Giáo án Đại số và Giải tích Lớp 11 - Chương 5: Đạo hàm - Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Bài 1: ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM (CHƯƠNG V – ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11) A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG: Bài 1: Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga. Quãng đường s đi được của đoàn tàu có phương trình s = t2 ( t tính bằng phút, s tính bằng mét). a) Tính vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng [t; t0] với t0 = 3 và t = 2; t = 2,5; t = 2,9; t = 2,99 b) Tính vận tốc tức thời của đoàn tàu tại thời điểm t = 3. Bài 2: Số dân của một thị trấn sau t năm để từ năm 1970 được tính bởi công thức (nghìn người) a) Tính số dân của thị trấn vào năm 1990 và 2008 b) Vào hai thời điểm năm 1990 và 2008, năm nào dân số của thị trấn tăng nhanh hơn ? B. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC 1. Đạo hàm tại một điểm a) Khởi động Bài toán tìm vận tốc tức thời: Một chất điểm chuyển động trên trục s’Os, quãng đường của chuyển động là một hàm số của thời gian t, s = s(t). Nêu công thức tính vận tốc của chuyển động Tìm một đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm t0 Bài toán tìm cường độ tức thời: Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t, Q = Q(t). Nêu công thức tính cường độ của dòng điện. Tìm cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0. b) Hình thành kiến thức mới Bài toán tìm vận tốc v = Trong khoảng thời gian từ t0 đến t chất điểm đi được quãng đường là s – s0 = s(t) – s(t0) Nếu chất điểm chuyển động đều thì tỉ số là một hằng số với mọi t, là vận tốc của chuyển động tại mọi thời điểm Nếu chất điểm chuyển động không đều thì tỉ số trên là vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian |t- t0| Khi t càng gần t0 thì vận tốc trung bình càng thể hiện được chính xác hơn mức độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm t0. Kết luận: Giới hạn hữu hạn (nếu có) được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t0. Là đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm t0. Bài toán cường độ tức thời: Cường độ dòng điện Cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian |t- t0| là Nếu |t- t0| càng nhỏ thì tỉ số này càng biểu thị chính xác hơn cường độ dòng điện tại thời điểm t0. Kết luận: Giới hạn hữu hạn (nếu có) được gọi là cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0. Việc tìm giới hạn , trong đó y = f(x) là một hàm số đã cho dẫn tới khái niệm đạo hàm. Định nghĩa : Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 (a; b). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 và kí hiệu f’(x0) hoặc y’(x0), tức là Đại lượng được gọi là số gia của đối số tại x0 Đại lượng = f(x) – f(x0) = f(x0+) – f(x0) gọi là số gia tương ứng của hàm số. Vậy Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa: Bước 1: Tính = f(x) – f(x0) = f(x0+) – f(x0) Bước 2: Lập tỉ số Bước 3: Tính . Kết luận f’(x0) Quan hệ giữa sự tồn tại đạo hàm và tính liên tục: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm x0 c) Ví dụ: Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số y = f(x) = x2 tại điểm x0. a) x0 = 2; b) x0 = -1 Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số y = f(x) = x2 + 2x tại điểm x0 = 3 1.2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm. a) Khởi động Cho đồ thị hàm số f(x) = . a) Tính f’(1). b) Vẽ đường thẳng đi qua M(1; ) và có hệ số góc bằng f’(1). Nêu nhận xét về vị trí tương đối của đường thẳng này và đồ thị hàm số đã cho. b) Hình thành kiến thức mới Định lí: (C) là đồ thị của hàm số y = f(x) và điểm M0(x0; f(x0)) (C). Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0T của (C) tại điểm M0(x0; f(x0)) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) tại điểm M0(x0; f(x0)) là y – y0 = f’(x0)(x – x0) trong đó y0 = f(x0) c) Ví dụ Ví dụ 3: Cho parabol . Viết phương trình tiếp tuyến của parabol tại điểm có hoành độ x0 = 2 Ví dụ 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = x3 biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3 1.3. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm a) Khởi động Ở bài toán mở đầu, vận tốc tức thời của chuyển động theo quãng đường s = s(t) tại thời điểm t0 được tính theo công thức nào? Theo định nghĩa đạo hàm tại một điểm suy ra công thức đó bằng gì? Bài toán cường độ tức thời của điện lượng Q truyền trong dây dẫn Q = Q(t) tại thời điểm t0 được tính theo công thức nào? Theo định nghĩa đạo hàm tại một điểm suy ra công thức đó bằng gì? b) Hình thành kiến thức mới Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = s(t) là một hàm số có đạo hàm. Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t0 là v(t0) = s’(t0) Xét điện lượng Q truyền trong dây dẫn Q = Q(t) là một hàm số có đạo hàm. Cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0 là I(t0) = Q’(t0) c) Ví dụ Ví dụ 5: Một vật rơi tự do theo phương trình , trong đó g 9,8m/s2 là gia tốc trọng trường. Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t0 = 5giây 2. Đạo hàm trên một khoảng a) Khởi động Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x2 tại điểm x0 bất kì. b) Hình thành kiến thức Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó. Kí hiệu y’ hay f’(x) c) Ví dụ Ví dụ 6: Cho hàm số y = f(x) = x2. Tính đạo hàm của hàm số trên khoảng (-∞; +∞) Ví dụ 7: Cho hàm số y = f(x) = . Tính đạo hàm của hàm số trên khoảng (-∞; 0) và (0; +). C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP Tính bằng định nghĩa đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm đã được chỉ ra a) y = x2 + x tại x0 = 1 b) tại x0 = 0 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số a) Tại điểm (; 2) b) Tại điểm có hoành độ -1 c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến là - . Cho chuyển động thẳng có phương trình s = t3 – 3t2 – 9t trong đó t tính bằng giây, s tính bằng mét. Tìm vận tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2s. D. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG Bài toán 1: Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga. Quãng đường s đi được của đoàn tàu có phương trình s = t2 ( t tính bằng phút, s tính bằng mét). a) Tính vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng [t; t0] với t0 = 3 và t = 2; t = 2,5; t = 2,9; t = 2,99 b) Tính vận tốc tức thời của đoàn tàu tại thời điểm t = 3. Giải: a) Vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng [t; t0] t (phút) 2 2,5 2,9 2,99 vtb (mét) 5 5,5 5,9 5,99 b) vận tốc tức thời của đoàn tàu tại thời điểm t = 3 là v(3) = s’(3) = 2.3 = 6 m/phút Bài toán 2: Số dân của một thị trấn sau t năm để từ năm 1970 được tính bởi công thức (nghìn người) a) Tính số dân của thị trấn vào năm 1990 và 2008 b) Vào hai thời điểm năm 1990 và 2008, năm nào dân số của thị trấn tăng nhanh hơn ? Giải: a) Vào năm 1990: sau 20 năm số dân của thị trấn là f(20) = 21,2 (nghìn người) Vào năm 2008: sau 38 năm số dân của thị trấn là f(38) = 23,2 (nghìn người) b) Đạo hàm của hàm số f(t) biểu thị tốc độ tăng dân số của thị trấn Ta có f’(t) = Vào năm 1990, tốc độ tăng dân số là f’(20) = 0,192 (nghìn người/năm) Vào năm 2008, tốc độ tăng dân số là f’(38) = 0,064 (nghìn người/năm) Vậy năm 1990 dân số thị trấn tăng nhanh hơn E. HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI MỞ RỘNG Với mọi người trong chúng ta, nếu bạn là nhà kinh tế và muốn biết tốc độ tăng trưởng kinh tế nhằm đưa ra những quyết định đầu tư chứng khoán đúng đắn. Nếu bạn là nhà hoạch định chiến lược và muốn có những thông tin liên quan đến tốc độ gia tăng dân số ở từng vùng miền. Nếu bạn là nhà hóa học và muốn xác định được tốc độ phản ứng hóa học nào đó, hay nhà vật lí muốn tính toán vận tốc, gia tốc của một chuyển động Đạo hàm sẽ là thứ mà chúng ta cần, rất đơn giản đầu tiên bạn cần có hàm số mô tả đại lượng đang được quan tâm, và sau đó chỉ cần đạo hàm nó. Cụ thể, nếu hàm số đang tăng đạo hàm sẽ dương, tăng càng nhanh thì đạo hàm càng lớn. Ngược lại, hàm số đang giảm, đạo hàm sẽ âm và âm càng nhiều thì hàm số giảm càng nhanh Đạo hàm còn những ứng dụng tuyệt vời khác. Một trong số đó là tìm xem hàm số sẽ đạt được giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất ở đâu, để từ đó tối ưu hóa các hoạt động khác nhau trong cuộc sống.  Khi một hàm số đang tăng (đạo hàm dương) rồi bất chợt chuyển sang giảm (đạo hàm âm), nó đã đi qua vị trí mà tại đó hàm số đạt giá trị cực đại và vị trí này cũng chính là nơi có đạo hàm bằng 0 (có thể có ngoại lệ nhé!). Tương tự cho trường hợp hàm số đạt được giá trị cực tiểu. Từ nhận xét này, bằng cách tìm những chỗ mà đạo hàm bằng 0, người ta có thể biết một đại lượng sẽ đạt giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất ở đâu để từ đó có thể tối ưu hóa nó theo mong muốn của mình. Sử dụng đặc trưng này của đạo hàm, các công ty có thể tính được số sản phẩm nên sản xuất để đạt được lợi nhuận cao nhất. Các kĩ sư sẽ biết phải thiết kế một hộp sữa hay một lon nước ngọt như thế nào, với lượng nguyên liệu có sẵn, để có một hộp sữa chứa được nhiều sữa nhất  Cụ thể, ta cần có hàm số mô tả lợi nhuận theo số lượng sản phẩm hoặc hàm số mô tả thể tích hộp sữa theo kích thước thiết kế. Đạo hàm sẽ giúp ta tìm xem các hàm số này đạt giá trị lớn nhất tại đâu. Đó chính là lựa chọn tối ưu cho nhà sản xuất. Ta không lạ, trên xe máy có cái đồng hồ công tơ mét này: lúc x =10 giờ khởi hành, công tơ mét chỉ quãng đường xe đã đi trước đó là f(x) = 30025 km, lúc x= 10 giờ + 6 phút ,  công tơ mét chỉ f(x+a) = 30029 km. quãng đường đi được (fx+a)-f(x) = 4km, trong thời gian a=6 phút hay 1/10 giờ. Vậy tôi đang đi tốc độ là [(fx+a)-f(x)]/a = 40km/giờ. Vậy ta thấy rằng, kim tốc độ sẽ chỉ ở 40km/giờ phải không? Hóa ra chiếc kim tốc độ chính là chiếc máy tính đạo hàm con đường tôi đi được theo thời gian không biết mệt mỏi. Khi tôi dừng lại, ồ, kim chỉ số 0! tức là quãng đường không tăng không giảm, tức là tôi đứng yên !