Giáo án môn Toán - Giải phương trình vô tỷ

Phần 1: Khái niệm phương trình vô tỉ: là phương trình chứa ẩn trong dấu căn Phần 2: một số phương pháp giải phương trình vô tỉ: . Phương pháp nâng lên luỹ thừa. . Phương pháp đặt ẩn phụ. . Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối. . Phương pháp bất đẳng thức. . Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số. I/ Phương pháp nâng lên luỹ thừa: 1. Phương trình dạng Cách giải: Chú ý: khi bình phương dẫn đến phương trình bậc cao thì nên sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ. Ví dụ : giải các phương trình sau: a) c) b) d) Giải: a) d) Đặt t=PT đã cho tương đương với PT từ đó suy ra x (loại t=-1) 2. Phương trình dạng hoặc Phương pháp giải: sau hai lần bình phương đưa PT đã cho về PT đã biết cách giải. Chú ý: khi bình phương dẫn đến PT bậc cao thì nên sử dụng phương pháp khác, chỉ bình phương khi biết hai vế không âm, nếu không thì chú ý đến phương trình hệ quả, có thể phân tích thành tích nếu được. Ví dụ: giải các PT a) b) c) d) Giải: c) gợi ý: ĐK bình phương hai lần khử căn, nghiệm là x=-1 d)đặt phương trình là bình phương hai vế rút gọn được b=0 hoặc b=a .Nghiệm là 3.áp dụng hằng đẳng thức (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b) Ví dụ: giảI phương trình Giải: Phương trình tương đương với II/ Phương pháp đặt ẩn phụ: Tuỳ từng phương trình cụ thể chọn ẩn phụ cho thích hợp nhằm khử căn đưa về phương trình đã biết cách giải, sau đây là một số ví dụ: Ví dụ1: giải biện luận phương trình: Giải: đặt t= phương trình đã cho thành (loại ) khi đó Ghi chú: khi đã giải được PT tổng quát có thể giảI PT với a=4, a=9,...được kết quả khá gọn gàng. Ví dụ2: giải PT Giải: biến đổi PT thành đặt đươc pt Ví dụ3: giải phương trình : Giải: đặt PT đã cho thành , học sinh tự giải tiếp. Ví dụ4: giải phương trình: Giải: chuyển vế : bình phương rút gọn hai lần được (x-2)(4x2+7x+14) = 0 . Đáp số x=2. Ví dụ5: Điều kiện: Đặt y= phương trình trở thành y2+2y-8=0 ta được y=2, y=-4 với y=2, ta có =2 bình phương hai vế(đk x>1) được x2+2x-7=0 chọn x= với y=- 4, ta có =- 4 bình phương hai vế (đk ) được x2+2x-19=0 chọn x= . III/ Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối: Ví dụ1: Giải phương trình (1) Giải: (1) Nghiệm là: . Ví dụ2: giải phương trình (1) Gợi ý: (1) nghiệm là x=1 và x=5 VI/ Phương pháp bất đẳng thức: 1. Chứng tỏ phương trình vô nghiệm vì có một vế luôn nhỏ hơn vế kia: Ví dụ: giải các phương trình a) (1) b) (2) Giải: a) đk: , khi đó x<5x do đó suy ra vế trái của (1) âm còn vế phải không âm . Phương trình vô nghiệm, ĐK: khi đó (2) vế trái luôn nhỏ hơn vế phải. Phương trình vô nghiệm. 2.Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế: Ví dụ1: giải phương trình (1) Giải: vế trái vế phải vậy hai vế của (1) đều bằng 4 , khi đó x=3 Ví dụ2: giải phương trình (2) Giải: áp dụng bđt Bunhiacpôski cho 4 số ta có ; do (2) Sử dụng điều kiện xảy ra dấu = ở bất đẳng thức không chặt: Ví dụ1: giải phương trình Giải: áp dụng BĐT côsi vớicó : ta c ú dấu bằng xảy ra khi x2- 4x+7=x2 – x+2 , nghiệm là x=5/3 Ví dụ2: giải phương trình (1) Giải: đk x > 4/5 , ta có BĐT với a>0, b>0 xảy ra đẳng thức khi a = b với x>4/5 (1) (thoả mãn đk ) V/ Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải các phương trình không mẫu mực hoặc tìm điều kiện để phương trình có nghiệm. 1. Hướng giải: để giải phương trình f(x)=g(x) , ta dùng tỉ số biến thiên hoặc phương pháp đạo hàm để chứng minh hai miền giá trị của hàm f(x) và g(x) chỉ có chung đúng một phần tử x0, từ đó kết luận x0 là nghiệm. + Cụ Thể: Ta sẽ chứng minh hoặc hoặc và hoặc ngược lại. +Bên cạnh đó ta sử dụng kết quả: +Nếu f(x) tăng và g(x) giảm trên cùng một miền xác định thì đồ thị nếu cắt nhau thì cắt tại một điểm duy nhất . Từ đó phương trình f(x)=g(x) chỉ có thể có nghiệm duy nhất hoặc vô nghiệm. + Nếu f(t) là hàm tăng hoặc giảm nghiêm ngặt trên D thì f(x) = f(y) x=y Các ví dụ: Ví dụ1: giảI phương trình : Giải: Điều kiện đặt : tăng trên lại có nên đồ thị hàm số y=f(x) cắt đồ thị hàm số hằng tại một điểm duy nhất x=1. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=1. Ví dụ 2: giải phương trình : Giải: Ta thấy hàm luôn giảm trên R, hàm luôn tăng trên R, do đó đồ thị hàm f(x) cắt đồ thị hàm g(x) tại một điểm duynhất x=1, vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=1. Ví dụ 3: giải hệ phương trình Giải: điều kiện: từ hệ Xét hàm số với với f(t) là hàm giảm trên do đó khi đó hệ PT , nghiệm của hệ là (11;11). Ví dụ 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực Giải: đk phương trình đã cho (1) đặt , khi đó (1) trở thành -3t2+2t=m vì t=và hàm số có bảng biến thiên: t o 1 f/(t) + 0 - -1 0 f(t) Phương trình đã cho có nghiệm t Một số bài tập tương tự: giải các phương trình sau: 1) 6) 2) 7) 3) 8) 4) 9) 5) 2 10)