Giáo án Hình học Lớp 10 - Chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng - Bài 1: Phương trình đường thẳng - Trường THPT chuyên Nguyễn Đình Chiểu

ỘNG Chúng ta bắt đầu với bài toán cơ bản sau: "Trong mặt phẳng (xOy) tính khoảng cách từ M(3;1) đến đường thẳng cố định d: 3x+2y-5=0". Từ đây ta xây dựng hệ thống bài tập trong mặt phẳng toạ độ về cực trị HH nhờ kết hợp TMD với các đặc tính khác của TD sáng tạo và các hoạt động trí tuệ. Hướng 1: Giữ điểm M cố định, thay giả thiết đường thẳng d cố định thành đường thẳng d thay đổi ta có bài toán: Bài 1. Tìm m để khoảng cách từ M(3;1) đến đường thẳng d: x+(m-1)y+m=0 là lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. Bài toán có thể giải theo cách sử dụng công thức khoảng cách. Sau đó khảo sát hàm khoảng cách theo m để tìm giá trị lớn nhất của hàm khoảng cách. Tuy nhiên việc làm này không đơn giản vì hàm khoảng cách có cấu trúc phức tạp gồm cả căn và trị tuyệt đối. Vì vậy cần phải phát hiện được: bài toán ẩn đi yếu tố đường thẳng d thay đổi nhưng luôn đi qua điểm cố định là I(-1;-1). Nên ta có thể giải theo cách nhìn HH như sau: Giải: Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống d. Ta có MHdấu bằng xảy ra khi H trùng I. Khi đó khoảng cách từ M đến d là lớn nhất và d chính là đường thẳng vuông góc với MI nên ( Với là VTCP của d). Khoảng cách lớn nhất là MI=. Hướng 2: TD thuận nghịch bài toán ta có các bài toán sau: Bài 2. Cho điểm M và điểm I cố định, (M khác I). Viết PTĐT d đi qua I sao cho: a. Khoảng cách từ M đến đường thẳng d là lớn nhất. b. Khoảng cách từ M đến đường thẳng d là nhỏ nhất. c. Khoảng cách từ M đến đường thẳng d bằng k=const. Phần a: Giải như bài 1. Phần b: Khoảng cách từ M đến đường thẳng d nhỏ nhất khi d là đường thẳng đi qua MI. Phần c: Bài toán không quá khó các em sẽ tự tìm được lời giải. Hướng 3: Tiếp tục tăng số điểm cố định ta tìm được bài tập sau: Bài 3. Cho M, N biết tọa độ cố định và đường thẳng d có PT cố định (M, N không thuộc d). a. Nếu M, N khác phía so với d. Tìm I thuộc d để IM+IN nhỏ nhất. b. Nếu M, N cùng phía so với d. Tìm I thuộc d để IM+IN nhỏ nhất. c. Nếu M, N cùng phía so với d. Tìm I thuộc d để lớn nhất. Đây đều là các bài tập đã quen biết của phần HH phẳng và HH véc tơ bây giờ được giải bằng phương pháp tọa độ nên ta sẽ dùng kiến thức HH phẳng để lập luận và tìm kiếm lời giải. Phần a: Nếu M, N khác phía so với d. điểm I thuộc d để IM+IN nhỏ nhất chính là giao điểm của đường thẳng MN với đường thẳng d vì IM+IN. Dấu bằng xảy ra khi I là giao điểm của đường thẳng MN với đường thẳng d. Phần b: Ta chuyển bài toán cùng phía về bài toán khác phía nhờ cách lấy đối xứng M qua d được điểm M’. Khi đó IM+IN=IM’+IN. Dấu bằng xảy ra khi I chính là giao điểm của M’N với d. Phần c: Theo BĐT tam giác ta luôn có dấu bằng xảy ra khi I là giao điểm của đường thẳng MN với d. (Điều này đúng khi M, N nằm cùng phía với d. Trường hợp M, N nằm khác phía ta có thể lấy đối xứng điểm M qua d được điểm M’ và đẩy về trường hợp M, N nằm cùng phía với d ). Hướng 4: Ta tiếp tục giữ nguyên giả thiết và tìm kiếm các kết quả có thể tìm được: Bài 4. Cho M, N biết tọa độ cố định và đường thẳng d có PT cố định. Tìm I thuộc d sao cho nhỏ nhất. Cách 1: Do I thuộc d có thể viết tọa độ I theo một tham số từ đó tính theo t và đánh giá giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số theo t. Cách 2: Sử dụng kiến thức vectơ: với P là trung điểm của MN. Vậy nhỏ nhất khi IP nhỏ nhất I là hình chiếu của P lên đường thẳng d. Hướng 5: Bằng cách tương tự hóa ta tìm được bài toán sau: Bài 5. Cho tam giác ABC biết tọa độ ba đỉnh cố định và đường thẳng d có PT cố định. Tìm I thuộc d sao cho nhỏ nhất. Có thể giải tương tự như bài 4. Cách 1: Do I thuộc d có thể viết tọa độ I theo một tham số từ đó tính theo t và đánh giá giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số theo t.Cách 2: Sử dụng kiến thức vectơ: với G là trọng tâm tam giác ABC khi đó nhỏ nhất khi IG nhỏ nhất I là hình chiếu của G lên đường thẳng d. Hướng 6: Bằng cách khái quát hóa các hướng 4, 5 ta tìm được bài toán sau: Bài 6. Cho n điểm biết tọa độ cố định và đường thẳng d có PT cố định. Tìm I thuộc d sao cho nhỏ nhất. Hướng 7: Quay về bài 3 tiếp tục gia tăng số điểm trên đường thẳng để có bài toán: Bài 7. Cho M, N biết tọa độ cố định và đường thẳng d có PT cố định (M, N không thuộc d). Tìm hai điểm A, B thuộc d biết AB=2 sao cho MA+AB+BN nhỏ nhất. a. Cho M, N khác phía so với d. b. Cho M, N cùng phía so với d. Giả sử đã tìm được A, B thỏa mãn yêu cầu bài toán. Gọi M’ là đỉnh thứ tư của hình bình hành MABM’. Ta có MA+AB+BN nhỏ nhất khi và chỉ khi MA+BN=M’B+BN nhỏ nhất. Bài toán quay về tìm một điểm như bài 3. Một cách tương tự ta có bài toán: Bài 8. Cho M và N là hai điểm cố định không thuộc và nằm cùng phía với đường thẳng d, P và Q là hai điểm thuộc d, k là một số thực. Tìm A và B thuộc d sao cho và độ dài đường gấp khúc MABN ngắn nhất. Hướng 8: Từ bài tài toán trên ta có thể khái quát hóa thành bài toán : Bài 9. Trong mặt phẳng, cho đường thẳng d, M và N là hai điểm cố định tuỳ ý cho P1, P2, ... Pn là các điểm cố định thuộc d, k1, k2, ... kn-1 là (n-1) số thực. Tìm trên d các điểm A1, A2, ... An sao cho và tổng MA1 + A1A2 + ... + AnN ngắn nhất. Hướng 9: Tăng thêm về số đường thẳng Hướng 9.1: Nếu các đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Bài 10. Trong mặt phẳng, cho đường thẳng d1 và đường thẳng d2 song song hoặc trùng nhau, cho P và Q là hai điểm cố định lần lượt nằm trên d1 và d2 , điểm A và điểm B nằm về hai phía khác nhau đối với mỗi đường thẳng đó. Tìm lần lượt trên d1 và d2 điểm M và N sao cho và tổng AM + MN + NB bé nhất. Tổng quát hóa bài 10 ta có bài toán: Bài 11. Trong mặt phẳng, cho n đường thẳng d1, d2, ... dn đôi một song song hoặc trùng nhau. Cho P1 , P2 , ... Pn là n điểm lần lượt cố định trên d1, d2 ,... dn, điểm A và điểm B cố định tuỳ ý. Tìm lần lượt trên d1, d2, ... dn các điểm M1, M2,... Mn sao cho và tổng AM1 + M1M2 + ... + MnB bé nhất. Hướng 9.2: Nếu hai đường thẳng cắt nhau ta tìm được bài toán: Bài 12. Cho A là một điểm thuộc miền trong của góc nhọn xOy. Hãy tìm điểm M, N lần lượt thuộc tia Ox, Oy sao cho tổng độ dài đường gấp khúc AMNA ngắn nhất. Độ dài đường gấp khúc AMNA ngắn nhất Chu vi tam giác AMN nhỏ nhất. Gọi lần lượt đối xứng với A qua Ox, Oy Khi đó AM+MN+NA=A’M+MN+NA'' ≥ A'A'' Dấu bằng xảy ra khi M, N lần lượt là giao điểm của với các tia Ox, Oy. Hướng 9.3: Trường hợp ba đường thẳng cắt nhau. Bài 13. Biết tọa độ điểm P thuộc PTĐT BC. Tìm M, N là 2 điểm lần lượt nằm trên cạnh AB và cạnh AC của tam giác nhọn ABC sao cho tam giác MNP có chu vi ngắn nhất. Đây chính là một cách phát biểu khác của bài 12. Trong bài 13., chúng ta đã xét bài toán với giả thiết điểm điểm P cố định trên BC và đi tìm M, N lần lượt trên AB, AC. Trong bài toán tiếp theo chúng ta sẽ xét bài toán với TD đảo lại là: Bài 14. Cho M, N là 2 điểm