Giáo án Đại số và Giải tích Khối 11 - Chương 4: Giới hạn - Bài 1: Giới hạn của dãy số

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 1. Giới thiệu Xét một đường tròn và một đa giác đều nội tiếp đường tròn ấy (Hình bên dưới). Số cạnh đa giác tăng từ n=1,2,3,. Có nhận xét gì về đa giác n cạnh ấy nếu như số cạnh n cứ không ngừng tăng lên, tăng mãi mãi đến vô tận? Rõ ràng, khi n không ngừng tăng lên thì đa giác sẽ càng ngày càng trở thành hình tròn mà nó nội tiếp. Khi ấy ta nói giới hạn của đa giác khi n tiến tới vô tận sẽ là đường tròn. (đa giác) = đường tròn. 2. Nội dung bài học 2.1 GIÔÙI HAÏN HÖÕU HAÏN CUÛA DAÕY SOÁ: Ñònh nghóa: · Ta noùi daõy soá (un) coù giôùi haïn laø 0 khi n daàn tôùi döông voâ cöïc, neáu coù theå nhoû hôn moät soá döông beù tuyø yù, keå töø moät soá haïng naøo ñoù trôû ñi. Kí hieäu: hay un® 0 khi n. · Ta noùi daõy soá (vn) coù giôùi haïn laø soá a (hay vn daàn tôùi a) khi n, neáu(vn – a) = 0. Kí hieäu: vn = a hay vn® a khi n . Ví duï: Cho daõy soá (vn) vôùi vn = . Chöùng minh raèng vn = 2. Giaûi: Vậy Moät vaøi giôùi haïn ñaëc bieät: Töø ñònh nghóa ta suy ra caùc keát quaû sau: a); vôùi k nguyeân döông; b) neáu ; c) Neáu un = c (c laø haèng soá) thì un = c = c. * Chuù yù: Töø nay veà sau thay choun = a, ta vieát taét laø limun = a. 2.2 ÑÒNH LÍ VEÀ GIÔÙI HAÏN HÖÕU HAÏN: Ñònh lí: a) Neáu limun = a vaø limvn = b thì: · lim(un + vn) = a + b; · lim(un – vn) = a – b; · lim(un.vn) = a.b; · lim (neáu b0). b) Neáu un0 vôùi moïi n vaø limun = a thì a0 vaø lim. Ví duï 1: Tìm lim Ví duï 2: Tìm lim 2.3 TOÅNG CUÛA CAÁP SOÁ NHAÂN LUØI VOÂ HAÏN: · Caáp soá nhaân voâ haïn (un) coù coâng boäi q, vôùi ïqï < 1 ñöôïc goïi laø caáp soá nhaân luøi voâ haïn. _ Laáy hai ví duï veà caáp soá nhaân luøi voâ haïn (öùng vôùi q aâm vaø q döông), sau ñoù tính toång n soá haïng ñaàu tieân cuûa caùc caáp soá nhaân ñaõ cho theo n. · Goïi S laø toång cuûa caáp soá nhaân luøi voâ haïn (un) hay S = u1 + u2 + u3 ++ un +. Khi ñoù: S = . Ví duï: a) Tính toång cuûa caáp soá nhaân luøi voâ haïn (un), vôùi un = . b) Tính toång Giaûi: . Suy ra .Do đó: Các số hạng của tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với . Do đó: IV– GIÔÙI HAÏN VOÂ CÖÏC: Ñònh nghóa: · Ta noùi daõy soá (un) coù giôùi haïn khi n, neáu un coù theå lôùn hôn moät soá döông baát kì, keå töø moät soá haïng naøo ñoù trôû ñi. Kí hieäu: limun = hay un = khi n. · Daõy soá (un) ñöôïc goïi laø coù giôùi haïn khi n neáu lim. Kí hieäu: limun = hay khi n. * Nhaän xeùt: limun = . Moät vaøi giôùi haïn ñaëc bieät: Ta thöøa nhaän caùc keát quaû sau: a) lim vôùi k nguyeân döông b) lim neáu q > 1. Ñònh lí: a) Neáu limun = a vaø limvn = thì lim. b) Neáu limun = a > 0, limvn = 0 vaø vn > 0 vôùi moïi n thì lim. c) Neáu limun = vaø limvn = a > 0 thì limunvn = . Ví duï 1: lim Vì và Ví duï 2: lim(n2 - 2n - 1) Vì , và Vậy . 