Giáo án Đại số và Giải tích Lớp 11 - Chương 2: Tổ hợp – Xác suất - Bài 5: Xác suất của biến cố - Trường THPT Di Linh

ột số tiền, nói đơn giản là X (đồng) vào một số từ 00 đến 99. Mục đích của người chơi đề là làm sao số này trùng vào 2 chữ số cuối cùng của giải xổ số đặc biệt do Nhà nước phát hành trong ngày đó. Nếu số của bạn trùng, bạn sẽ được 70x (đồng) (tức 70 lần số tiền đầu tư). Nếu không trúng, bạn sẽ mất x(đồng) đặt cược lúc đầu. Quan niệm sai lầm: Rất nhiều người nghĩ như sau. Nếu bỏ ra số tiền là 100.000 đồng để chơi đề. Nếu trúng là sẽ được 7 triệu đồng tức là lời được 6,9 triệu. Tuy nhiên, nếu thua chỉ có bị lỗ là 100.000 đồng. Quá lời!!! Vậy đâu là sai lầm trong cách nghĩ này. Câu trả lời là, các bạn không tính đến xác suất trúng có lớn hay không, vì khi xác suất nhỏ, bạn sẽ đánh hoài mà không thắng. Có nghĩa là bạn luôn bị lỗ. Vậy lời giải đúng sẽ được trình bày như sau. Lời giải:  - Vì có 1 số trúng trong 100 số nên xác suất trúng là: 1/100= 1%.    Nên xác suất bạn thua là 1 - 1%= 99%. - Tóm tắt: THẮNG THUA XÁC SUẤT 1% 99% LỜI 6.900.000 -100.000 TRUNG BÌNH 69.000 -99.000 -30.000 - Như vậy mỗi lần chơi 100.000 đồng, trung bình bạn sẽ lỗ khoản 30 ngàn đồng. Do đó nhà cái luôn thắng. Bàn luận thêm: Với cách làm tương tự bạn cũng sẽ giải thích được các vấn đề như mua vé số, chơi bầu cua cá cọp, chơi bài,... Bài toán 3: Đếm số cá trong hồ Đây là bài toán thường ngày của những người ngư dân nuôi cá. Sau khoảng thời gian nuôi cá, họ muốn biết xem số cá hiện có trong hồ của họ là bao nhiêu để có những kế hoạch nuôi đúng cách. Tuy nhiên, vấn đề đặt ra là không thể bắt hết cá lên bờ, rồi sau đó đếm thủ công được, sẽ ảnh hưởng không tốt đến nó. Lời giải: Các bước thực hiện như sau: - B1: Bắt một lượng n cá lên, giả sử n = 50, rồi đánh dấu chúng sau đó thả lại vào hồ. - B2: Bắt đại một lượng cá lên, rồi tính tỉ lệ p là số lượng cá được đánh dấu. Ví dụ: Bắt 20 con cá, thấy 2 con có đánh dấu, tứng là p = 2/20 = 10%. - B3: Ước lượng tổng số cá là n/p. Như ví dụ trên là 50/10% = 500 con cá. Trên thực tế, số cá phân bố không đều lắm nên ngư dân phải thực hiện ước lượng số cá như trên 1 vài lần, sau đó tính trung bìnhh lại, lúc đó kết quả mới chính xác hơn. Bàn luận thêm:  Cách làm trên là ước lượng tỷ lệ số cá được đánh dấu, tuy nhiên còn 1 số vấn đề để suy ngẫm như: - Bắt bao nhiêu con cá lên để đánh dấu. - Chọn mẫu cá lên bao nhiêu để tính tỉ lệ. - Ước lượng trên chính xác được bao nhiêu phần trăm. Nếu các bạn muốn nghiên cứu sâu hơn, các bạn có thể tìm các tài liệu xác suất thống kê ở bậc đại học, phần ước lượng, sẽ cung cấp cho bạn phương pháp ước lượng chính xác hơn. Ngoài ra, việc ước lượng cũng thường xuyên được dùng trong thực tế như: Tính chiều cao trung bình của người Việt Nam, Ước lượng tỷ lệ bầu cử trước khi ứng cử, điều tra dân số, kiểm tra chất lượng sản phẩm ... E. HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI MỞ RỘNG Em có biết? Có thể nói sự bắt nguồn cho câu chuyện về xác suất và thống kê là từ một vài bài viết được đề cập từ những nỗ lực độc lập của Cardano (Liber de Ludo Aleae (1565), xuất hiện lần đầu tiên vào năm 1663) và Galilei (Sopra le Scoperte dei Dadi (vào khoảng 1620), xuất hiện lần đầu tiên vào năm 1718), nhưng vào thời điểm đó đã có một sự đồng quan điểm được nhận định từ một số câu hỏi về trò chơi cờ bạc được Antoine Gombaud, Chevalier de Méré và Damien