Đề thi thử chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12

Kỳ THI THử CHọN HọC SINH GIỏI CấP TỉNH NĂM HọC 2008 2009 MÔN TOáN LớP 12 Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian giao đ̉h) Bài 1: (3.0 điểm) 1. Giải phương trình: (1) 2. Tam giác nhọn ABC thỏa hệ thức: Chứng minh tam giác ABC đ̉u.ề Bài 2: (3.0 điểm) Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm M di động, trên cạnh AC lấy điểm N di động sao cho (không đổi).Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua một điểm cố đ̃nh.i Bài 3: (3.0 điểm) 1.Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau: 2. Chứng minh rằng: chia hƠt cho 8. Bài 4: (3.0 điểm): Cho dãy số (Un) xác đ̃nh bởix: trong đă -1 <a < 0 1. Chứng minh rằng: - 1 < Un < 0 với và (Un) là một dãy số giảm. 2. Tìm Lim Un Bài 5: (2.0 điểm): Chứng minh bất đẳng thức sau: Bài 6: (3.0 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên hai cạnh AB và AD lần lượt lấy hai điểm di động E, F sao cho: AE + EF + FA = 2a. Chứng tỏ rằng đường thẳng EF luôn tiƠp xúc với một đường tròn cố đ̃nh.u Tìm ṽ trƯ của m, F sao cho diện tƯch tam giác CEF lớn nhất. Bài 7: (3.0 điểm) 1. Cho các số 1,2,3,4,5,6,7. Tìm các số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy tơ 7 chữ số trên sao cho không tận cùng là chữ số 4 2.Că hai băng điện với xác suất hỏng là 0, 1 và 0,2 (việc chúng hỏng là độc lập với nhau). TƯnh xác suất để mạch không că điện do băng hỏng nƠu: Chúng được mắc song song. Chúng được mắc nối tiƠp. -HƠt- ĐáP áN Và THANG ĐIểM Điểm ĐáP áN 3.0 Bài 1: 1.5 Bài 1.1. Giải phương trình: (1) 0.5 (1) Û Û Û 0.5 Û Û Û 0.5 Û , k ẻ Z. Vậy phương trình că 1 họ nghiệm là: , k ẻ Z. 1.5 Bài 1.2. Tam giác nhọn ABC thỏa hệ thức: Chứng minh tam giác ABC đ̉u.ề 0.5 Trong mọi tam giác nhọn ta luôn că: tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC (1) Đặt thì tơ (1) ta că: x + y + z = 1 (2) Mặt khác: 0.5 Tương tự: và Giả thiƠt bài toán trở thành Theo bất đẳng thức Cauchy: 0.5 Cộng vƠ theo vƠ các bất đẳng thức trên ta được: Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Khi đă tgA = tgB = tgC hay DABC đ̉u ề (đpcm). 3.0 Bài 2: Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm M di động, trên cạnh AC lấy điểm N di động sao cho (không đổi).Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua một điểm cố đ̃nh.i 0.5 0.5 Kẻ đường phân giác trong của găc BAC là At. Do A,B, C cố đ̃nh ố => At cố đ̃nh. Gọi I là giao điểm của At với MN. Ta că: SDAMN = SDAMI + SDANI 0.5 0.5 (không đổi) 0.5 (không đổi) => I cố đ̃nh và ố ẻ MN 0.5 Vậy đường thẳng MN qua 1 điểm cố đ̃nh u. 3.0 Bài 3: 1.5 Bài 3.1. Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau: 0.5 0.5 áp Dụng BDT Cauchy cho 3 số; ta đc Dấu xảy ra 0.5 Tơ phương trình: ( phương trình ước số; dễ dàng tìm đc rồi tìm ra ) Đ áp số : nghiệm phương trình là 1.5 Bài 3.2. Chứng minh rằng: chia hƠt cho 8. 0.5 Ta că: 0.5 (M, N là các đa thức) 0.5 vì 2008 chia hƠt cho 8 (đccm) 3.0 Bài 4: 1.5 Bài 4.1. Chứng minh rằng: - 1 < Un < 0 (2) với và (Un) là một dãy số giảm. 0.5 CM bằng quy nạp: - với n = 1 thì U1 = a theo giả thiƠt - 1 < a < 0 nên (2) đúng với n = 1. - Giả sử (2) đúng với n = k: - 1 < Un < 0 ta CM (2) đúng với n = k + 1. 0.5 Tơ (2) ta că: 0 < Un + 1 < 1 (*) Do đă và tức là: - 1 < Un+1 < 0 Vì - 1 < Un < 0 nên Un + 1 và với 0.5 Tơ (1) suy ra: Vậy Un là dãy giảm. 1.5 Bài 4.2. Tìm lim Un 0.5 Đặt ta că: 0 0 và 0.5 Ta că: 0.5 Vì Lim (a + 1). qn - 1 = (a + 1). Lim qn - 1 nên Lim Vn = 0 Hay Lim Un = - 1 Câu hỏi thêm của bài này: CMR : Tơ đẳng thức (1) suy ra: Vì Un là dãy giảm; -1 < Un < 0 với mọi n và U1 = a nên: với tơ đă suy ra: Do đă: và tơ (3) ta că: Theo chứng minh trên ta că: 2.0 Bài 5: Chứng minh bất đẳng thức sau 0.5 Ta că: 0.5 Mặt khác: 0.5 Nên Do 0.5 Dấu đẳng thức xảy ra khi: a = b = c 3.0 Bài 6: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên hai cạnh AB và AD lần lượt lấy hai điểm di động E, F sao cho: AE + EF + FA = 2a. 1.5 6.1. Chứng tỏ rằng đường thẳng EF luôn tiƠp xúc với một đường tròn cố đ̃nh.u 0.5 A E B K H F D C 0.5 Trờn tia đối của BA lấy K sao cho BK = DF . Vẽ CH ^ EF , H ẻ EF . D DFC = D DKC ( DF = BK ; FDC = KBC = 900 ; DC = BC ) CF = CK . Vỡ EF = 2a – ( EA + FA ) = ( AB + AD ) – ( EA + FA ) = AB – EA + AD – FA = EB + FD = EB + BK . 0.5 Do đú D CEF = D CEK ( c.c.c) Suy ra cỏc đường cao CH và CB bằng nhau . CH khụng đổi, C cố định, CH ^ EF ị EF luụn tiếp xỳc với đ trũn cố định ( C , a ) 1.5 6.2. Tỡm vị trớ của E, F sao cho diện tớch tam giỏc CEF lớn nhất. 0.5 D HCF = D DCF ( H = D = 900  ; CF chung ; CH = CD = a ) ị SHCF = SDCF Chứng minh tương tự ta cú: SHCE = 1/2SBCE do đú SHCF + SHCE = SDCF + SBCE 0.5 ị SCEF = SCDFEB ị SCEF = 1/2 ( a2 – SAEF ) SAEF ³ 0 ị SCEF Ê 1/2 a2 . Dấu “=“ xảy ra “Û SAEF = 0 0.5 Û E º B , F º A hoặc E º A , F º D . Vậy E º B , F º A hoặc E º A , F º D thỡ SCEF đạt giỏ trị lớn nhất . 3.0 Bài 7: 1.5 7.1. Cho cỏc số 1,2,3,4,5,6,7. Tỡm cỏc số tự nhiờn gồm 5 chữ số lấy từ 7 chữ số trờn sao cho khụng tận cựng là chữ số 4 1.5 Kết quả: 14406 1.5 7.2.Cú hai búng điện với xỏc suất hỏng là 0,1 và 0,2 (việc chỳng hỏng là độc lập với nhau). Tớnh xỏc suất để mạch khụng cú điện do búng hỏng nếu: a. Chỳng được mắc song song. Chỳng được mắc nối tiếp. 1.5 Kết quả: P=0,02 P=0,28 Chỳ ý: Nếu học sinh cú lời giải đỳng và hợp lụgic thỡ vẫn chấm điểm tối đa. làm trũn điểm bài thi theo quy định.