Giáo án Đại số và Giải tích Lớp 11 - Chương 5: Đạo hàm - Bài 5: Đạo hàm cấp hai - Trường THPT Phan Bội Châu

CHƯƠNG V BÀI 5 ĐẠO HÀM CẤP HAI. HOẠT ĐỘNG 1. KHỞI ĐỘNG Bài toán 1. Trong một trận đá bóng, quả bóng đang ở mặt sân được cầu thủ X đá lên với vận tốc ban đầu là (m/s). Biết phương trình chuyển động của quả bóng bay đi được tính bởi hàm số , trong đó s tính bằng mét và t tính bằng giây. Tính gia tốc trung bình của quả bóng trong thời gian . HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH Biết với thì Tính được . Tính được gia tốc trung bình Lưu ý. Giới hạn gọi là gia tốc tức thời của vật tại thời điểm . Bài toán 2. Cho hàm số có đồ thị là parabol (P). Biết rằng khi thì parabol (P) có dạng “lõm” và khi thì parabol (P) có dạng “lồi” . Hãy nêu cách tìm khoảng lồi, lõm của đồ thị hàm số có dạng như sau ? HOẠT ĐỘNG 2. HÌNH THÀNH KIẾN THỨC Ví dụ 1. Cho hàm số . 1) Tính . 2) Tính đạo hàm của hàm số . Ví dụ 2. Tính đạo hàm các hàm số và . Nhận ra được Ví dụ 3. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình , trong đó t được tính bằng giây và s được tính bằng mét. Tính vận tốc và gia tốc của vật tại thời điểm giây. Liên hệ được . Kết luận 1. Định nghĩa Giả sử hàm số có đạo hàm   . Nếu hàm số cũng có đạo hàm thì ta gọi đạo hàm của nó là đạo hàm cấp hai của hàm số và kí hiệu là  . Tương tự:  hoặc , ,..., . Lưu ý kí hiệu , là đạo hàm cấp n của hàm số . 2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai Đạo hàm cấp hai là gia tốc tức thời của chuyển động tại thởi điểm t.  HOẠT ĐỘNG 3. LUYỆN TẬP Bài tập 1. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau : 1) . 2) . 3) . 4) . Bài tập 2. Cho . Tính và . Bài tập 3. Tìm đạo hàm cấp n của hàm số . Bài tập 4. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN 1. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số . A. . B. . C. . D. . 2. Hàm số nào sau đây có đạo hàm cấp hai là ? A. . B. . C. . D. . 3. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số . A. . B. . C. . D. . 4. Cho hàm số . Giải phương trình . A. . B. . C. . D. . 5. Cho hàm số và . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ? A. . B. . C. . D. . 6. Một chất điểm chuyển động với phương trình trong đó tính bằng giây và tính bằng mét. Tính gia tốc của chất điểm tại thời điểm chất điểm có vận tốc bằng 11 (m/s). A. 12 (m/s2) . B. 14 (m/s2) . C. 16 (m/s2) . D. 18 (m/s2) . HOẠT ĐỘNG 4. VẬN DỤNG Bài toán 1. Tìm khoảng lồi, khoảng lõm của đồ thị hàm số BÀI ĐỌC THÊM Khái niệm về cung lõm – cung lồi của đồ thị hàm số: Cho hàm số xác định trên khoảng có đồ thị (C) là 1 đường cong có tiếp tuyến tại mọi điểm . * (C) là đường cong lồi trên nếu (C) nằm dưới mọi tiếp tuyến của (C). * (C) là đường cong lõm trên nếu (C) nằm trên mọi tiếp tuyến của (C). * I được gọi là “điểm uốn” của (C) nếu I là điểm ngăn cách giữa cung lồi và cung lõm liên tiếp. Dấu hiệu nhận biết cung lồi – cung lõm của đồ thị Dấu hiệu 1: Cho hàm có đạo hàm cấp hai trên khoảng . Nếu thì đồ thị hàm số là lõm trên khoảng . Nếu thì đồ thị hàm số là lồi trên khoảng . Dấu hiệu 2: Cho hàm có đạo hàm cấp hai trên khoảng . Điểm . Nếu đổi dấu khi x đi qua xo thì xo là hoành độ của điểm uốn của đồ thị hàm số. ( hàm số có thể không có đạo hàm cấp 2 tại xo nhưng đồ thị hàm số có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là xo) Bài tập . Tìm các khoảng lồi – lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số . Bài toán 2. Nhị thức Niu – tơn và đạo hàm. Xét các hàm số : . Bằng cách cho các giá trị thích hợp, ta có thể tính các biểu thức có dạng tổng các số như trên hoặc chứng minh được các đẳng thức có chứa tổng các số như trên. Bài tập 1. Tính tổng . Bài tập 2. Chứng minh rằng với . Bài toán 3. Chứng minh công thức đạo hàm cấp n bằng phương pháp quy nạp toán học. BẠN CÓ BIẾT ? Nhà bác học người Đức Leibnitz (Lai-bơ-nit) (1646 – 1716) là người phát minh ra phép tính vi phân và tích phân. Nhiều ký hiệu như ... và các thuật ngữ “vi phân” , “tích phân” do Lai-bơ-nit đưa ra vẫn còn được sử dụng cho đến ngày nay. Công thức tính đạo hàm cấp n của tích hai hàm số (trong đó u và v là hai hàm số có đạo hàm tới cấp n) sau đây là của Lai-bơ-nit : Bài tập 1. Hãy chứng minh công thức trên. Bài tập 2. Chứng minh rằng nếu hàm số có đạo hàm đến cấp n thì HOẠT ĐỘNG 5. TÌM TÒI MỞ RỘNG 1. Ý nghĩa hình học của đạo hàm cấp hai. Có thể xem mỗi đoạn nhỏ của đồ thị hàm số là một cung của đường tròn bán kính r, khi đó độ cong của đồ thị tại đó là được tính như sau : Xét cung nhỏ có độ dài . Ta có trong đó và hay , suy ra Thay vào ta được Như vậy độ cong của đồ thị phụ thuộc vào đạo hàm cấp hai. Chú ý rằng , còn nếu bề lõm hướng lên và nếu bề lõm hướng xuống. Như vậy : nếu thì đồ thị có dạng lõm, còn thì đồ thị có dạng lồi. 2. Bất đẳng thức về tiếp tuyến và cát tuyến của hàm số có đồ thị lồi, đồ thị lõm. Bất đẳng thức về tiếp tuyến. Cho hàm số liên tục và có đạo hàm đến cấp hai trên đoạn Nếu thì với mọi . Nếu thì với mọi . Đẳng thứ xảy ra khi . Bất đẳng thức về cát tuyến. Cho hàm số liên tục và có đạo hàm đến cấp hai trên đoạn Nếu thì với mọi . Nếu thì với mọi . Đẳng thứ xảy ra khi hoặc . Bài tập 1. Cho các số thực dương thỏa . Chứng minh rằng : . Hướng dẫn. Xét hàm số với . Có với . Suy ra Cộng vế theo vế : . Đẳng thức khi . Bài tập 2. Cho các số thực dương thỏa . Chứng minh rằng : . 3. Một số bài tập ứng dụng trong vật lý. Tổ Toán TRƯỜNG THPT PHAN BỘI CHÂU