Giáo án môn Đại số và Giải tích Lớp 11 - Chương 3: Dãy số – cấp số cộng, cấp số nhân - Bài 4: Cấp số nhân

Chương 3B2 CẤP SỐ NHÂN Thời lượng: 1 tiết Đối tượng: Học sinh THPT A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG Tình huống 1: Tỉ lệ tăng dân số của tỉnh X là 1,4%. Biết rằng số dân của tỉnh hiện nay là 1,8 triệu người. Hỏi với mức tăng như vậy thì: 1) Sau 1 năm số dân của tỉnh đó là bao nhiêu? 2) Sau 10 năm số dân của tỉnh đó là bao nhiêu? Dự kiến 1) Học sinh trả lời được. Số dân của tỉnh đó hiện nay là 1,8 triệu người. Vì tỉ lệ tăng dân số là 1,4% nên sau một năm, số dân tăng thêm là 1,4% . 1,8 triệu người. Vậy số dân của tỉnh đó vào năm sau là : (triệu người) 2) Học sinh còn gặp khó khăn. Tình huống 2: Anh B chơi Lô đề nhưng mãi mà chưa trúng. Một người bạn thân tỏ ra thông cảm và khuyên anh ta: “Khả năng trúng của mỗi con số là 1% nên cậu hãy chọn 1 con số trong 100 ngày liên tiếp và ngày thứ nhất bỏ ra 1.000đ, nếu không trúng thì ngày tiếp theo đặt số tiền gấp đôi, cứ như thế kiểu gì chẳng thắng đậm!” 1) Tính tổng số tiền mà anh B bỏ ra trong 5 ngày đầu. 2) Tính tổng số tiền mà anh B bỏ ra trong 30 ngày đầu. Lời khuyên trên có đúng không? Dự kiến: 1) Học sinh trả lời được. Tổng số tiền mà anh B bỏ ra trong 5 ngày đầu là: (nghìn đồng) 2) Học sinh còn gặp khó khăn. B. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC 1. Định nghĩa: - Cấp số nhân là dãy số mà mỗi số hạng kể từ số hạng thứ 2 trở đi đều bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với một số hạng không đổi. - Số không đổi đó gọi là công bội của cấp số nhân, ký hiệu là q. Đặc biệt: · d = 0 thì CSN: u1, 0, 0, , 0, · q = 1 thì CSN: u1, u1, , u1, · u1 = 0 thì CSN: 0, 0, , 0, - Theo định nghĩa ta có: Ví dụ 1. Chứng minh dãy số hữu hạn sau là một CSN: Hướng dẫn Xét các số hạng liên tiếp. Þ Dãy số trên là cấp số nhân với 2. Công thức tính số hạng tổng quát của một cấp số nhân: Định lý 1: Số hạng tổng quát của một cấp số nhân có số hạng đầu và công bội q, được tính bởi công thức : Ví dụ 2. Cho cấp số nhân có: . Hãy tìm công bội q và số hạng thứ 15 của nó. Hướng dẫn: Ta có ,suy ra Áp dụng công thức: 3. Tính chất các số hạng của một cấp số nhân: Nêu điều kiện cần và đủ để 3 số a, b, c là 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân ? Trả lời: a, b, c là một cấp số nhân Û Định lý 2: Trong một cấp số nhân, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai trở đi (trừ số hạng cuối cùng) là trung bình nhân của hai số hạng kề bên nó. Tức là: Đặc biệt: - Ba số a, b, c lập thành một cấp số nhân khi và chỉ khi . - Bốn số a, b, c, d lập thành cấp số nhân khi và chỉ khi . 4. Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân: Cho một cấp số nhân có công bội q. Gọi là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân trên. Định lý 3: Tổng được tính bởi công thức sau: Ví dụ 3. Viết năm số xen giữa vào hai số 1 và 729 để được một cấp số nhân có 7 số hạng. Tính tổng các số hạng của cấp số nhân này. Hướng dẫn: Bài toán có hai yêu cầu rõ ràng: + Một là tìm 5 số hạng đứng giữa khi cho số hạng đầu và cuối. + Hai là tính tổng của cấp số nhân đó. Ta có: Từ đó suy ra: Vậy cấp số nhân cần tìm là: 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729. Để tính tổng, ta có hai cách: Cách 1: Cộng trực tiếp ta được kết quả là 1093 Cách 2: Ta áp dụng trực tiếp công thức tính tổng: C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP 1. Bài tập tự luận Bài 1: Trong các dãy số sau đây, dãy nào là một cấp số nhân a) b) Hướng dẫn: Phương pháp: Cách 1: Lập tỉ số . + Nếu k là một hằng số thì dãy số đó là một cấp số nhân, có công bội là + Nếu k còn phụ thuộc vào n thì không phải là cấp số nhân . Cách 2: Tính cụ thể ba số hạng liên tiếp, ví dụ như .Nếu thì không phải là cấp số nhân . a) Ta có , suy ra , vậy dãy số trên là một cấp số nhân. b) Ta có , suy ra . Vì k còn phụ thuộc vào n, nên dãy số đã cho không phải là một cấp số nhân. Bài 2: Cho cấp số nhân biết: . Hãy tìm: a) Tìm số hạng đầu và công bội của b) Tìm số hạng thứ 8 của cấp số nhân đó. Hướng dẫn: a) Áp dụng công thức ta có: suy ra . Thay vào hệ ta được: . Suy ra b) Số hạng thứ 8 là 2. Câu hỏi trắc