Giáo án Đại số Lớp 10 - Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình - Bài 1: Bất đẳng thức

§1. BẤT ĐẲNG THỨC I. KHỞI ĐỘNG - Học sinh quan sát hình và nhận biết: Tổng hai cạnh của một tam giác lớn hơn cạnh thứ ba I- ÔN TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC 1. Khái niệm bất đẳng thức: Các mệnh đề dạng "a b" được gọi là bất đẳng thức. * Chú ý: Các mệnh đề dạng "a b" gọi là các bất đẳng thức ngặt. Các mệnh đề dạng "a £ b" hoặc "a ³ b" gọi là các bất đẳng thức không ngặt. 2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương: Nếu mệnh đề "a < b Þ c < d" đúng thì ta nói bất đẳng thức c < d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a < b và cũng viết là a < b Þ c < d. Nếu bất đẳng thức a < b là hệ quả của bất đẳng thức c < d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết là a < b c < d. _ Sử dụng các tính chất "a < b và b < c Þ a < c", "a < b Þ a + c < b + c, "cÎ R" chứng minh a < b a-b < 0. Để chứng minh bất đẳng thức a < b ta chỉ cần chứng minh a - b < 0. 3. Tính chất của bất đẳng thức: Tính chất Phát biểu Điều kiện Nội dung a 0 a bc Nhân hai vế của một bất đẳng thức cho cùng một số âm ta được một bất đẳng thức tương đương ngược chiều. Þ a + c 0 c > 0 Þ ac 0 a < b < Khai căn bậc chẵn hai vế của một bất đẳng thức dương ta được một bất đẳng thức tương đương cùng chiều. a < b < Khai căn bậc lẻ hai vế của một bất đẳng thức ta được một bất đẳng thức tương đương cùng chiều. Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi a, b ta có a2 + b2 ³ ab. Giải: II. HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI Khởi động tiếp cận: Bài toán: Một miếng đất hình chữ nhật có diện tích 225 m2, người ta muốn làm hàng rào bao xung quanh. Hỏi phải chọn chiều dài, chiều rộng là bao nhiêu để tốn ít vật liệu nhất. II- BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN (CAUCHY) 1. Bất đẳng thức CauChy (Cô-si): Định lí: Trung bình cộng của hai số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. "a, b ³ 0, Đẳng thức khi và chỉ khi a = b Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi số dương a, b ta có: . Giải: 2. Các hệ quả: Hệ quả 1: Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2. , "a > 0 Hệ quả 2: +Nếu hai số x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y. +Nếu hai số x,y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x+y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y. Ý nghĩa hình học: + Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất. + Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất. Ví dụ: Giải bài toán tiếp cận. Một miếng đất hình chữ nhật có diện tích 225 m2, người ta muốn làm hàng rào bao xung quanh. Hỏi phải chọn chiều dài, chiều rộng là bao nhiêu để tốn ít vật liệu nhất. III- BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: Điều kiện Nội dung ïxï ³ 0, ïxï ³ x, ïxï ³ -x a > 0 ïxï £ a -a £ x £ a ïxï ³ a x £ -a hoặc x ³ a ïaï - ïbï £ ïa + bï £ ïaï + ïbï Ví dụ: Cho x Î [-2; 0]. Chứng minh rằng ïx + 1ï £ 1. III. LUYỆN TẬP : Bài 1: Chứng minh rằng: a) , "a, b > 0; b) a2 + b2 + c2 ³ ab + bc + ca với a, b, c Î R. Bài 2: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. a) Chứng minh (b - c)2 < a2; b) Từ đó suy ra a2 + b2 + c2 £ 2(ab + bc + ca). Bài 3: Chứng minh rằng x3 + y3 ³ x2y + xy2, "x ³ 0, "y ³ 0. Bài 4: Cho x > 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức f(x) = x + . Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = . IV. VẬN DỤNG TÌM TÒI VÀ MỞ RỘNG: