Giáo án Đại số và Giải tích Lớp 11 - Chương 5: Đạo hàm - Bài 4: Vi phân

Chương 5 Bài 4: VI PHÂN MỤC TIÊU Biết định nghĩa của vi phân, hiểu ứng dụng của vi phân vào phép tính gần đúng. Tính được vi phân của một số hàm số cơ bản, tính được giá trị gần đúng của một số phép tính bằng cách ứng dụng vi phân. Vẽ được đồ thị hàm số . Hiểu được bảng biến thiên của hàm số. A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG A.HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG: Bài toán: Xét hành động một cầu thủ đá quả bóng lên trời; ta có đồ thị hình bên mô tả sự thay đổi độ cao h(m) của quả bóng theo thời gian t(s). Em hãy dự đoán sự thay đổi độ cao nhanh nhất là ở thời điểm nào? Liệu có công thức tính được sự thay đổi độ cao trong một khoảng thời gian thay đổi rất nhỏ không? B. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC: +HĐ1: Tiếp cận định nghĩa Cho hàm số . Hãy tính các giá trị sau: ? So sánh hai giá trị: và Tích được hiểu như thế nào? I. ĐỊNH NGHĨA 1. Định nghĩa Cho hàm số xác định trên khoảng và có đạo hàm tại . Giả sử là số gia của . Ta gọi tích là vi phân của hàm số tại ứng với số gia , ký hiệu là hoặc , tức là Câu hỏi: Hãy áp dụng định nghĩa trên vào hàm số ? Do đó với hàm số ta có 2. Ví dụ 1 Tìm vi phân của các hàm số sau: a) b) +HĐ2: Tìm hiểu ứng dụng của vi phân. Quay lại bài toán HĐ 1, ta thấy Nhận xét: rất nhỏ so với 1, nếu đặt ta có Liệu công thức trên có còn đúng với mọi giá trị tùy ý không? II. ỨNG DỤNG VI PHÂN VÀO PHÉP TÍNH GẦN ĐÚNG 1. Định nghĩa Theo định nghĩa đạo hàm, ta có Do đó với đủ nhỏ thì hay Từ đó ta có Hay ( công thức tính gần đúng) 2. Ví dụ Ví dụ 2. Tính giá trị gần đúng của Giải. Đặt , ta có Vì rất nhỏ so với 4 nên ta đặt Theo công thức tính gần đúng ta có Tức là Ví dụ 3. Tính giá trị gần đúng của Giải. Đặt , ta có Vì , rất nhỏ so với nên ta đặt Theo công thức tính gần đúng ta có Tức là C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP I. BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1. Tìm vi phân của các hàm số sau: a) b) c) d) Bài 2. Tính giá trị gần đúng của a) b) II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Vi phân của hàm số là: A. . B. . C. . D. . Câu 2: Vi phân của hàm số là: A. . B. . C. . D. . Câu 3: Vi phân của hàm số là: A. . B. . C. . D. . Câu 4: Cho hàm số (với m là tham số). Khi đó bằng: A. . B. . C. . D. . D. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG Bài toán khởi động: Phương án để tính được sự thay đổi độ cao trong một khoảng thời gian thay đổi rất nhỏ? Xem quĩ đạo quả bóng có dạng là đồ thị của một hàm số bậc hai . Ta tìm được phương trình parabol dựa vào 3 điểm thuộc đồ thị. Tính đạo hàm: . Xét thời điểm tùy ý, với khoảng thay đổi thời gian đủ nhỏ thì ta có: Công thức trên cho phép ta tính xấp xỉ sự thay đổi độ cao trong một khoảng tại thời điểm nào đó. E. HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI MỞ RỘNG Phép tính vi tích phân là một trong những lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của toán học, là thành tựu nổi bật nhất của giai đoạn cuối thế kỷ XVII của Isaac Newton và Gottfried Wilhelm Leibniz. Sự ra đời của phép tính vi – tích phân đã đưa toán học sang một gia đoạn mới – giai đoạn toán cao cấp – gần như kết thúc giai