Giáo án Hình học Lớp 10 - Chương 1: Vectơ - Bài 2: Tổng hiệu của hai vectơ

ội chơi kéo co, kéo dây về hai hướng ngược nhau cùng một lúc. Giả sử hai đội có lực kéo như nhau, quan sát và nhận xét sự dịch chuyển của dây tại thời điểm đó. Cho hình bình hành ABCD, nhận xét độ dài và hướng của hai vectơ và . b) Hình thành kiến thức + Cho bất kỳ, vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với gọi là vectơ đối của , kí hiệu là + Mỗi vectơ đều có vectơ đối. Vectơ đối của là , nghĩa là + Vectơ đối của là c) Ví dụ Ví dụ 9: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Tìm vectơ đối của các vectơ . Ví dụ 10: Cho . Chứng tỏ là vectơ đối của (Hai vectơ đối có tổng bằng , liên hệ hai số đối có tổng bằng 0) 2.2. Hiệu của hai vectơ a) Khởi động Cho hai số thực a, b. Điền vào ô trống: o b) Hình thành kiến thức mới Cho hai vectơ Ta gọi hiệu của hai vectơ và là vectơ , kí hiệu Phép toán tìm hiệu hai vectơ gọi là phép trừ vectơ. c) Ví dụ Ví dụ 11: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, thu gọn . Quy tắc hiệu Với ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có Ví dụ 12: Cho ba điểm phân biệt M, N, P. Đẳng thức nào sau đây là sai? A. B. C. D. Ví dụ 13: Cho tam giác ABC đều cạnh a. Khẳng định nào sau đây đúng: a. b. c. d. 2.3. Trung điểm của đoạn thẳng – Trọng tâm của tam giác. a) Khởi động Làm theo hướng dẫn hai bài toán sau: Bài toán 1 a) Cho I là trung điểm đoạn thẳng AB Tìm vectơ đối của Thu gọn b) Cho đoạn thẳng AB và điểm I thỏa Nhận xét độ dài và hướng của hai vectơ và Chứng minh I là trung điểm của đoạn thẳng AB Bài toán 2 a) Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi D là điểm đối xứng của A qua G. Chứng minh BGCD là hình bình hành. Chứng minh G là trung điểm của AD. Thu gọn b) Cho tam giác ABC và điểm G thỏa . Gọi I là trung điểm của BC. Vẽ hình bình hành BGCD. Thu gọn Chứng minh G là trung điểm của AD. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC. b) Hình thành kiến thức mới Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi c) Ví dụ Ví dụ 13: a) Cho đoạn thẳng MN có trung điểm K. Tìm hai vectơ có tổng bằng b) Cho tam giác DEF có G là trọng tâm. Tìm ba vectơ có tổng bằng Ví dụ 14: Điều kiện cần và đủ để I là trung điểm của đoạn thẳng AB là: A. B. C. D. . C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP I. Bài tập trắc nghiệm Cho hình chữ nhật ABCD có AB=3, BC=4. Độ dài của là: a) 5 b) 6 c) 7 d) 9 Cho ba điểm phân biệt A, B, C . Đẳng thức nào đúng? a) b) c) + = d) Cho hai điểm A và B phân biệt. Điều kiện để I là trung điểm AB là: a) IA = IB b) c) d) Cho DABC cân ở A, đường cao AH . Câu nào sau đây sai: a) b) c) d) Cho đường tròn tâm O và hai tiếp tuyến song song với nhau tiếp xúc với (O) tại hai điểm A và B . Câu nào sau đây đúng: a) b) c) OA = –OB d) AB = –BA Cho DABC đều , cạnh a . Câu nào sau đây đúng: a) b) c) d) Cho đ.tròn tâm O , và hai tiếp tuyến MT, MT ' (T và T' là hai tiếp điểm) . Câu nào sau đây đúng: a) b) c) MT = MT ¢ d) Cho DABC, với M là trung điểm của BC . Tìm câu đúng: a) b) c) d) Cho DABC với M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB . Tìm câu sai: a) b) c) d) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Vectơ nào trong các vectơ dưới đây bằng ? a) b) c) d) Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để I là trung điểm của đoạn thẳng AB. a) I A = I B b) c) d) Cho ba điểm ABC. