Giáo án Đại số Lớp 10 - Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình - Bài 1: Bất đẳng thức Cô - Si

Bài 1: BẤT ĐẲNG THỨC CÔ - SI MỤC TIÊU Biết, hiểu và vận dụng bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân của hai số không âm. Biết được một số bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối. Vận dụng bất đẳng thức để giải quyết một số bài toán thực tế. A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG Hãy nêu cách giải quyết các bài toán sau: 1. Một hình chữ nhật và một hình vuông có cùng chu vi. Hỏi hình nào có diện tích lớn hơn? 2. Một hình chữ nhật và một hinh vuông có cùng diện tích. Hỏi hình nào có có chu vi nhỏ hơn? 1. Hình chữ nhật và hình vuông có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn hơn. 2. Hinh chữ nhật và hinh vuông có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi nhỏ hơn. Hãy nêu cách giải quyết các bài toán thực tế sau. 1. Một trại nuôi cá giống dự định đào các hồ nuôi cá hình chữ nhật có cùng độ sâu, cùng chu vi. Hỏi hồ phải đào hình chữ nhật như thế nào để có không gian lớn nhất? 2. Một bác nông dân muốn thiết kế một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 100m2 để trồng rau. Hỏi mảnh vườn đó phải như thế nào để tốn ít lưới rào nhất? 1. Chưa xác định được vì có nhiều hình chữ nhật có cùng chu vi. 2. Chưa xác định được vì có nhiều hình chữ nhật có cùng diện tích. B. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC II. BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN ( BẤT ĐẲNG THỨC CÔ – SI ) Bất đẳng thức Cô – si. ĐỊNH LÍ Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Các hệ quả HỆ QUẢ 1: Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2. HỆ QUẢ 2: Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi HỆ QUẢ 3: Nếu x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi và chỉ khi Do đó : . Đẳng thức xảy ra khi x = y. Đẳng thức xảy ra khi x = y. KẾT LUẬN Ý NGHĨA HÌNH HỌC 1. Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất. 2.Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất. II. VÍ DỤ Ví dụ 1: Chứng minh rằng nếu là các số dương thì . Khi nào xảy ra đẳng thức? Giải. Áp dụng BĐT Cô-si, ta có: (Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ). (Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ) Do đó: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Ví dụ 2: Cho ba số dương . Chứng minh rằng : . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Giải. Áp dụng BĐT Cô-si, ta có: (Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ) (Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ) (Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ) Nhân vế với vế, ta được: (đpcm) Ví dụ 3: Với hai số dương thoả , bất đẳng thức nào sau đây đúng? A. . B. . C. . D. . Ví dụ 4: Cho hai số dương thoả , bất đẳng thức nào sau đây đúng? A. . B. . C. . D. . Ví dụ 5: Cho là hai số thực bất kỳ thoả , giá trị nhỏ nhất của A. . B. . C. . D. . Ví dụ 6: Cho thoả đẳng thức thì A. . B. . C. . D. . Ví dụ 7: Cho và . Giá trị nhỏ nhất của là A. . B. . C. . D. Một kết quả khác. D. