Giáo án môn Đại số và Giải tích Lớp 11 - Chương 4: Giới hạn - Bài 1: Giới hạn của dãy số

§1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A. MỤC TIÊU 1. Kieán thöùc: - Naém ñöôïc ñònh nghóa daõy soá coù giôùi haïn laø 1 soá höõu haïn vaø daõy soá coù giôùi haïn laø voâ cöïc. Ghi nhôù moät soá giôùi haïn ñaëc bieät. - Naém ñöôïc ñònh lyù veà giôùi haïn höõu haïn ñeå tính các giôùi haïn thöôøng gaëp. - Naém ñöôïc coâng thöùc tính toång cuûa caáp soá nhaân luøi voâ haïn. 2. Kyõ naêng: - Tính ñöôïc giôùi haïn cuûa caùc daõy soá thöôøng gaëp. - Tính ñöôïc toång cuûa caáp soá nhaân luøi voâ haïn. 3.Thaùi ñoä: - Chuù yù, tích cöïc tham gia xaây döïng baøi. - Caån thaän, chính xaùc vaø linh hoaït. 4. Định hướng phát triển năng lực học sinh Năng lực tư duy Năng lực tự giải quyết vấn đề Năng lực hợp tác nhóm B.BÀI GIẢNG I. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG TRÒ CHƠI: Lớp được chia thành các nhóm, mỗi nhóm 8 học sinh cùng chơi với nhau. 8 học sinh này ngồi quây thành một vòng tròn để chơi. Cách chơi như sau : Cho dãy số . Người thứ nhất và người thứ năm bắt đầu bằng một giá trị n cụ thể nào đó, sau đó tính giá trị un rồi chuyển giá trị un cho người tiếp theo (không chuyển giá trị n). Người tiếp theo sẽ tìm một giá trị n khác sao cho un nhỏ hơn giá trị nhận được. Sau đó chuyển giá trị un mới này cho người tiếp theo Cứ như thế, các giá trị un sẽ đi liên tục từ lượt này đến lượt khác. Sau khi đồng hồ báo hết 2 phút, giá trị un đang ở vị trí của người nào thì người đó thua cuộc GV: Nhận xét có thể nhỏ hơn số dương bé tuỳ ý kể từ số hạng nào đó trở đi. Khi n càng lớn thì càng gần số nào? HS: Quan sát trục số và trả lời. Khi n càng lớn thì càng gần số 0. II. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC VÀ LUYỆN TẬP I. Giới hạn hữu hạn của dãy số 1. Định nghĩa: Định nghĩa 1 “Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần về vô cực, nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi” Kí hiệu: = 0 hay un 0 khi n + GV: Chia lớp làm 4 nhóm: ví dụ 1: nhóm 1,2; ví sụ 2: nhóm 3,4 Ví du 1: Cho daõy soá (vn) vôùi vn =, CMR: = 3 Ta có: = = = 0 Vaäy = 3 GV: Nhận xét về giới hạn của dãy vn 3)XXX﷽﷽﷽﷽﷽﷽﷽﷽﷽﷽﷽XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX khi n dần về vô cực HS: Dãy vn dần về 3 khi n dần về vô cực. Dãy số có giới hạn là 3 Định nghĩa 2 “Ta nói dãy số (vn) có giới hạn là a khi n dần về vô cực, nếu (- a) = 0” Kí hiệu: = a hay vn a khi n + GV: , ,, : nhận xét về giới hạn của các dãy số trên? HS: Các dãy số đều có giới hạn 0 GV: : nhận xét về giới hạn các dãy số trên? HS: Các dãy số đều có giới hạn 0 2. Một vài giới hạn đặc biệt: = 0; = 0, k nguyên dương qn = 0 nếu |q| < 1 Nếu un = c (c là hằng số) thì un = c = c II. Định lí về giới hạn hữu hạn -Nêu định lí a. Nếu limun = a, limvn = b thì lim (un + vn) = a + b lim (un - vn) = a – b lim (un . vn) = a . b lim = (nếu b0) b. Nếu un 0 với mọi n và limun = a thì a 0 và lim = Chia lớp thành các nhóm thực hiện theo nhóm bàn học Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau: Giải: Ví dụ 2: Hoạt động nhóm : Nhóm 1,2 a, nhóm 3,4 b Giải: HS: Các nhóm trình bày kết quả nhận được, đại diện nhóm trình bày GV: Nhận xét, sửa chữa và bổ sung. Lưu ý kĩ năng thuyết trình của HS. Chốt lại cách làm bài. III. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Ñònh nghóa: CSN voâ haïn coù coâng boäi q vôùi |q|<1 goïi laø CSN luøi voâ haïn GV: Yeâu caàu hs nhaéc laïi coâng thöùc tính toång cuûa n soá haïng ñaàu cuûa caáp soá nhaân. HS: Ñöùng taïi choå traû lôøi GV: Bieán ñoåi coâng thöùc thaønh S= sau ñoù yeâu caàu hoïc sinh tính giôùi haïn lim S, töø ñoù coù ñöôïc coâng thöùc Coâng thöùc tính toång cuûa caáp soá nhaân luøi voâ haïn: GV: yeâu caàu hs nhaän xeùt caùc CSN coù phaûi laø CSN luøi voâ haïn hay khoâng sau ñoù yeâu caàu hs tính. HS: Laøm vieäc theo nhoùm và đưa ra nhận xét. Ví duï 3: a) Tính tổng của CSN lùi vô hạn (un): un = Ta có: b) Tính tổng: HS: Đại diện nhóm trình bày GV: Nhận xét, chốt lại bài Hs IV. Giới hạn vô cực: -Cho hs thảo luận nhóm thực hiện hoạt động 2 sgk GV: Cho daõy un = n3, haõy bieåu dieãn daõy leân truïc soá.Khi n caøng lôùn, coù nhaän xeùt gì veà caùc soá un?.Töø ñoù toång quaùt hoùa thaønh caùc giôùi haïn vô cực. 1.Ñònh nghóa : Dãy số (un) có giới hạn +¥ khi n ® +¥ , nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim un = +¥ hay un® +¥ khi n ® +¥ *Dãy số (un) có giới hạn -¥ khi n ® +¥ , nếu lim (-un) = +¥ Kí hiệu: lim un = - ¥ hay un® - ¥ khi n ® +¥ Nhaän xeùt: lim un = +¥ Û lim(- un) = - ¥ 2. Một vài giới hạn đặc biệt -Nêu và giải thích các kết quả sau limnk = + với k nguyên dương limqn = + nếu q > 1 3.Ñònh lyù : Ñònh lyù 2 GV:HS thực hiện theo các nhóm bàn học Ví duï 4: Tìm Giải: Ta có: Nên: Ví dụ 5: Tìm Giải: Ví dụ 6: Tìm Giải: HS: Đại diện thuyết trình GV: Nhận xét, sữa chữa, bổ sung chốt đáp án. III. HOẠT ĐỘNG TRẢI NGHIỆM TRẮC NGHIỆM Câu 1: Giới hạn của dãy số sau đây bằng bao nhiêu: A. 3 B. C. 0 D. Câu 2: Giới hạn của dãy số sau đây bằng bao nhiêu: A. 1 B. C. 0 D. Câu 3: Giới hạn của dãy số sau đây bằng bao nhiêu: A. 7 B. C. 0 D. Câu 4: Giới hạn của dãy số sau đây bằng bao nhiêu: A. B. 2 C. 0 D. Câu 5: Giới hạn của dãy số sau đây bằng bao nhiêu: A. 0 B. 1 C. D. Câu 6: Giới hạn của dãy số sau đây bằng bao nhiêu: A. 1 B. 0 C. D. 2 Câu 7: Giới hạn của dãy số sau đây bằng bao nhiêu: A. 0 B. C. 1 D. Câu 8: Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau: là: A. 1 B. 2 C. 4 D. Câu 9: Hình vuông có cạnh bằng 1, người ta nối trung điểm các cạnh liên tiếp để được một hình vuông nối lại tiếp tục làm như thế đối với hình vuông mới (như hình bên) Tồng diện tích các hình vuông liên tiếp đó bằng A. 8 B. 4 C. 12 D. Câu 10: Trong các dãy số sau, dãy số nào có giới hạn hữu hạn? A. B. C. D. IV. HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI Bài 1(sgk trang 121) GV gợi ý: Sau 1 chu kì thì khối lượng chất phóng xạ còn lại là bao nhiêu? Sau 2 chu kì, sau 3 chu kì -Vậy sau n chu kì? Giải a. Tìm số hạng tổng quát của dãy -Sau 1 chu kì khối lượng chất px còn là -Sau 2---------------------------------------- -Sau 3---------------------------------------- -Sau n --------------------------------------- Vậy số hạng tổng quát của dãy là b. Chứng minh dãy có giới hạn bằng 0 Ta có limun = lim()n = 0 c. Chứng tỏ sau một số năm khối lượng chất phóng xạ đã cho không độc hại đối với con người Ta có: Vì un 0, nên |un| = có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Như vậy, |un| nhỏ hơn kể từ chu kì n0 nào đó. Nghĩa là sau một số năm ứng với chu kì này, khối lượng chất phóng xạ không còn độc hại đối với con người. Bài 2: Biết dãy số (un) thoã mãn |un-1|< với mọi n. Chứng minh rằng limun = 1 GV: Cho hs nhắc lại khái niệm giới hạn của dãy số dần về 0. GV: lim=? Giải: Ta có lim= 0 nên || có thể bé hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi Mặt khác, ta có |un - 1| < = || với mọi n Do đó, |un - 1| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là lim(un - 1) = 0. Vậy limun = 1.