nghiệm: Cấp số nhân viết tắt trong đề là CSN Câu 1: Cho dãy số: –1; 1; –1; 1; –1; Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Dãy số này không phải là cấp số nhân. B. Số hạng tổng quát un = 1n =1. C. Dãy số này là cấp số nhân có u1= –1, q = –1. D. Số hạng tổng quát un = (–1)2n. Câu 2: Cho dãy số : . Khẳng định nào sau đây là sai? A. Dãy số này là cấp số nhân có u1= 1, q = . B. Số hạng tổng quát un = C. Số hạng tổng quát un = D. Dãy số này là dãy số giảm. Câu 3: Cho dãy số: –1; –1; –1; –1; –1; Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Dãy số này không phải là cấp số nhân. B. Là cấp số nhân có u1 = –1, q = 1. C. Số hạng tổng quát un = (–1)n. D. Là dãy số giảm. Câu 4: Cho dãy số : . Khẳng định nào sau đây là sai? A. Dãy số không phải là một cấp số nhân. B. Dãy số này là cấp số nhân có u1= –1, q = . C. Số hạng tổng quát un = (–1)n .. D. Là dãy số không tăng, không giảm. Câu 5: Cho cấp số nhân (un) với u1=, u7 = –32. Tìm q ? A. . B. . C. . D. . Câu 6 : Cho cấp số nhân (un) với u1= –2, q = –5. Viết 3 số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát un ? A. 10, 50, –250 và (–2).(–5)n–1. B. 10, –50, 250 và 2.–5n–1. C. 10, –50, 250 và (–2).5n. D. 10, –50, 250 và (–2).(–5)n–1. Câu 7 : Cho cấp số nhân (un) với u1= 4, q = –4. Viết 3 số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát un ? A. –16, 64, –256 và –(–4)n. B. –16, 64, –256 và (–4)n. C. –16, 64, –256 và 4.(–4)n. D. –16, 64, –256 và 4n. Câu 8 : Cho cấp số nhân (un) với u1= –1, un = 0,00001. Tìm q và un ? A. . B. . C. . D. Câu 9 : Cho cấp số nhân (un) với u1= –1, . Số là số hạng thứ mấy của (un) ? A. Số hạng thứ 103. B. Số hạng thứ 104. C. Số hạng thứ 105. D. Không là số hạng của cấp số đã cho. Câu 10 : Cho cấp số nhân (un) với u1= 3, q = –2. Số 192 là số hạng thứ mấy của (un) ? A. Số hạng thứ 5. B. Số hạng thứ 6. C. Số hạng thứ 7. D. Không là số hạng của cấp số đã cho. Câu 11 : Cho cấp số nhân (un) với u1= 3, . Số 222 là số hạng thứ mấy của (un) ? A. Số hạng thứ 11. B. Số hạng thứ 12. C. Số hạng thứ 9. D. Không là số hạng của cấp số đã cho. Câu 12: Cho dãy số . Chọn b để dãy số đã cho lập thành cấp số nhân? A. b = –1. B. b = 1. C. b = 2. D. Không có giá trị nào của b. Câu 13: Cho cấp số nhân: . Giá trị của a là: A. . B. . C. . D. . Câu 14: Hãy chọn cấp số nhân trong các dãy số được cho sau đây: A. . B. . C. un = n2 + 1. D. . Câu 15: Cho dãy số: –1; x; 0,64. Chọn x để dãy số đã cho lập thành cấp số nhân? A. Không có giá trị nào của x. B. x = –0,008. C. x = 0,008. D. x = 0,004. Đáp án trắc nghiệm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 C C B A B D A D B C D D B B A D. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG Bài 1 (Tình huống 1): Tỉ lệ tăng dân số của tỉnh X là 1,4%. Biết rằng số dân của tỉnh hiện nay là 1,8 triệu người. Hỏi với mức tăng như vậy thì sau 10 năm số dân của tỉnh đó là bao nhiêu? Hướng dẫn: Giả sử số dân của một tỉnh đó hiện nay là N người. Vì tỉ lệ tăng dân số là 1,4% nên sau một năm, số dân tăng thêm là 1,4% N. Vậy số dân của tỉnh đó vào năm sau là : Như vậy số dân của tỉnh đó sau mỗi năm lập thành cấp số nhân Vậy nếu N = 1,8 triệu người, áp dụng công thức tính số hạng tổng quát của cấp số nhân thì Sau 10 năm số dân của tỉnh sẽ là: (triệu người) Bài 2 (Tình huống 2): Anh B chơi Lô đề nhưng mãi mà chưa trúng. Một người bạn thân tỏ ra thông cảm và khuyên anh ta: “Khả năng trúng của mỗi con số là 1% nên cậu hãy chọn 1 con số trong 100 ngày liên tiếp và ngày thứ nhất bỏ ra 1.000đ, nếu không trúng thì ngày tiếp theo đặt số tiền gấp đôi, cứ như thế kiểu gì chẳng thắng đậm!” Tính tổng số tiền mà anh B bỏ ra trong 30 ngày đầu. Lời khuyên trên có đúng không? Hướng dẫn: Số tiền bỏ ra tăng theo cấp số nhân . (đồng) Số tiền anh B bỏ ra trong 30 ngày đầu là quá lớn. Bài học rút ra là: E. HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI MỞ RỘNG Khổ giấy mà chúng ta in ấn, phô tô hằng có chiều rộng theo chuẩn quốc tế là: A7 74 mm A6 105 mm A5 148 mm A4 210 mm A3 297 mm A2 240,5 mm A1 594,5 mm A0 841 mm Thật kỳ diệu nếu chúng ta lập một bảng tính: Và nhận thấy rằng chiều rộng của các khổ giấy chính là một cấp số nhân với công bội .