Giáo án Giải tích Lớp 12 - Chương 4: Số phức - Bài 1: Số phức

động khởi động Trong vật lý, các em đã biết phương trình dao động của con lắc lò xo là: (hình 1) (Có thể sử dụng file Video đính kèm) Vậy số i là gì và có vai trò gì trong toán học ? à GV giới thiệu bài học mới Hình 1. Thí nghiệm mô tả dao động của con lắc lò xo 2. Nội dung bài học: (Hoạt động hình thành kiến thức) 2.1. ĐƠN VỊ KIẾN THỨC 1: GIỚI THIỆU SỐ i a. Tiếp cận: Tìm biết : a) b) c) d) Theo kiến thức học sinh đã học thì các em sẽ kết luận không tìm được thỏa mãn đề bài mà câu b, câu c đặt ra. Từ đó các em cần phải học thêm kiến thức mới để giải quyết các câu hỏi đã nêu à GV giới thiệu số b. Hình thành định nghĩa số i: Số i là số thỏa mãn c. Củng cố: Tính 2.2. ĐƠN VỊ KIẾN THỨC 2: ĐỊNH NGHĨA SỐ PHỨC ( DẠNG ĐẠI SỐ) a. Tiếp cận: Hãy biễu diễn vectơ theo các vectơ đơn vị cho bởi các hình sau: y y 3 M b M x x O 2 a Trong biểu thức nếu ta thay vectơ bởi 1 và thay vectơ bởi số i ta được biểu thức , biểu thức này được gọi là số phức. Hãy cho biết dạng của số phức? b. Hình thành định nghĩa số phức: Định nghĩa : Mỗi biểu thức dạng , được gọi là một số phức. a: phần thực, b: phần ảo, số i : đơn vị ảo Tập hợp các số phức kí hiệu là . c. Củng cố: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức đã nêu trên ? Gợi ý: : 2 là phần thực; 3 là phần ảo : là phần thực ; 3 là phần ảo : 1 là phần thực; là phần ảo 0: 0 là phần thực; 0 là phần ảo 7i: 0 là phần thực; 7 là phần ảo : là phần thực; 0 là phần ảo Chú ý: · Mỗi số thực a được coi là một số phức với phần ảo bằng 0 a = a + 0i. Như vậy . · Số phức 0 + bi được gọi là số thuần ảo và viết đơn giản là bi 2.3. ĐƠN VỊ KIẾN THỨC 3: ĐỊNH NGHĨA HAI SỐ PHỨC BẰNG NHAU a. Tiếp cận: Cho hai số thực a và b. Ta đã biết các so sánh a = b ; a > b; a < b. Đối với hai số phức ta chỉ so sánh hai số phức đó bằng nhau hay không à GV giới thiệu khái niệm hai số phức bằng nhau. b. Hình thành định nghĩa số phức bằng nhau:: Số phức bằng nhau: Hai số phức gọi là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau c. Củng cố Tìm các số thực và biết : Gợi ý: 2.4. ĐƠN VỊ KIẾN THỨC 4: BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC a. Tiếp cận: Hãy biểu diễn các điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy à GV giới thiệu điểm M(a; b) trong một hệ toạ độ Oxy được gọi là điểm biểu diễn số phức b. Hình thành: Biểu diễn hình học của số phức: Điểm M(a; b) trong mặt phẳng tọa độ Oxy được gọi là điểm biểu diễn số phức Ta có: c. Củng cố Ví dụ : a) Các điểm M, N, P ở trên biểu diễn các số phức nào? b) Biểu diễn các số phức trên mặt phẳng tọa độ. c) Các điểm biểu diễn số thực, số thuần ảo nằm ở đâu trên mặt phẳng tọa độ? Gợi ý: a) Điểm M biểu diễn số phức -1 + 2i Điểm N biểu diễn số phức 3i Điểm P biểu diễn số phức 1 + 4i b) Gọi học sinh lên bảng biểu diễn, GV nhận xét, chỉnh sửa ( nếu cần) c) Các điểm biểu diễn số thực nằm trên trục Ox, các điểm biểu diễn số ảo nằm trên trục Oy. 2.5. ĐƠN VỊ KIẾN THỨC 5: MÔĐUN CỦA SỐ PHỨC a. Tiếp cận: Giả sử số phức được biểu diễn bởi điểm M(a;b) trên mặt phẳng tọa độ. Tính độ dài của vectơ Gợi ý: Độ dài của vec tơ được gọi là môđun của số phức z à GV hình thành khái niệm mô đun của số phức. b. Hình thành định nghĩa môđun của số phức: Môđun của số phức: Độ dài của vectơ được gọi là