Giáo án Hình học Lớp 11 - Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian - Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

C3 Bài 2: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG KHỞI ĐỘNG Hình ảnh của sợi dây dọi vuông góc nền nhà cho ta khái niệm về sự vuông góc của đường thẳng với mặt phẳng. Em hãy quan sát hình ảnh giá đỡ ba chân. Trục của giá đỡ vuông góc mặt đất còn ba chân của giá đỡ thì không. I. ĐỊNH NGHĨA A. TIẾP CẬN KHÁI NIỆM Trụ điện gió vuông góc với đường chân trời nếu bạn nhìn ở một vị trí bất kỳ ngoài trụ điện. B. HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM Hãy đọc kỹ nội dung sau: Định nghĩa: Đường thẳng (d) được gọi là vuông góc với mặt phẳng (α) nếu (d) vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (α). Ký hiệu: d⊥α. d⊥α⟺d vuông góc với mọi đường thẳng a⊂(α). C. CỦNG CỐ Hãy quan sát hai hình ở trên và xác định hình ảnh nào có sự vuông góc của đường với mặt tương ứng ? Hãy nêu ví dụ hình ảnh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng trong phòng học mà em quan sát được, giải thích. Ví dụ: Cho tứ diện SABC, Nếu SA(ABC) thì SA có vuông với AB, AC, BC hay không? Giải thích. II. ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG A. KHỞI ĐỘNG 1. Dùng bút đặt vuông góc với một cạnh của bàn học. Hỏi bút có vuông góc với mặt bàn không? Khi nào thì bút vuông góc với mặt bàn? 2. Quan sát hình vẽ thang xếp. Hãy cho biết trụ d của thang có vuông góc với cạnh ngoài của mặt thang (P) không? Trụ d của thang có vuông với mặt thang (P) không? Hãy dự đoán xếp thang ở vị trí nào của thang thì trụ d vuông góc mặt (P). B. HÌNH THÀNH KIẾN THỨC. Định lý: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy. Chứng minh. Giả sử hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc mặt phẳng (α) là a và b lần lượt có các véc tơ chỉ phương là m, n (không cùng phương) . Gọi c là một đường thẳng bất kỳ nằm trong mặt phẳng α có véc tơ chỉ phương là p. Vì ba véc tơ m, n, p đồng phẳng và m, n là hai vecto không cùng phương nên ta có hai số x, y sao cho p=x.m+y. n Gọi u là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d. Vì d⊥a và d⊥b nên ta có u.m=u.m=0. Khi đó u.p=u.x.m+y. n=x.u.m+y. u.n=0. Vậy đường thẳng d vuông góc với đường thẳng c bất kỳ nằm trong mặt phẳng α nên d vuông góc mặt phẳng α. a∩b=Ia;b⊂αd⊥ad⊥b⟹d⊥α. Theo định lý để chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng thì ta phải làm thế nào? C. LUYỆN TẬP Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC với đáy là tam gác ABC vuông tại B, biết SAAB và SAAC Chứng minh SA(ABC). Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC với đáy là tam giác ABC vuông tại B biết SAABC. Chứng minh BC(SAB) Gọi AH là đường cao của tam giác SAB. Chứng minh AH SC. Lưu ý: * Để chứng minh một đường thẳng vuông góc với đường thẳng ta có thể chứng minh đường thẳng đó vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng đó. * Một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba của tam giác. D. VẬN DỤNG Bài tập. 1. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và BCD là hai tam giác cân có chung cạnh đáy BC. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. a) Chứng minh rằng BC vuông góc với mặt phẳng ADI. b) Gọi AH là đường cao của tam giác ADI, chứng minh rằng AH vuông góc với mặt phẳng BCD. 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD và có SA=SB=SC=SD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng: a) Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng ABCD. b) Đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng (BCD) và đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC). 3. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O tới mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng: a) H là trực tâm của tam giác ABC. b) 1OH2=1OA2+1OB2+1OC2. E. TÌM TÒI VÀ MỞ RỘNG ? EM CÓ BIẾT. TÓ DỰNG TRỤ TÓ - Có chiều dài và đường kính khác nhau, có thể dựng trụ từ 8 đến 12 m. - Tời quay tay 2 cấp độ, chịu được từ 0,5 đến 5 tấn. - Tó dùng để dựng trụ vuông góc với mặt đất.