Giáo án Hình học Lớp 12 - Chương 4, Bài 1: Hệ trục tọa độ trong không gian

BÀI 1: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1. Giới thiệu 1.1 Nhìn vào bàn cờ vua, làm sao để xác định vị trí các quân cờ? 1.2 Làm sao để bộ phận không lưu có thể biết được máy bay đang ở vị trí nào ở từng thời điểm? 1.3 Một tòa nhà ở Honolulu, Hawai đang bốc cháy. Cảnh sát cứu hỏa sẽ tiếp cận từ bên ngoài. Hỏi cảnh sát Tòa nhà đang bị cháy làm cách nào để xác định vị trí các phòng bị cháy? Chúng ta đã biết, để xác định vị trí của một điểm trong mặt phẳng, chúng ta xây dựng phương pháp tọa độ với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy. Bây giờ để xác định vị trí của một điểm trong không gian thì hệ trục tọa độ vuông góc Oxy không giải quyết được. 2. Nội dung bài học 2.1 TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VÉC TƠ 2.1.1 Hệ tọa độ Trong không gian, cho ba trục x’Ox, y’Oy, z’Oz vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi lần lượt là các véc tơ đơn vị trên trục x’Ox, y’Oy, z’Oz. Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Đề - các vuông góc Oxyz. Điểm O được gọi là gốc tọa độ. Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Oxz) đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ. Không gian với hệ trục tọa độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz. â) a Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho điểm M. Em hãy phân tích véc tơ theo ba véc tơ không đồng phẳng trong các trường hợp: a) M nằm trên trục Ox b) M nằm trên trục Oy c) M nằm trên trục Oz d) M là điểm bất kì 2.1. 2 Tọa độ của điểm Điểm M có tọa độ là (x; y; z) khi và chỉ khi Ta viết M = (x; y; z) hoặc M(x; y; z). Ví dụ 2: Cho Tìm tọa độ của điểm M. Ví dụ 3: Cho Em hãy phân tích A x B C O D 4 6 2 M z y véc tơ theo ba véc tơ Ví dụ 4: Em hãy xác định tọa độ A, B, C, D và M. 2.1.3 Tọa độ của véc tơ Véc tơ có tọa độ là (x; y; z) khi và chỉ khi Ta viết hoặc Ví dụ 5: Cho Tìm tọa độ của véc tơ Ví dụ 6: Cho và a) Em hãy phân tích các véc tơ và theo ba véc tơ b) Em hãy phân tích các véc tơ theo ba véc tơ c) Từ kết quả câu b), em hãy cho biết tọa độ các véc tơ 2.1.4 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VÉC TƠ Định lí Trong không gian Oxyz cho hai véc tơ và Ta có: a) b) c) với k là một số thực. Ví dụ 7: Cho và Em hãy cho biết tọa độ của các véc tơ Ví dụ 8: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A’ trùng với gốc O, có ; ; theo thứ tự cùng hướng với và có AB = a, AD = b, AA’ = c. Hãy tính toạ độ các véc tơ ; ; A A’ B’ B C’ D’ D C x y z O 3. Luyện tập Bài 1: Tìm tọa độ các véc tơ sau biết a. b. Bài 2: Cho và Xác định tọa độ của véc tơ Bài 3: Cho và Xác định tọa độ của véc tơ Bài 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a có đỉnh A’ trùng với gốc O, có ; ; theo thứ tự cùng hướng với Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh B’C’ và CD sao cho B’M = B’C’, CN =CD. Xác định tọa độ của các véc tơ và 4. Ứng dụng, tìm tòi mở rộng René Descartes ("Rơ-nê Đề-các", 1596–1650)  Sinh tại La Haye, Touraine (trước đây là một tỉnh, nay gọi là một vùng của Pháp), Descartes là con của một gia đình quý tộc nhỏ, có truyền thống khoa bảng và là tín hữu Công giáo Rôma. Đóng góp quan trọng nhất của Descartes với toán học là việc hệ thống hóa hình học giải tích, hệ các trục tọa độ vuông góc được mang tên ông. Ông là nhà toán học đầu tiên phân loại các đường cong dựa theo tính chất của các phương trình tạo nên chúng. Ông cũng có những đóng góp vào lý thuyết về các đẳng thức. Descartes cũng là người đầu tiên dùng các chữ cái cuối cùng của bảng chữ cái để chỉ các ẩn số và dùng các chữ cái đầu tiên của bảng chữ cái để chỉ các giá trị đã biết. Ông cũng đã sáng tạo ra hệ thống ký hiệu để mô tả lũy thừa của các số (chẳng hạn trong biểu thức x²). Mặt khác, chính ông đã thiết lập ra phương pháp, gọi là phương pháp dấu hiệu Descartes, để tìm số nghiệm âm, dương của bất cứ phương trình đại số nào (theo Bách Khoa toàn thư mở). Hệ tọa độ trong không gian (3 chiều) ứng dụng rất nhiều trong cuộc sống, như trong kiến trúc, thể hiện tọa độ một vật trong không gian,.. Trong xây dựng vị trí của các hạng mục công trình, các kết cấu đều được cho trên các bản vẽ thiết kế bằng các giá trị toạ độ X, Y, H trong đó toạ độ X và Y xác định vị trí của một điểm trên mặt phẳng, H là độ cao của điểm đó so với một mặt chuẩn nào đó. Mặt chuẩn này có thể là mặt nước biển dùng trong hệ độ cao nhà nước (sea level), nó cũng có thể là mặt đất trung bình của mặt bằng thi công xây dựng (ground level) hoặc độ cao theo mặt phẳng được quy định là của nhà máy hoặc công trình (plan level).