môđun của số phức z và kí hiệu . Ta có: c. Củng cố . Ví dụ 1: Tìm mô đun của các số phức sau : Gợi ý: ; ; ; Ví dụ 2: Tìm số phức có môđun bằng 0 Gợi ý: hoặc 2.6. ĐƠN VỊ KIẾN THỨC 5: SỐ PHỨC LIÊN HỢP a. Tiếp cận: Biểu diễn các cặp số phức sau trên mặt phẳng tọa độ và nêu nhận xét : a) 1+2i và 1 -2i b) -3+4i và -3-4i Các cặp số phức trên được gọi là các số phức liên hợp à Gọi học sinh nêu khái niệm số phức liên hợp à Giáo viên hoàn thiện lại khái niệm. b. Hình thành định nghĩa Số i: Số phức liên hợp: Cho số phức . Ta gọi là số phức liên hợp của z và kí hiệu là . c. Củng cố Ví dụ: Cho số phức a) Tìm và . Có nhận xét gì về số phức z và số phức b) Tính và . Cho nhận xét ? Chú ý: · Trên mặt phẳng toạ độ, các điểm biểu diễn z và đối xứng nhau qua trục Ox. · · 3. Luyện tập: Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau: a) b) c) d) Bài 2: Tìm các số thực x và y biết: a) b) Bài 3: Tìm số phức biết: a) b) c) d) Bài 4: Tính môđun của số phức biết: a) b) c) d) Bài 5: Trên mặt phẳng tọa độ, cho A,B,C lần lượt là ba điểm biểu diễn các số phức Z1 , Z2 , Z3 thỏa . Tam giác ABC là tam giác gì? Bài 6: Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả điều kiện: a) Phần thực của z bằng –2 b) Phần ảo của z bằng 3 c) Phần thực của z thuộc (–1;2) d) Phần ảo của z thuộc [1; 3] Bài 7: Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả điều kiện: a) b) 4. Ứng dụng, tìm tòi mở rộng : 4.1. Bài tập: a) Tìm số phức z thỏa mãn và . b) Cho số phức z thỏa mãn: và có phần thực bằng 2 lần phần ảo của nó. Tìm môđun của z. c) Trong các số phức thỏa mãn điều kiện . Tìm số phức có mô đun bé nhất. d) Trong các số phức thỏa mãn điều kiện . Tìm số phức có mô đun bé nhất và môđun lớn nhất e) Cho các số phức z thỏa mãn . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó. 4.2. Giới thiệu bài báo“CUỘC HÀNH TRÌNH ĐI TÌM SỐ PHỨC” – Tác giả:Ngô Đức Minh. (nguồn từ: https://toanhoctuoidep.wordpress.com) TOÁN HỌC TƯƠI ĐẸP Mọi người đều có thể hiểu toán Cuộc hành trình đi tìm Số Phức Mở đầu bài viết này tôi muốn kể cho các bạn nghe một câu chuyện, về nhà Toán học Niccolo Fontana (1499-1557) sống tại công cuốc Venezia (nay là một thành phố của Italia) với biệt danh Tartaglia (kẻ nói lắp). Tartaglia có một tuổi thơ đầy bất hạnh. Năm ông 13 tuổi quân Pháp tràn vào quê hương ông, cha ông (một người đưa thư) đã dắt ông chạy trốn vào nhà thờ cùng với mọi người trong làng. Không may họ đã bị phát hiện và cuộc thảm sát diễn ra ngày trong nhà thờ ấy: Cha ông bị giết chết, Tartaglia bị chém ngang mặt cắt đứt miệng và lưỡiNgười mẹ trong những nỗ lực cuối cùng đã tìm thấy đứa con trai và người chồng đã chết của mình. Chẳng thể có tiền lo thuốc thang điều trị cho đứa con trai, bà nhớ lại rằng những con chó khi bị thương thường hay liếm vào vết thương, và thật thần kì với cách chạy chữa đặc biệt đó mà vết thương của Tartaglia đã bình phục. Mẹ ông chỉ gom góp đủ tiền để ông được đi học trong 15 ngày và chỉ trong quãng thời gian ngắn ngủi đó Tartaglia đã tìm cách trộm được một cuốn vở đánh vần và tự học cách đọc và viết. Tartaglia với vòm miệng bị hỏng nói năng rất khó khăn và một cuộc sống nghèo khổ đã tự học thành tài và được rất nhiều người kính phục. Tartaglia bị vướng vào một cuộc thách đấu Toán học giải các phương trình bậc 3 khác nhau với nhóm môn