3. Luyện tập Baøi 1: Tính caùc giôùi haïn sau: a) lim; b) lim; c) Tính ; d) lim. Baøi 2: Ñeå trang hoaøng cho caên hoä cuûa mình, chuù chuoät Mickey quyeát ñònh toâ maøu moät mieáng bìa hình vuoâng caïnh baèng 1. Noù toâ maøu xaùm caùc hình vuoâng nhoû ñöôïc ñaùnh soá laàn löôït laø 1, 2, 3,, n,, trong ñoù caïnh cuûa hình vuoâng keá tieáp baèng moät nöûa caïnh cuûa hình vuoâng tröôùc ñoù. Giaû söû quy trình toâ maøu cuûa Mickey coù theå tieán ra voâ haïn. a) Goïi un laø dieän tích cuûa hình vuoâng maøu xaùm thöù n. Tính u1, u2, u3 vaø un. b) Tím limSn vôùi Sn = u1 + u2 + u3 ++ un. Baøi 3: Tính toång S = Baøi 4: Tính caùc giôùi haïn sau: a) lim(n3 + 2n2 - n + 1); b) lim(-n2 + 5n - 2); c) lim(- n); d) lim(+ n). 4. Ứng dụng, mở rộng Nghịch lý ZénonTriết gia Hy Lạp, Zénon xứ Elea (490 BC – 430 BC) Để có thể đi vào hiểu rõ tại sao lại có khái niệm “giới hạn” trong toán học (limit hay viết tắt là lim) ta hãy cùng nhau tìm hiểu câu chuyện nghịch lý của Zenon. Câu chuyện nói về vị thần Achilles (tiếng Việt thường gọi là Asin) – mệnh danh là vị thần có thể di chuyển với tốc độ nhanh nhất mà cả thế gian không ai bằng trong thần thoại Hy Lạp. “Câu chuyện – Achilles chạy đua cùng rùa” Một ngày nọ, thần Achilles chạy thi với một con rùa. Do được mệnh danh là thần về tốc độ nên Achilles nhường rùa một đoạn, Achilles ở tại x1, rùa ở tại x2. Cả hai xuất phát cùng một lúc, theo cùng một hướng và nhiệm vụ của thần Achilles là phải đuổi kịp con rùa. Chỉ trong nháy mắt, không mấy khó khăn, Achilles đến được x2 . Thế nhưng dù rùa chạy chậm thì vận tốc của nó vẫn lớn hơn 0 và nó đi đến được x3. Tiếp tục, Achilles đuổi đến x3 thì rùa đến x4, Achilles đuổi đến x4 thì rùa đến x5, Cứ tiếp tục như thế, các điểm này luôn luôn tồn tại và như thế thì Achilles, một vị thần về tốc độ lại không đuổi kịp một con rùa. Điều này là vô lý theo lẽ thường tình, nhưng hoàn toàn không có gì mâu thuẩn trong lập luận trên, vậy điều gì đang diễn ra? Nhận xét Ta bắt đầu tìm hiểu sự hình thành nên khái niêm giới hạn từ câu chuyện thú vị trên, bắt đầu với hai nhận xét: Thứ nhất, câu chuyện trên đều có thể xảy ra trong thực tế và chính điều đó đã làm cho chúng trở thành nghịch lý nổi tiếng. Hoàn toàn không có thủ thuật hay mẹo vặt gì ở đây như các câu đố vui mà bạn hay gặp phải. Thứ hai, cũng từ thực tế, Achiles không thể nào không thể chạy bằng rùa, và kết quả là anh ta sẽ chạy được đến đúng chỗ con rùa đang đứng. Phải thừa nhận rằng, giới hạn không phải phát minh từ trên trời rơi xuống mà con do con người tự tạo ra để đem lại những điều vui thú mang tính chất giải trí. Con người đã góp phần “phát hiện” ra định nghĩa này.