng phương trình vô tỉ dựa theo hàm đơn điệu Dựa vào kết quả : “ Nếu là hàm đơn điệu thì ” ta có thể xây dựng được những phương trình vô tỉ Xuất phát từ hàm đơn điệu : mọi ta xây dựng phương trình : , Rút gọn ta được phương trình Từ phương trình thì bài toán sẽ khó hơn Để gải hai bài toán trên chúng ta có thể làm như sau : Đặt khi đó ta có hệ : cộng hai phương trình ta được: = Hãy xây dựng những hàm đơn điệu và những bài toán vô tỉ theo dạng trên ? Bài 1. Giải phương trình : Giải: Xét hàm số , là hàm đồng biến trên R, ta có Bài 2. Giải phương trình Giải . Đặt , ta có hệ : Xét hàm số : , là hàm đơn điệu tăng. Từ phương trình Bài 3. Giải phương trình : V. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA 1. Một số kiến thức cơ bản: Nếu thì có một số t với sao cho : và một số y với sao cho Nếu thì có một số t với sao cho : và một số y với sao cho Với mỗi số thực x có sao cho : Nếu : , là hai số thực thỏa: , thì có một số t với , sao cho Từ đó chúng ta có phương pháp giải toán : Nếu : thì đặt với hoặc với Nếu thì đặt , với hoặc , với Nếu : , là hai số thực thỏa: , thì đặt với Nếu , ta có thể đặt : , với , tương tự cho trường hợp khác x là số thực bất kỳ thi đặt : Tại sao lại phải đặt điều kiện cho t như vậy ? Chúng ta biết rằng khi đặt điều kiện thì phải đảm bảo với mỗi có duy nhất một , và điều kiện trên để đảm bào điều này . (xem lại vòng tròn lượng giác ) 2. Xây dựng phương trình vô tỉ bằng phương pháp lượng giác như thế nào ? Từ công phương trình lượng giác đơn giản: , ta có thể tạo ra được phương trình vô tỉ Chú ý : ta có phương trình vô tỉ: (1) Nếu thay bằng ta lại có phương trình : (2) Nếu thay x trong phương trình (1) bởi : (x-1) ta sẽ có phương trình vố tỉ khó: (3) Việc giải phương trình (2) và (3) không đơn giản chút nào ? Tương tự như vậy từ công thức sin 3x, sin 4x,.hãy xây dựng những phương trình vô tỉ theo kiểu lượng giác . 3. Một số ví dụ Bài 1. Giải phương trình sau : Giải: Điều kiện : Với : thì (ptvn) ta đặt : . Khi đó phương trình trở thành: vậy phương trình có nghiệm : Bài 2. Giải các phương trình sau : HD: Đs: HD: chứng minh vô nghiệm Bài 3 . Giải phương trình sau: Giải: Lập phương 2 vế ta được: Xét : , đặt . Khi đó ta được mà phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm vậy đó cũng chính là tập nghiệm của phương trình. Bài 4. .Giải phương trình Giải: đk: , ta có thể đặt Khi đó ptt: Phương trình có nghiệm : Bài 5 .Giải phương trình : Giải: đk Ta có thể đặt : Khi đó pttt. Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm Bài tập tổng hợp Giải các phương trình sau (HSG Toàn Quốc 2002) (OLYMPIC 30/4-2007) CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ PHƯƠNG PHÁP BIỂN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Dạng 1 : Phương trình Lưu ý: Điều kiện (*) được chọn tuỳ thuôc vào độ phức tạp của hay Dạng 2: Phương trình Dạng 3: Phương trình +) (chuyển về dạng 2) +) và ta sử dụng phép thế :ta được phương trình : Bài 1: Giải phương trình: a) b) c) e) f) g) h) i) Bài 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: Bài 3: Cho phương trình: -Giải phương trình khi m=1 -Tìm m để phương trình có nghiệm. Bài 4: Cho phương trình: -Giải phương trình khi m=3 -Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm. II.PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường. -Nếu bài toán có chứa và khi đó đặt (với điều kiện tối thiểu là . đối với các phương trình có chứa tham số thì nhất thiết phải tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ). -Nếu bài toán có chứa , và (với k là hằng số) khi đó có thể đặt : , khi đó -Nếu bài toán có chứa và khi đó có thể đặt: suy ra -Nếu bài toán có chứa thì đặt với hoặc với -Nếu bài toán có chứa thì đặt với hoặc với -Nếu bài toán có chứa ta có thể đặt với Bài 1: Giải phương trình: a) b) c) d) e) f) g) h) i) Bài 2: Giải phương trình: a) b) c) d) e) f) Bài 3: Cho phương trình: -Giải phương trình với -Tìm m để phương trình có nghiệm. Bài 4: Cho phương trình: -Giải phương trình với m = 9 -Tìm m để phương trình có nghiệm. 2. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn Là việc sử dụng một ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một phương trình với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x. -Từ những phương trình tích , Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát. Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này .Phương pháp giải được thể hiện qua các ví dụ sau . Bài 1. Giải phương trình : Giải: , ta có : Bài 2. Giải phương trình : Giải: Đặt : Khi đó phương trình trở thnh : Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t có chẵn Từ một phương trình đơn giản : , khai triển ra ta sẽ được pt sau Bài 3. Giải phương trình sau : Giải: Nhận xét : đặt , pttt: (1) Ta rt thay vo thì được pt: Nhưng không có sự may mắn để giải được phương trình theo t không có dạng bình phương . Muốn đạt được mục đích trên thì ta phải tách 3x theo Cụ thể như sau : thay vào pt (1) ta được: Bài 4. Giải phương trình: Giải . Bình phương 2 vế phương trình: Ta đặt : . Ta được: Ta phải tách làm sao cho có dạng chình phương . Nhận xét : Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt được mục đích. Bài tập: Giải các phương trình sau: a) b) c) d) 3. Phương pháp đặt ẩn phụ chuyển về hệ. a) Dạng thông thường: Đặt và tìm mối quan hệ giữa và từ đó tìm được hệ theo u,v. Chẳng hạn đối với phương trình: ta có thể đặt: từ đó suy ra . Khi đó ta có hệ Bài tập: Giải các phương trình sau: a) b) c) b) Dạng phương trình chứa căn bậc hai và lũy thừa bậc hai: với Cách giải: Đặt: khi đó phương trình được chuyển thành hệ: ->giải Nhận xét: Dể sử dụng được phương pháp trên cần phải khéo léo biến đổi phương trình ban đầu về dạng thỏa mãn điều kiện trên để đặt ẩn phụ.Việc chọn thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng : là chọn được. c) Dạng phương trình chứa căn bậc ba và lũy thừa bậc ba. với Cách giải: Đặt khi đó phương trình được chuyển thành hệ: Bài tập: Giải các phương trình sau: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Sử dụng các tính chất của hàm số để giải phương trình là dạng toán khá quen thuộc. Ta có 3 hướng áp dụng sau đây: Hướng 1: Thực hiện theo các bước: Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: Bước 2: Xét hàm số Bước 3: Nhận xét: Với do đó là nghiệm Với do đó phương trình vô nghiệm Với do đó phương trình vô nghiệm Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình Hướng 2: thực hiện theo các bước Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: Bước 2: Dùng lập luận khẳng định rằng và g(x) có những tính chất trái ngược nhau và xác định sao cho Bước 3: Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình. Hướng 3: Thực hiện theo các bước: Bước 1: Chuyển phương trình về dạng Bước 2: Xét hàm số , dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu Bước 3: Khi đó Ví dụ: Giải phương trình : pt Xét hàm số , là hàm đồng biến trên R, ta có Bài tập: Giải phương trình: ,,,,,