đệ của Del Ferro (nhà Toán học đã tìm ra cách giải một lớp phương trình bậc 3 đặc biệt). Bởi vì đến thời điểm ấy vẫn chưa có ai tìm ra được cách giải phương trình bậc 3 tổng quát nên cuộc thách đấu đã được sự quan tâm của cả giới Toán học Châu âu thời bấy giờ. Cảm thấy hơi nao núng vì đối thủ quá tự tin, Tartaglia đã miệt mài suy nghĩ và trước kì thi 8 ngày ông đã tìm ra được cách giải tổng quát. Vào ngày 22-2-1535, các nhà toán học và những người hâm mộ ở nhiều nước châu Âu kéo về thành phố Milan để dự cuộc thi tài. Mỗi bên sẽ ra cho đối phương 30 phương trình bậc 3 khác nhau và giải trong 2h. Và bởi vì nhóm Ferro chỉ giải được một lớp các phương trình bậc 3 đặc biệt trong khi Tartaglia nắm giữ trong tay “Cửu âm chân kinh” do ông sáng tạo ra nên không có gì bất ngờ khi tỉ số trận quyết đấu là 30:0. Tartaglia trở nên rất nổi tiếng khắp Châu Âu sau thành công vang dội này, dù vậy ông vẫn giữ kín bí mật về cách giải của mình. Lại nói về Cardano, một bác sĩ yêu Toán, ông cũng đã nghiên cứu về đề tài này nhiều năm mà chưa có kết quả. Cardano đã nhiều lần thuyết phục Tartaglia chia sẻ bí mật đó và đã được Tartaglia chấp thuận với một lời tuyên thệ sẽ không tiết lộ cho bất kì ai. Tuy vậy, Cardano đã nuốt lời. Ông đã công bố cách giải này trong một cuốn sách của mình và mặc dù trong lời nói đầu của cuốn sách ông có xác nhận rằng cách giải này là của Tartaglia, giới Toán học dường như vẫn chỉ nhớ đến ông khi nhắc đến phát minh này. Trên phương diện một người bạn, Cardano đã hành xử không đúng. Nhưng không thể phủ nhận rằng, việc công bố rộng rãi phát minh này đã giúp ích rất nhiều cho sự phát triển của Toán học. Lịch sử sẽ mãi vẫn là lịch sử, đúng hay sai đôi khi chỉ là tương đối. Những hậu bối chúng ta hôm nay sẽ cùng tìm hiểu phát minh trọng đại này để rồi từ đó các bạn sẽ thấy một thành viên mới của gia đình nhà số: số phức, đã xuất hiện kì ảo như thế nào. Tôi từng kể cho nhiều em học sinh nghe về cuộc hành trình tìm ra số phức, câu chuyện về phương pháp giải phương trình bậc 3 và hầu hết các em đều muốn hiểu rõ về phát minh quan trọng này. Trên phương diện một người bạn, Cardano đã hành xử không đúng. Nhưng không thể phủ nhận rằng, việc công bố rộng rãi phát minh này đã giúp ích rất nhiều cho sự phát triển của Toán học. Lịch sử sẽ mãi vẫn là lịch sử, đúng hay sai đôi khi chỉ là tương đối. Những hậu bối chúng ta hôm nay sẽ cùng tìm hiểu phát minh trọng đại này để rồi từ đó các bạn sẽ thấy một thành viên mới của gia đình nhà số: số phức, đã xuất hiện kì ảo như thế nào. Các nhà toán học đã nghiên cứu để hiểu hơn về phép màu kì ảo này, phát triển lý thuyết về nó để rồi bây giờ số phức đã tự hào là một thành viên quan trọng trong đại gia đình nhà số và góp phần tạo nên bước phát triển mới trong bảng vàng lịch sử của Toán học. 4.3. Giới thiệu cho học sinh tìm hiểu về nhà toán học GEROLAMO CARDANO (https://vi.wikipedia.org) GEROLAMO CARDANO Sinh 24 tháng 9, 1501, Pavia Mất 21 tháng 9, 1576 Ngành: Toán học, Vật lý học Alma mater :Đại học Pavia Nổi tiếng vì Đại số 4.4. Giới thiệu bài viết “SỐ ẢO NGU NGỐC HAY THÔNG MINH”- Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn. ( Đăng trên tạp chí toán học và tuổi trẻ) 4.5. Giới thiệu bài viết “ SỐ PHỨC ỨNG DỤNG VÀO ĐÂU” – Giáo sư Nguyễn Tiến Dũng (https://bigschool.vn)