Giáo án Hình học Lớp 12 - Chương 1: Khối đa diện - Bài 3: Khái niệm thể tích của khối đa diện

2Bài 3: KHÁI NIỆM THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN 1. Giới thiệu: Hãy quan sát các hình sau và trả lời các câu hỏi. Câu 1: Khối Rubik (H1) có các ô vuông tô màu kích thước 1cm. Hỏi thể tích của khối Rubik bằng bao nhiêu? Câu 2: Cần bao nhiêu khối đất, đá để đắp được khối kim tự tháp là hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh đáy là 230m , chiều cao là 147m ( H2). Câu 3: Có thể xếp hết hay không các vali ở hình 3vào của khoang hành lý ôtô ở hình 4? Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4 Thể tích của một khối da diện được xác định và tính như thế nào? 2. Nội dung bài học: 2.1 khái niệm vể thể tích khối đa diện Ví dụ 1: Hình lập phương có cạnh bằng thì thể tích là Hai khối lăng trụ bằng nhau thì có thể tích bằng nhau. Hai khối lập phương có cạnh bằng 3 (bằng nhau) nên thể tích bằng nhau. Khối lập phương có cạnh 3x3x3 có thể tích được chia thành hai khối hình hộp chữ nhật có kích thước lần lượt: Khối 1: 3x3x1. Khối 1 có thể tích: Khối 2: 3x3x2, có thể tích: Thể tích của một khối đa diện hiểu theo nghĩa thông thường là số đo độ lớn phần không gian mà nó chiếm chỗ (Bao gồm phần không gian bên trong và hình đa diện) Định nghĩa: Mỗi khối đa diện (H) có một thể tích là một số duy nhất V(H) thoả mãn các tính chất sau: i) V(H) là một số dương; ii) Nếu (H) là khối lập phương có cạnh bằng 1 thì V(H) =1. iii) Nếu hai khối đa diện (H) và (H’) bằng nhau thì V(H) = V(H’) iv) Nếu khối đa diện (H) được phân chia thành hai khối đa diện (H1) và (H2) thì: V(H)=V(H1 )+ V(H2). ! Chú ý: Số dương V(H) nói trên cũng được gọi là thế tích của hình đa diện giới hạn khối da diện (H). Khối lập phương có cạnh bằng 1 được gọi là khối lập phương đơn vị. Thể tích của khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước. 2.2 Thể tích khối lăng trụ: Nếu xem khối hộp chữ nhật là khối lăng trụ có đáy là hình chữ nhật và chiều cao thì từ chú ý trên suy ra thể tích của nó bằng diện tích đáy nhân với chiều cao. Ta có thể chứng minh được điều đó cũng đúng với khối lăng trụ bất kỳ. Định lí: Thể tích của một khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao là: Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ có diện tích đáy là và chiều cao thì thể tích bằng bao nhiêu? ! Gợi ý: Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ đứng tam giác có đáy là tam giác vuông tại , . Tính thể tích của khối lăng trụ. ! Gợi ý: Vì là nửa tam giác đều nên có diện tích: Thể tích khối lăng trụ 2.3 Thể tích khối chóp: Ở bài trước, chúng ta đã chia một khối lăng trụ thành 3 khối chóp có đáy là tam giác, vậy liệu chăng thể tích của 3 khối chóp có bằng nhau? Và công thức để tính thể tích của khối chóp là gì? Định lí: Thể tích của một khối chóp có diện tích đáy và chiều cao là: Ví dụ 4: Cho hình chóp tam giác có đáy là tam giác đều cạnh , chiều cao hạ từ đỉnh đến mặt phẳng bằng . Thể tích của khối chóp bằng bao nhiêu? ! Gợi ý: Diện tích tam giác Thể tích khối chóp 3. Luyện tập: Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy và chiều cao đều bằng . Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a. Tính thể tích khối bát điện đều cạnh a. Tính thể tích của khối chóp tam giác đều có cạnh bên và cạnh đáy bằng . Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Tính tỉ số thể tích của khối hộp đó và thể tích của khối tứ diện ACB'D'. Cho hình chóp S.ABC. Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A', B', C' khác S. Chứng minh rằng Cho hình chóp có là tam giác vuông tại, , . Tính thể tích khối chóp . Gọi lần lượt là hình chiếu của lên . Tính thể tích khối chóp . Giải Diện tích tam giác là: . Thể tích của khối chóp là: Gọi ,lần lượt là thể tích của các khối chóp . Khi đó: Cho hình lăng trụ tam giác. Gọi và lần lượt lừ trung điểm của các cạnh và. Đường thẳng cắt đường thẳng tại. Đường thẳng cắt đường thẳng tại. Gọi là thể tích khối lăng trụ. a) Tính thể tích khối chóp theo . b) Gọi khối đa diện là phần còn lại của khối lăng trụ sau khi cắt bỏ đi khối chóp. Tính tỉ số thể tích của và của khối chóp . Giải Hình chóp C. A'B'C' và hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy và đường cao bằng nhau nên Từ đó suy ra Do EF là đường trung bình của hình bình hành ABB'A' nên diện tích ABFE bằng nửa diện tích ABB'A'. Do đó Áp dựng câu a) ta có Vì EA' song song và bằng CC' nên theo định lí Ta-let, A’ là trung điểm của E'C. Tương tự, B' là trung điểm của F'C. Do dó diện tích tam giác C'E'F' gấp bốn lần diện tích tam giác A'B'C. Từ đó suy ra Do đó 4. Vận dụng: Cần khoảng bao nhiêu khối đất, đá để đắp được khối kim tự tháp là hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh đáy là 230m , chiều cao là 147m. Tính thể tích của khối rubik là khối 12 mặt đều có cạnh bằng 5cm. .Một bậc tam cấp được xếp từ các khối đá hình lập phương có cạnh bằng bằng như hình vẽ. Hãy tính thể tích của khối tam cấp? 5. Mở rộng – sáng tạo: Hai khối đa diện có thể tích bằng nhau thì có bằng nhau hay không? Nếu không thì em hãy cho ví dụ. Hãy đọc phần chứng minh công thức tính thể tích cho khối chóp và khối lăng trụ ở bài 3, chương 3, Giải tích lớp 12 - Ứng dụng hình học của tích phân. Có thể xếp hết hay không các vali ở hình 3vào của khoang hành lý ôtô ở hình 4? Hình 3 Hình 4 Em hãy tìm hiểu vì sao các hãng hàng không lại quy định kích thước hành lý như sau?