đoạn của toán học cao cấp; từ đối tượng nghiên cứu là các số và hình ở dạng tĩnh tại, toán học bước sang nghiên cứu đối tượng trong quá trình vận động và biến đổi. Phép tính vi – tích phân được sáng tạo ra là nhằm giải quyết bốn vấn đề khoa học của thế kỷ XVII như sau. Vấn đề thứ nhất, cho vật thể chuyển động theo một công thức là một hàm số theo thời gian, hãy tìm vận tốc và gia tốc của nó ở một thời điểm bất kỳ; ngược lại, cho biết gia tốc của một vật thể chuyển động là một hàm số theo thời gian, hãy tìm vận tốc và quãng đường đi được. Vấn đề này xuất phát từ việc nghiên cứu chuyển động. Trong chuyển động thì vận tốc và gia tốc thay đổi từ thời điểm này đến thời điểm khác. Trong vật lý, người ta cần biết chính xác vận tốc hay gia tốc của một vật thể chuyển động tại từng thời điểm. Nếu lấy vận tốc bằng quãng đường đi được chia cho thời gian thì chỉ cho vận tốc trung bình chứ chưa phải vận tốc chính xác tại mỗi thời điểm, nhưng tại mỗi thời điểm thì thời gian chuyển động và vận tốc đều bằng không, mà 0/0 thì vô nghĩa. Đối với bài toán ngược lại, ta gặp một khó khăn là nếu biết vận tốc là một hàm của thời gian ta cũng không thể tìm được quãng đường đi được của vật thể chuyển động vì vận tốc thay đổi từ thời điểm này đến thời điểm khác. Vấn đề thứ hai là tìm tiếp tuyến của một đường cong. Bài toán này thuộc về hình học, nhưng nó có những ứng dụng quan trọng trong khoa học. Quang học là ngành mà nhiều nhà khoa học của thế kỷ XVII quan tâm nghiên cứu. Thiết kế các thấu kính là mối quan tâm đặc biệt của Newton, Fermat, Descartes và Huygens. Để nghiên cứu đường đi của ánh sáng qua thấu kính, người ta phải biết gốc mà ở đó tia sáng đập vào thấu kính để áp dụng định luật khúc xạ. Góc cấn chú ý là góc giữa tia sáng và pháp tuyến của đường cong, pháp tuyến thì vuông góc với tiếp tuyến. Để xác định pháp tuyến, người ta phải xác định tiếp tuyến. Một vấn đề có tính khoa học khác nữa liên quan đến tiếp tuyến của một đường cong là nghiên cứu chuyển động. Hướng chuyển động của vật thể chuyển động ở bất kỳ điểm nào của quỷ đạo chính là hướng của tiếp tuyến quỹ đạo. Vấn đề thứ ba là vấn đề tìm giá trị cực đại và cực tiểu của một hàm số. Khi đạn bắn từ súng thần công, khoảng cách đi được sẽ phụ thuộc vào góc của súng tạo với mặt đất. Vấn đề đặt ra là tìm góc sao cho viên đạn đi xa nhất. Nghiên cứu sự chuyển động của hành tinh liên quan đến các bài toán cực trị, ví dụ tìm khoảng cách ngắn nhất và dài nhất của một hành tinh và mặt trời. Vấn đề thứ tư là tìm chiều dài của đường cong, chẳng hạn như khoảng cách đi được của một hành tinh trong một thời gian nào đó; diện tích của hình giới hạn bởi các đường cong; thể tích của những khối giới hạn bởi những mặt, Các nhà toán học cổ Hy Lạp đã dùng phương pháp vét kiệt một cách rất khéo léo, các nhà toán học thế kỷ XVII đã cải tiến dần, và họ nhanh chóng phát minh ra phép tính vi – tích phân. Ngày nay, cùng với sự phát triển của khoa học công nghệ, lý thuyết phép tính vi – tích phân vẫn có rất nhiều ứng dụng quan trọng trong thực tế cuộc sống và trong nghiên cứu khoa học. Engels đã viết: "Chỉ có phép tính vi phân mới đem lại cho khoa học tự nhiên khả năng miêu tả bằng toán học không chỉ những trạng thái mà cả những quá trình".