Mitton gởi cho Pascal vào năm 1654. Năm 1654: Giữa tháng 7 và tháng 10 của năm đó đã có 7 lá thư được trao đổi giữa Blaise Pascal và Pierre de Fermat có thể được xem chính là nguồn gốc đích thực của lý thuyết xác suất. Một trong các chủ đề chính của những lá thư này là thảo luận câu hỏi được đề cập trước đây của Méré về problème des partis (vấn đề chia điểm) giữa hai người chơi P1 và P2 khi họ chơi một chuỗi những ván chơi công bằng, và cuộc chơi sẽ kết thúc khi một trong 2 người chơi thắng được N ván chơi (N là số đã biết trước). Nhưng đột nhiên cuộc chơi bị gián đoạn. P1 đã thắng N1 ván chơi, P2 thắng N2 ván chơi. Làm thế nào để chia tiền thưởng? Từ khi ra đời và phát triển cho đến nay xác suất đã có mặt và được ứng dụng trong hầu hết các lĩnh vực đời sống hàng ngày. Ảnh hưởng chính của lý thuyết xác suất trong cuộc sống hằng ngày đó là việc xác định rủi ro và trong buôn bán hàng hóa. Chính phủ cũng áp dụng các phương pháp xác suất để điều tiết môi trường hay còn gọi là phân tích đường lối. Chẳng hạn như Lý thuyết trò chơi là một nhánh của Toán học ứng dụng. Ngành này nghiên cứu các tình huống chiến thuật trong đó các đối thủ lựa chọn các hành động khác nhau để cố gắng làm tối đa kết quả nhận được. Ban đầu được phát triển như là một công cụ để nghiên cứu hành vi kinh tế học, ngày nay Lý thuyết trò chơi được sử dụng trong nhiều ngành khoa học, từ Sinh học tới Triết học. Lý thuyết trò chơi đã có sự phát triển lớn từ khi John von Neumann là người đầu tiên hình thức hóa nó trong thời kỳ trước và trong Chiến tranh Lạnh, chủ yếu do áp dụng của nó trong chiến lược quân sự, nổi tiếng nhất là khái niệm đảm bảo phá hủy lẫn nhau (mutual assured destruction). Bắt đầu từ những năm 1970, Lý thuyết trò chơi bắt đầu được áp dụng cho nghiên cứu về hành vi động vật, trong đó có sự phát triển của các loài qua chọn lọc tự nhiên. Do các trò chơi hay như Song đề tù nhân (prisoner's dilemma), trong đó lợi ích cá nhân làm hại cho tất cả mọi người, Lý thuyết trò chơi đã bắt đầu được dùng trong Chính trị học, Đạo đức học và triết học. Cuối cùng, Lý thuyết trò chơi gần đây đã thu hút được sự chú ý của các nhà Khoa học máy tính do ứng dụng của nó trong Trí tuệ nhân tạo và Điều khiển học. Một ứng dụng khác là trong xác định độ tin cậy. Nhiều sản phẩm tiêu dùng như xe hơi, đồ điện tử sử dụng lý thuyết độ tin cậy trong thiết kế sản phẩm để giảm thiểu xác suất hỏng hóc. Xác suất hư hỏng cũng gắn liền với sự bảo hành của sản phẩm Bài toán 1: Chia giải thưởng như thế nào cho công bằng Hai đối thủ ngang tài nhau, cùng chơi 1 trận đấu đủ tranh chức vô địch. Người thắng cuộc là người đầu tiên thắng được 6 ván đấu. Tuy nhiên vì lý do bất khả kháng trò chơi phải dừng lại và không được tiếp tục nữa. Khi đó, người I đã thắng 5 ván, còn người II chỉ mới thắng 3 ván. Vậy phải phân chia phần thưởng như thế nào là hợp lý? Quan niệm sai lầm:  - Có người cho rằng, nên chia giải thưởng theo tỉ lệ 5:3, vì theo như tỉ lệ thắng của người chơi. - Ý kiến khác chia theo 2:1, vì người I hơn người II 2 trận, mà 2 trận là 1/3 của 6 trận, nên người I nhận 1/3 giải, còn lại chia đôi (tức là người I và II nhận thêm 1/3 giải).  