cố định lần lượt nằm trên cạnh AB và cạnh AC của tam giác nhọn ABC. Tìm điểm P thuộc đường thẳng BC sao cho tam giác MNP có chu vi ngắn nhất. (Đây là cách phát biểu khác của bài 3). Phức tạp hơn nữa ta đi tìm cả 3 điểm M, N, P. Bài 15. Cho tam giác nhọn ABC. Tìm trên AB, BC, CA các điểm M, N, P sao cho tam giác MNP có chu vi bé nhất. Ta chứng minh được để tam giác MNP có chu vi bé nhất M, N, P chính là chân đường vuông góc hạ từ các đỉnh xuống 3 cạnh. Trong bài 15, tam giác ABC được cho trước và chúng ta đi tìm tam giác MNP. Tiếp theo, chúng ta thử hoán vị giả thiết và kết luận để có bài toán mới. Cụ thể chúng ta xét bài toán sau đây: Bài 16. Trong mặt phẳng, cho tam giác MNP. Hãy xác định tam giác ABC sao cho và tam giác ABC nhận MNP làm tam giác nội tiếp có chu vi bé nhất trong tất cả các tam giác nội tiếp nó. Hướng 10: Đổi vai trò của điểm và đường thẳng trong bài 3 hay chính là đặc biệt hóa giả thiết bài 12. Cho hai đường thẳng cố định và một điểm cố định, xét trường hợp đặc biệt hai đường thẳng cố định chính là hai trục Ox, Oy ta có hai bài toán sau: Bài 17. Lập PTĐT d đi qua A(2;3) cắt các tia Ox, Oy tại M, N khác O sao cho: a. Diện tích tam giác OMN bằng 2. b. Diện tích tam giác OMN nhỏ nhất. c. Sao cho OM+ON nhỏ nhất. d. Sao cho A là trung điểm của MN. e. Sao cho OM+ON=4. f. Sao cho chu vi tam giác OMN= 6. Các yêu cầu a, b, c, d đã được giải quyết ở phần trước. Còn yêu cầu e, f không quá khó các em sẽ tự tìm kiếm được lời giải. Hướng 11: Xét tình huống tổng quát cho hai đường thẳng bất kì cắt nhau. Ta có bài toán sau: Bài 18. Trong mặt phẳng (xOy) cho PT hai đường thẳng d và d’ cắt nhau tại I và tọa độ điểm M (M không thuộc d và d’). Viết PTĐT a đi qua M a. Sao cho khoảng cách từ I tới a là lớn nhất. b. Sao cho a cắt d và d’ lần lượt tại A, B và diện tích tam giác IAB nhỏ nhất. Hướng 12: Xem xét lại bài tập 1 và 4 cho ta cách giải liên quan tới biểu thức đại số, ngược lại có những bài toán tính max, min của biểu thức đại số lại có thể giải bằng phương pháp tọa độ liên quan tới đường thẳng. Ta có bài toán sau: Bài 19. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của F=2x-y với x, y thỏa mãn điều kiện . HD: Ta kí hiệu d: 2x-y=0, (C) là đường tròn . Các tiếp tuyến của (C) song song với d có PT là 2x-y=5 và 2x-y=-5. Các điểm T(2;-1), T’(-2;1) là tiếp điểm của (C). Các giao điểm của các tiếp tuyến với trục Ox là M; M’. Biểu thức F=2x-y xác định đường thẳng d’ phụ thuộc F, d cắt trục Ox tại điểm A. Để đường thẳng d có ít nhất một điểm chung với (C) điều kiện cần và đủ là A thuộc đoạn MM’. Từ đó ta tìm được minF=-5 đạt được tại x=-2; y=1 và maxF=5 đạt được tại x=2, y=-1. Từ bài 19 lại có thể mở ra cho chúng ta một kho tàng các bài toán tìm max, min của biểu thức đại số theo phương pháp HH. Chúng ta có bài toán tổng quát sau: Bài 20. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của F=ax+by với x, y thỏa mãn điều kiện . Ở cấp độ cao hơn ta có thể tổng quát ở các cấp độ cao dần: Bài 21. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của F=ax+by với x, y thỏa mãn điều kiện . Đặt X=x-p; Y=y-q ta sẽ quay trở về bài 20. Bài 22. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của F=ax+by với x, y thỏa mãn điều kiện (Với m, n, r dương). Viết . Đặt X=; Y=(bài toán 1.20) Bài 23. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của F=ax+by với x, y thỏa mãn điều kiện (Với m, n dương). Đặt X=(x-p); Y=(y-q) ta sẽ quay trở về bài toán 20.