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG Bài 1: Một trại nuôi cá giống dự định đào các hồ nuôi cá hình chữ nhật có cùng độ sâu, cùng chu vi. Hỏi hồ phải đào hình chữ nhật như thế nào để có không gian lớn nhất? Trả lời: Để có không gian lớn nhất thì hồ phải đào là hình vuông. Bài 2: Một bác nông dân muốn thiết kế một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 100m2 để trồng rau. Hỏi mảnh vườn đó phải như thế nào để tốn ít lưới rào nhất? Trả lời: Để tốn ít lưới rào nhất thì mảnh vườn đó phải là hình vuông có cạnh là 10m. Bài 3: Tại xã Tu Tra, huyện Đơn Dương có một trang trại. Chủ trang trại muốn nuôi thêm một bầy dê và ông đã mua hàng rào để làm chuồng bảo vệ chúng. Các loại vật liệu làm hàng rào ở cửa hàng bán gồm: gỗ, tôn lạnh. Nhưng ông chỉ còn 1.500.000 ( đồng) đủ để mua loại tôn lạnh 62.000 (đồng) 1 tấm, mỗi tấm có bề dài 1 mét, chiều cao 1 mét 6. Ông muốn xây dựng một hàng rào có chiều cao 1 mét 6 khuôn viên hình chữ nhật để vừa bảo vệ các chú dê và cung cấp cho các chú dê một không gian rộng rãi, thoáng mát. Bạn hãy giúp chủ trang trại tìm cách xây dựng hàng rào? Trả lời: Bước 1: Hiểu vấn đề và xây dựng mô hình thực tế. Dãy các biến số và các kết quả những xem xét của học sinh: - Không gian rộng rãi thoáng mát sẽ phụ thuộc vào diện tích của chuồng, hình dạng và cách thiết kế chuồng. - Hàng rào phụ thuộc vào loại vật liệu: gỗ, tôn lạnh, số tiền để mua vật liệu. Bước 2: Xây dựng mô hình toán học Những dữ liệu ban đầu: - Các loại vật liệu làm rào ở cửa hàng: gỗ, tôn lạnh. - Số tiền ông chủ trang trại có 1.500.000 (đồng). - Tôn lạnh 62.000 Đ/ tấm. - Mỗi tấm bề dài 1 mét, chiều cao 1,6 mét. - Lựa chọn mô hình cho chuồng: hình chữ nhật. Các pép tính cần thiết: - Số tấm tôn mua được với 1.500.000 Đ. - Mô hình được chọn là hình chữ nhật với chu vi cho trước diện tích lớn nhất khi nào? Số tấm tôn sẽ mua được với số tiền là 1.500.000 Đ là 24 tấm. Chuồng có chu vi là: 24 x 1 = 24 mét. Gọi x(m) là chiều rộng, y(m) là chiều dài của chuồng ở đây y > x > 0. Khi đó ta có 2(x +y) = 24 nên x + y = 12. Từ đây ta có bài toán : Cho hai số x, y thỏa mãn x + y = 12 và 0 < x < y. Tìm x,y để biểu thức P = xy đạt giá trị lớn nhất. Bước 3 : Giải quyết vấn đề toán học và đưa ra cách giải quyết. Dấu bằng xảy ra khi . Như vậy để chuồng dê rộng rãi, thoáng mát ta nên xây dựng chuồng theo hình vuông cạnh 6m. E. HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI MỞ RỘNG Em có biết? CHỈ DẪN LỊCH SỬ Cô–si là nhà toán học Pháp. Ông nghiên cứu nhiều lĩnh vự toán học khác nhau, công bố hơn 800 công trình về Số học, Lí thuyết số, Đại số, Giải tích toán học, Phương trình vi phân, Cơ học lí thuyết, Cơ học thiên thể, Vật lí toán. Các công trình Cô-si cho thấy rõ nhược điểm của việc dựa vào trực giác hình học để suy ra các kết quả tế nhị của Giải tích. Ông định nghĩa một cách chính xác các khái niệm giới hạn và liên tục của hàm số. Ông xây dựng một cách chặt chẽ Lí thuyết hội tụ của chuỗi, đưa ra các khái niệm bán kính hội tụ. Ông định nghĩa tích phân là giới hạn của các tổng tích phân và chứng minh sự tồn tại tích phân của các hàm số liên tục. Ông phát triển cơ sở của Lí thuyết hàm số biến số phức. Về Hình học, về Đại số, về Lí thuyết số, về Cơ học, về Quang học, về Thiên văn học Cô-si đều có những cống hiến lớn lao. Đơn Dương, ngày 01 tháng 11 năm 2017 Trường THPT Lê Lợi Nhóm: Thầy Nguyễn Tiến Phát Thầy Phan Văn Luật Thầy Phạm Văn Đảm