Dùng phép đặc biệt hóa và tổng quát hóa và mở rộng bài toán

DÙNG PHÉP ĐẶC BIỆT HÓA VÀ TỔNG QUÁT HÓA VÀ MỞ RỘNG BÀI TOÁN ( bài viết cho tập san GDTHPT Hà Tĩnh 2014) Bài toán 9. Cho 3 số dương có a + b +c =1 .Chứng minh Bất đẳng thức sau đây : P = (1) ( trích đề thi giáo viên giỏi THPT Hà Tĩnh 2011) . Khi chưa tìm được cách giải ngay. Ta nên đưa bài toán về trường hợp đặc biệt bằng cách giảm số biến của bài toán. Ta đi đến xét: Bài toán 10. Cho a và b là 2 số dương thay đổi thoã mãn: . Chứng minh bất đẳng thức: .(2) Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức Ta có P = Dấu “ = ” xẩy ra . Ta sẽ tìm cách giải bài toán 1 bằng cách đưa về bài toán 2 đơn giản hơn cho 2 biến dương a và b tuỳ ý. Bằng cách đặt . Từ đó từ bài toán 1 thay a và b lần lượt bởi ta sẽ thu đươc bất đẳng thức : (*). Bây giờ ta giải bài toán 1. Ta có P sử dụng bất đẳng thức Co si cho 3 số dương ) dấu “ = ” a = b = c = 1/3 . Như vậy bất đẳng thức (2) là đúng. Bài toán 1 có thể giải bằng trực tiếp bằng phương pháp dồn biến trực tiếp.Song con đường đi từ bài toán 1 sẽ tự nhiên hơn. Từ kết quả của 2 bài toán trên ta hy vọng rằng bài toán tổng quát sẽ đúng. Ta đi đến giải bài toán tổng quát sau với n biến dương. Tức là ta phải giải bài toán sau: Bài toán 11. “ Cho n số dương Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau ”( Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo n : (3) Thật vậy với n = 2 do kết quả bài toán 1 nên bất đẳng thức (3) đúng. Giả sử ( 3 ) đúng với n = k.: T sẽ chứng minh bất đẳng thức ( 3 ) đúng cho n+1 số dương mà . Thật vậy ta có . Nên theo giả thiết quy nạp ta có: (** ) Khi đó ta có: ( ta gọi x = ( theo giả thiết quy nạp ( ** ) và theo bất đẳng thức Co si ) = = Tức là bất đẳng thức (3 ) đúng với n +1. Từ đó theo nguyên lý quy nạp ( 3 ) đúng với . Dấu “ = “ xẩy ra khi và chỉ khi Như vậy giá trị lớn nhất của P là Bài toán 3 đã được giải quyết. Bây giờ với n số dương tuỳ ý ta đặt . Từ bài toán 3 ta thay lần lượt bởi ta thu được bất đẳng thức tổng quát ở bài toán 4 sau. Đây là một bất đẳng thức rất đẹp mà con đường đi đến lại là bất đẳng thức đơn giản đó là bất đẳng thức ( 1 ) Bài toán 12. Cho n số thực dương ( ta có bất đẳng thức sau đây: Con đường tổng quát bài toán (1) chưa phải là kết thúc . Bây giờ ta mở rộng trên tập hợp các số mũ nguyên dương của các biến trong bài toán . Để dùng phép quy nạp có thể áp dụng được hay không theo kiểu ở trên ta phải lần lượt xét: Bài toán 13.Hãy tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: a) Với a, b là 2 số dương thoã mãn . a +b = 1 b) Với a, b,c là 3 số dương thoã mãn a +b +c = 1 Để bài viết không quá dài trường hợp a) của bài toán xin dành cho bạn đọc tự giải. bằng cách tương tự như giải bài toán 1. Ở đó ta sẽ thu được kết quả là : max = Điều nhận thấy ở bài toán a) là mặc dù vai trò a,b trong bài toán là bình đẳng nhưng dấu “ = “ ở kết luận của bất đẳng thức thu được lại là các cặp ( a; b ) đối xứng mà không xẩy ra khi 2 biến bằng nhau do đó để giải bài toán b) khó lòng đưa về trường hợp 2 biến . Sau đây là một lời giải cho bài toán b). Bài giải: Giả sử c là số nhỏ nhất trong 3 số a,b, c suy ra . (*) Ta có: = = (1) Xét hàm với Giải pt có 3 nghiệm trong đó có 1 nghiệm , Lập BBT ta có (2) Dấu “=” xẩy ra khi đồng thời xẩy ra ở (1) và (2) Vì nên ta dễ thấy và phương trình luôn có hai nghiệm suy ra luôn tồn tại a, b, c thỏa mãn giả thiết để có . Kết luận: GTLN của F là . Rõ ràng bài toán 13b) là một bài khá khó.! Nhận xét: Vì GTLN đạt được tại giá trị các biến “không đẹp” nên việc dựa vào các BĐT cổ điển là rất khó và phương pháp dồn biến là không thể thực hiện. Việc chọn c như ở (*) với mục đích hệ (3), (4) có nghiệm thuộc (0;1). Bài toán mở I.13. Gọi với n và là số tự nhiên ; Trong đó: Thì giá trị lớn nhất của bằng bao nhiêu ? Rõ ràng bài toán chỉ mới giải quyết được khi ( k; n ) = ( 2; n ) ; ( 2;3 ) và ( 3;3 ) Theo dõi kết quả của các bài toán 13a) và 13b) ta thấy rằng bài toán tổng quát không thể giải quyết được bằng con đường quy nạp như ở chuổi các bài toán đi từ bài toán trên Chính vì vậy 2 bài toán mở sau đây vẫn là câu hỏi chưa có câu trả lời. Bài toán mở II. 13. n .là số tự nhiên ( n lớn hơn hoặc bằng 2 ) và r là một số thực tuỳ ý . Với n số dương thay đổi thoã mãn: Gọi Thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức là bao nhiêu ?. Bài toán I.13 và bài toán II.13 là 2 bài toán mở mà chính tác giả bài viết này rất mong bạn đọc quan tâm và trao đổi