Giáo án Hình học Lớp 11 - Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Hệ song song - Bài 2: Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song

§2. Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song. A. Hoạt động khởi động: Quan sát hai hình và nhận xét về hai đường thẳng trên b b a a Quan sát hai hình và nhận xét về hai đường thẳng a và b B. Hoạt động hình thành kiến thức: I- VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN: Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa a và b. Khi đó ta nói a và b đồng phẳng, có ba khả năng xảy ra: i) a và b có điểm chung duy nhất M. Ta nói a và b cắt nhau tại M và kí hiệu là a Ç b = {M}. Ta có thể viết a Ç b = M. ii) a và b không có điểm chung. Ta nói a và b song song với nhau và kí hiệu là a // b. iii) a trùng b, kí hiệu là a º b. a Ç b = M a // b a º b Như vậy, hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung. Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa a và b. Khi đó ta nói a và b chéo nhau hay a chéo với b. a và b chéo nhau Hãy chỉ ra tất cả các cặp đường thẳng chéo nhau trong tứ diện ABCD. II- TÍNH CHẤT: Định lí 1: Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. * Nhận xét: Hai đường thẳng song song a và b xác định một mặt phẳng, kí hiệu là mp(a, b) hay (a, b) Cho hai mặt phẳng () và (b ) cắt nhau. Một mặt phẳng (g) cắt () và (b) lần lượt theo giao tuyến a và b. Chứng minh rằng khi a và b cắt nhau tại I thì I là điểm chung của () và (b) Định lí 2: (về giao tuyến của ba mặt phẳng): Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau. Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó. Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Xác định giao tuyến của các mặt phẳng (SAD) và (SBC). Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và BD. (P) là mặt phẳng qua IJ và cắt AC, AD lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng tứ giác IJNM là hình thang. Nếu M là trung điểm của AC thì tứ giác IJNM là hình gì? Định lí 3: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. Khi hai đường thẳng a và b cùng song song với đường thẳng c ta kí hiệu a // b // c và gọi là ba đường thẳng song song. Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R và S lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD, AB, CD, AD và BC. Chứng minh rằng các đoạn thẳng MN, PQ, RS đồng quy tại trung điểm của mỗi đoạn. C. Hoạt động luyện tập: Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q, R và S là bốn điểm lần lượt lấy trên bốn cạnh AB, BC, CD và DA. Chứng minh rằng nếu bốn điểm P, Q, R và S đồng phẳng thì a) Ba đường thẳng PQ, SR và AC hoặc song song hoặc đồng quy. b) Ba đường thẳng PS, RQ và BD hoặc song song hoặc đồng quy. Bài 2: Cho tứ diện ABCD và ba điểm P, Q, R lần lượt lấy trên ba cạnh AB, CD, BC. Tìm giao điểm S của AD và mặt phẳng (PQR) trong hai trường hợp sau đây: a) PR song song với AC. b) PR cắt AC. Bài 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB và CD và G là trung điểm của cạnh MN. a) Tìm giao điểm A’ của đường thẳng AG và mặt phẳng (BCD). b) Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với AA’ và Mx cắt (BCD) tại M’. Chứng minh B, M’, A’ thẳng hàng và BM’ = M’A’ = A’N. c) Chứng minh GA = 3GA’. D. Hoạt động tìm tịi mở rộng: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, O là giao điểm của AC và BD, M là trung điểm của SA. Tìm thiết diện của mặt pẳng ( ) với hình chóp S.ABCD nếu () qua M và đồng thời song song với SC và AD. Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tứ diện. Trong mp(ABP) gọi . Chứng minh rằng: a) G’ là trọng tâm tam giác BCD. b) c) bốn đường thẳng nối đỉnh đến trọng tâm của mặt đối diện đồng quy.