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng: a) AB + BC = AC b) c) d) Cho bốn điểm ABCD. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng: a) b) c) d) Cho hình vuông ABCD, trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng ?   a) b) c) d) Cho DABC và một điểm M thoả mãn điều kiện . Trong các mệnh đề sau tìm đề sai : a) MABC là hình bình hành b) c) d) II. Bài tập tự luận Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Hãy xác định các vectơ sau và tính độ dài của chúng: a) b) c) d) e) f) g) h) Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC và AD. Tìm tổng của hai vectơ và ; và ; và . Cho 6 điểm A, B, C, D, E, E. Chứng minh rằng: a) b) Cho hình thoi ABCD cạnh a, . Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Tính ; ; . Vẽ bên ngoài tam giác ABC các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh: . Cho tam giác ABC. Gọi A’ là điểm đối xứng của B qua A, B’ là điểm đối xứng của C qua B, C’ là điểm đối xứng của A qua C. Chứng minh rằng: , với mọi điểm O. Cho tứ giác ABCD có và . Tứ giác ABCD là hình gì? D. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG (Trả lời 2 câu hỏi ở HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG) Câu 1. Hình 1 Để kéo chiếc một ống hình trụ lên một dóc nghiêng mỗi người công nhân cần dùng một lực 500N mỗi người. Nếu như có phương tiện kéo là chiếc máy kéo thì lực kéo của máy kéo phải ít nhất là bao nhiêu để kéo được ống hình trụ lên dóc nghiêng đó ? Tại sao? Trả lời Lực kéo của máy kéo phải ít nhất là từ 1000N trở lên để để kéo được ống hình trụ lên dóc nghiêng đó. Vì lực kéo của máy kéo ít nhất phải bằng tổng lực của hai công nhân. Câu 2. Giả sử có có một con tàu trên sông đang gặp nạn (máy không hoạt động), hai tàu cứu hộ kéo con tàu theo hướng khác nhau ( với hai lực khác nhau) như hình vẽ. Theo em con tàu sẽ di chuyển theo hướng nào? (giả sử lực cản của nước chảy là không đáng kể). Trả lời Con tàu sẽ duy chuyển theo hướng của vectơ là vectơ tổng của hai vectơ và E. HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI VÀ MỞ RỘNG KIẾN THỨC Từ vec-tơ là từ nhập từ tiếng Pháp vào Việt Nam. Tiếng Pháp viết là vecteur, đọc là véc-tơ, tiếng Anh viết là vector và đọc cũng thành véc-tơ. Phần lớn các thứ tiếng phương Tây khác cũng viết và đọc từ này tương tự như vậy.  Nó có gốc La-tinh, xuất phát từ động từ vehere (mang đi, đưa đi, cưỡi đi). Nghĩa gốc của từ vector chính là “vật/người chở đi, mang đi, cưỡi đi”. Động từ vehere còn sinh ra một từ quen thuộc khác, là từ vehicle (hay vehicule tiếng Pháp), chính là cỗ xe để chở đi. Với gốc như vậy,  từ vector trong mỗi lĩnh vực khác nhau  có thể có một nghĩa khác nhau. Chẳng hạn trong sinh vật học, nó được dùng với nghĩa “vật truyền cái gì đó”. Ví dụ như các con muỗi được gọi là vector của bệnh sốt rét (malaria). Trong hình học ngày nay, vec-tơ được hiểu là một đại lượng vừa có hướng vừa có độ lớn. Những đại lượng mà chỉ có độ lớn thôi chứ không có hướng, ví dụ như độ dài, thể tích, khối lượng, v.v., thì được gọi là những đại lượng vô hướng, scalars.  