Giáo án môn Đại số và Giải tích Lớp 11 - Chương 4: Giới hạn - Bài 3: Hàm số liên tục

CHƯƠNG IV BÀI 3 HÀM SỐ LIÊN TỤC – ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11(2 tiết) I. Giới thiệu: Giáo viên chiếu hai hình ảnh, yêu cầu học sinh quan sát hai hình ảnh và nhận xét Cầu xoay Sông Hàn- Đà Nẵng Hố tử thần ở Fukorua- Nhật Bản được sửa trong hai ngày Giáo viên chốt nhận xét: Cây cầu khi chưa xoay hay con đường đã sửa(các phương tiện giao thông đường bộ qua lại được) là một “đường” liên tục. Cây cầu khi đã xoay, đường chưa sửa là một “đường” không liên tục hay bị gián đoạn Để hiểu rõ về tính liên tục ta học bài “HÀM SỐ LIÊN TỤC”. II. Nội dung bài học 1. Đơn vị kiến thức 1: Hàm số liên tục tại một điểm a) Tiếp cận Cho hàm số có đồ thị như sau: a) Tính và b) So sánh các kết quả trên và nhận xét đồ thị của hàm số tại điểm Cho hàm số có đồ thị như sau a) Tính , b) So sánh các giá trị trên và nhận xét đồ thị của hàm số tại điểm Giáo viên kết luận: Hàm số liên tục tại và hàm số không liên tục tại Cho hàm số xác định trên khoảng K và . Hàm số được gọi là liên tục tại nếu b) Hình thành Định nghĩa 1: Yêu cầu học sinh: Hãy nêu phương pháp xét tính liên tục của hàm số tại điểm Giáo viên kết luận về cách làm và yêu cầu học sinh làm 2 ví dụ. c) Củng cố Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số tại Yêu cầu học sinh: +Tính +So sánh và kết luận Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm Yêu cầu học sinh: +Tính +So sánh và kết luận 2. Đơn vị kiến thức 2: Hàm số liên tục trên một khoảng a) Tiếp cận Đồ thị hàm số trên khoảng Đồ thị hàm số trên khoảng Học sinh quan sát và đưa ra nhận xét sự khác nhau giữa hai đồ thị. Giáo viên kết luận tính liên tục của hàm số trên khoảng, nửa khoảng, đoạn b) Hình thành Hàm số được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó Hàm số được gọi là liên tục trên đoạn nếu nó liên tục trên khoảng và Định nghĩa 2 Yêu cầu học sinh: Hãy nêu phương pháp xét tính liên tục của hàm số trên khoảng , nữa khoảng , đoạn ? Giáo viên chốt cách làm và yêu cầu học sinh làm ví dụ 3. c) Củng cố Ví dụ 3: Xét tính liên tục của hàm số trên nữa khoảng Yêu cầu học sinh: + Tìm TXĐ +Tính với +Tính , +Kết luận về tính liên tục của hàm số 3. Đơn vị kiến thức 3: Định lý 1 a) Tiếp cận Ví dụ 4: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định Yêu cầu học sinh: +Tìm TXĐ +Với bất kỳ, tính +So sánh và kết luận tính liên tục của hàm số. +Dự đoán về tính liên tục của các hàm đa thức Giáo viên kết luận và phát biểu định lý 1. b) Hình thành a) Hàm đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng. Định lý 1 c) Củng cố Ví dụ 5: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định. Yêu cầu học sinh: +Tìm TXĐ +Hàm số đã cho liên tục trên các khoảng nào? +Tính , +Kết luận 4. Đơn vị kiến thức 4: Định lý 2 a) Tiếp cận Cho hai hàm số liên tục tại điểm Yêu cầu học sinh: + Tính +Nhận xét tính liên tục của các hàm số tại điểm +Hàm số có liên tục tại điểm Có cần điều kiện nào không? b) Hình thành Giả sử và là hai hàm số liên tục tại điểm . Khi đó: a) Các hàm số và liên tục tại b) Hàm số liên tục tại nếu Giáo viên kết luận và khẳng định bằng định lý 2. c) Củng cố Ví dụ : Hàm số liên tục tại điểm , hàm số liên tục tại và nên các hàm liên tục tại 5. Đơn vị kiến thức 5: Định lý 3 a) Tiếp cận Giáo viên cho học xem đồ thị hàm số Yêu cầu học sinh: Dựa vào đồ thị hàm số (hình 1) hãy cho biết: +Tính liên tục của hàm số trên đoạn +Dấu của +Khi , có tồn tại giá trị Hình 1 b) Hình thành Giáo viên kết luận và nêu định lý 3 Nếu hàm số liên tục trên đoạn và thì tồn tại ít nhất một điểm sao cho Ghi chú: giá trị c là một nghiệm của phương trình c) Củng cố Ví dụ : Chứng minh phương trình có nghiệm trên đoạn Yêu cầu học sinh: +Xét tính liên tục của hàm số trên đoạn +Tính +Kết luận III. Hoạt động luyện tập Bài 1: Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số tại điểm Bài 2: Cho hàm số a) Xét tính liên tục của hàm số tại điểm b) Tìm để hàm số liên tục tại điểm Bài 3: Xét tính liên tục trên của hàm số Bài 4: Chứng minh rằng phương trình có ít nhất 3 nghiệm nằm trong khoảng Bài 5: Cho phương trình Tìm mệnh đề sai: (A) Hàm số liên tục trên (B) Phương trình (1) không có nghiệm trên khoảng (C) Phương trình (1) có nghiệm trên khoảng (D) Phương trình (1) có ít nhất 2 nghiệm trên khoảng IV. Hoạt động vận dụng 1. Bài toán: Trong một nhà máy A, dây chuyền sản suất được hoạt động qua hai công đoạn, công đoạn 1: thời gian sản xuất và vận chuyển lô hàng từ A đến B được cho bởi phương trình ; công đoạn 2: thời gian sản xuất và vận chuyển lô hàng từ B đến C, thời gian sản xuất được cho bởi phương trình , a là độ trễ thời gian của công đoạn 2. Xác định hệ số a cần cài vào máy ở công đoạn 2 để thời gian sản xuất của các công đoạn được liên tục. 2. Một số hình ảnh thực tế: V. Hoạt động tìm tòi và mở rộng Bernard Bolzano Cauchy Eduard Heine Peter Gustav Lejeune Dirichlet Dạng định nghĩa epsilon-delta được đề cập đầu tiên bởi Bernard Bolzano năm 1817. Định nghĩa liên tục ban đầu liên quan đến giới hạn được đưa ra bởi Augustin-Louis Cauchy. Cauchy định nghĩa liên tục của {\displaystyle f} như sau: Một sự tăng vô cùng nhỏ của biến độc lập{\displaystyle x} luôn luôn là một sự thay đổi tăng vô cùng nhỏ của{\displaystyle f(x)}. Cauchy định nghĩa trên một lượng vô cùng nhỏ của biến, định nghĩa của ông ta rất gần với định nghĩa của chúng ta sử dụng ngày nay. Định nghĩa chính thức và phân biệt giữa liên tục điểm và liên tục đều được đưa ra đầu tiên bởi Bolzano vào năm 1830 nhưng điều đó không được công bố mãi đến năm 1930. Eduard Heine công bố lần đầu tiên định nghĩa liên tục đều năm 1872, nhưng dựa trên những ý tưởng từ bài giảng của Peter Gustav Lejeune Dirichlet năm 1854.