Theo quan điểm của các nhà toán học thì các lý giải trên điều sai. Tại vì chúng ta cần phải chia giải thưởng theo khả năng thắng thua của 2 đấu thủ. Có nghĩa là nếu xác suất người I thắng cao thì người I sẽ được nhận quà nhiều. Cụ thể như sau: Lời giải: Câu hỏi đặt ra là xác suất thắng của người I là bao nhiêu. Nghe có vẻ phức tạp, nhưng sẽ rất đơn giản nếu chúng ta tính xác suất người I thua, tức là xác suất người II thắng là bao nhiêu. - Mà khả năng người II thắng chỉ có 1 khả năng là thắng liên tiếp 3 trận tiếp theo. Như ta biết mỗi trận có 2 khả năng xảy ra là người II thắng hoặc thua. Nên tổng khả năng 3 trận là 2.2.2 = 8 trường hợp. - Vậy xác suất người II thắng là: 1/8. - Suy ra, xác suất người I thắng là 1 - 1/8 = 7/8. Tóm lại, phải chia phần thưởng theo tỉ lệ là 7:1 là hợp lý nhất. Bài toán 2: Trò chơi có thưởng. Người kinh doanh có 3 bánh xe giống hệt nhau, mỗi bánh đều được chia làm 6 phần bằng bằng nhau và được đánh số từ 1 đến 6. Người chơi sẽ đặt cược số tiền vào một ô nào đó. Nếu i bánh xe trong 3 bánh xe quay trúng ô mà bạn đã chọn thì bạn sẽ được số tiền lớn gấp i lần số tiền bạn đã đặt cược + tiền vốn. Ngược lại bạn sẽ mất tiền. Ví dụ: bạn đặt cược 10 ngàn vào ô số 6, nếu có 2 trong 3 bánh xe quay trúng ô số 6, thì bạn sẽ nhận lại 20 ngàn + 10 ngàn vốn = 30 ngàn. Còn nếu không có bánh xe nào quay trúng ô số 6, bạn sẽ mất 10 ngàn. Quan niệm sai lầm: Các bạn sẽ nghĩ rằng: trò này quá dễ ăn, vì nó có tới 3 lần quay bánh xe. Bánh xe này không trúng thì bánh khác trúng. Nhưng đó chỉ là bạn điều bạn suy nghĩ. Nhưng thực tế như thế nào, bạn phải tính toán cẩn thận mới có kết quả chính xác được. Lời giải: Gọi 3 số mà 3 bánh xe quay ra được là (a,b,c). Ta biết mỗi bánh xe sẽ có 6 trường hợp (số 1 đến số 6) nên có tất cả là 6.6.6 = 216 trường hợp của bộ 3 (a,b,c). Có các trường hợp xảy ra như sau: - TH1: (a,b,c) khác nhau đôi một. Số trường hợp xảy ra của a là 6, nên của b là 5 và của c là 4 ==> Có tất cả: 6.5.4 = 120 trường hợp. Nếu ta đặt x (đồng) và ô nào đó, thì số trường hợp trúng chỉ là 1 lần quay trúng, và 2 lần còn lại quay trật. Nên số trường hợp là 1.4.5.3 = 60 trường hợp. (nhân cho 3 cuối là vì có thể trúng lần đầu, lần hai hoặc lần cuối).  - TH2: (a,b,c) đều bằng nhau. Số trường hợp xảy ra trong trường hợp này chỉ là 6. Tương tự, nếu quay trúng thì số trường hợp là 1. - TH3: (a,b,c) có 2 trong 3 số giống nhau. Tất cả là 216 trường hợp, mà trường hợp 1 là 120, cào trường hợp 2 là 6 ==> trường hợp này là  216 - 120 - 6 = 90 trường hợp Nếu đặt cược x đồng, thì: - Trúng 2x đồng trong 15 trường hợp. - Trúng x đồng trong 15 trường hợp. (Các bạn tự tính thử xem, coi như bài tập) Tổng kết: nếu đặt x đồng thì lợi nhuận trung bình của chủ tiệm sẽ như sau: Các trường  hợp Số trường hợp Trường  hợp nhận lại số tiền Thu được Lợi nhuận Trung bình x 2x 3x TH1 120 60 - - 60x - 60x 0 TH2 6 - - 1 5x - 3x 2x TH3 90 15 15 - 60x - 15x - 15.(2x) 15x Tổng cộng 210 17x 17x/210 Từ bảng tính toán ta thấy, nếu đặt x đồng thì trung bình người chủ trò chơi sẽ thu được lợi nhận là 17x/210 đồng. Để cho dễ hình dung, nếu trong 1 ngày tổng số tiền đặt cược là 500 ngàn, thì số tiền trên sẽ là 17.500/210 = 40,5 ngàn và trung bình tháng sẽ là 1,215 triệu. Các bạn thấy đấy, tất cả trò chơi mang tính may rủi này đều đã được các chủ tiệm trò chơi tính toán trước, và chắc chắn rằng họ sẽ có lời, chưa kể họ có chiêu trò trong đó nữa. Nên một lời khuyên cho các bạn là nếu chơi để giải trí thì không sao, nhưng nếu có máu cờ bạc thì chắc chắn là các bạn sẽ lỗ!!! Di Linh, ngày 10 tháng 11 năm 2017 Tổ toán Trường THPT Di Linh-Lâm Đồng.