Những đại lượng mà có cả hướng lẫn độ lớn, như là vận tốc, gia tốc, lực, từ trường, v.v. thì được biểu diễn bằng các vec-tơ. Để vẽ một vec-tơ, người ta có thể vẽ một đoạn thẳng nối từ một điểm A nào đó đến một điểm B nào đó trên mặt phẳng hay trong không gian. Hướng đi từ A đến B chính là hướng của vec-tơ , và độ lớn (đô dài) của đoạn  thẳng AB chính là độ lớn của vec-tơ. Khái niệm đoạn thẳng có hướng (tức là vec-tơ) như vậy được một nhà bác học người Italia tên là Giusto Bellavitis (1803-1880) đề xuất vào giữa thế kỷ 19 (khoảng năm 1846) dưới tên gọi “bipoint”, cùng với  nguyên tắc cộng  vec-tơ AB + BC = AC và nguyên tắc hai vec-tơ bằng nhau nếu 4 điểm tạo thành hình bình hành mà chúng ta biết đến ngày nay. Cách làm của Bellavitis cho phép nghiên cứu các vec-tơ mà không cần dùng đến hệ tọa độ. Trước đó, nhà toán học Bernard Bolzano (1781-1848)  đã đề xuất từ năm 1804, rồi nhà toán học August Ferdinand Mobius (1790-1868) phát triển vào năm 1827,  một số phép toán là tiền thân của phép tính vec-tơ, với các điểm và các hình mà không cần dùng đến hệ tọa độ. Tuy nhiên, trong nhiều vấn đề, khi có hệ tọa độ (hay như nói theo ngôn ngữ ngày nay, có cơ sở của không gian vec-tơ) thì vẫn tiện hơn. Có thể biểu diễn và tính toán các vec-tơ (và các thứ khác trong hình học)  thông qua các tọa độ của chúng. Phương pháp tọa độ, và môn hình học giải tích  gắn liền với nó, được Descartes và Fermat đưa ra và nghiên cứu từ nửa đầu thế kỷ 17, và được Newton sử dụng trong công trình của mình. cả ba người này tất nhiên đều đã làm việc với các vec-tơ, chỉ có điều họ chưa gọi chúng là vec-tơ, vì từ vec-tơ trong toán học về sau mới xuất hiện. Trong số những nhà toán học đầu tiên dùng từ vector/vecteur, có thể kể đến William Hamilton (1731-1803) và Pierre-Simon de Laplace (1749-1827), cho những trường hợp riêng. Hamilton  nghiên cứu các số quaternion, tức là các mở rộng của số phức gồm những 4 thành phần, dạng A + iB +jC +kD với A, B, C, D  là các số thực (trong khi số phức chỉ có 2 thành phần A + iB), và ông ta gọi  iB +jC +kD là thành phần vec-tơ của số quaternion. Còn Laplace thì gọi đường thẳng tưởng tượng nối từ tâm mặt trời tới tâm trái đất là “vec-tơ tia nối” (rayon vecteur, vector radius), gọi tắt là vec-tơ, và dùng nó để mô tả định luật Kepler (vec-tơ này quét những miền có diện tích bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau). Rất nhiều nhà toán học khác của thế kỷ 19, như là Grassmann, Gibbs,  Laguerre, Mourey, v.v. đã đóng góp vào việc phát trển khái niệm vec-tơ trong toán học. Giuseppe Peano (1858-1932) là người đã đưa ra hệ tiên đề cho không gian vec-tơ như chúng ta biết đến ngày nay vào năm 1888. Còn Arthur Cayley  (1821-1895) là người đã đưa ra khái niệm ma trận, vừa là mở rộng của khái niệm vec-tơ, vừa là công cụ để tính toán với các vec-tơ. Khi ta cố định một hệ tọa độ trong không gian vec-tơ, thì một vec-tơ được hoàn toàn xác định bởi dãy số có sắp thứ tự các tọa độ của nó. Một dãy có xếp thứ tự các số, ví dụ như (1,5,2,0,9), có thể  gọi là một vec-tơ, và đó chính là khái niệm vec-tơ hay dùng trong tin học ngày nay: đối với nhiều ngồn ngữ lập trình thì một vec-tơ chính là một dãy số. Nói đến vec-tơ, không thể không nói đến đại số tuyến tính, tức là bộ môn toán học về các phép biến đổi tuyến tính và giải các hệ phương trình bậc 1 (gọi là phương trình tuyến tính). Nghiệm của hệ phương trình tất nhiên là một bộ các ẩn số, và đó chính là vec-tơ. Việc giải quyết các hệ phương trình tuyến tính (kiểu vừa gà vừa chó bó lại cho tròn ba mươi sáu con một trăm chân chẵn) đã được con người biết đến từ thời trước công nguyên (ít ra là ở Trung Quốc). Ngay từ thời đó người ta dù chưa biết đến từ vec-tơ, nhưng đã biết tính toán với các vec-tơ! Nguồn: sputnikedu