Đề thi Môn: Toán thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề)

Giao lưu toán tuổi thơ lần thứ III Môn: toán Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) I- Đề bài Bài số 1 a. Tìm a, b, c, d biết: ab,cd – a,bcd = 18,063 b. Số A = 1 x 2 x 3 x 4 x . x 2010 x 2011 + 4013 chia cho 2007 dư bao nhiêu? Bài số 2 Đến dự giao lưu toán tuổi thơ lần thứ ba, “Compa vui tính” có một bài toán: “Tính tổng các chữ số của các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2007” Mời các bạn thí sinh cùng tham gia giải nhé! Bài số 3 Một nhóm học sinh thuê thuyền đi chơi trên sông trong 2 giờ. Thuyền đi ngược dòng với vận tốc 3km/giờ và xuôi dòng với vận tốc 6km/giờ. Hỏi thuyền đi xa bến bao nhiêu km thì phải quay trở về bến để trả thuyền đúng giờ. (Giả sử rằng lúc khởi hành thuyền đi ngược dòng). Bài số 4 Cho hình vẽ bên, trong đó ABCD là hình chữ nhật, AB được kéo dài để có AB = BE. Đoạn thẳng ED cắt BC ở M. Hãy: a. So sánh diện tích hai tam giác BEM và CDM. K b. So sánh MB và MC. E c. So sánh BH và CK. H M B C A D II- Đáp án. Bài số 1 (2,5điểm) a. Tìm a, b, c, d biết ab,cd – a,bcd = 18,063 Ta có: ab,cd : a,bcd = 10 => Số ab,cd gấp 10 lần số a,bcd (0,25đ) Mà hiệu hai số là 18,063. Ta có sơ đồ: ab,cd (0,25đ) a,bcd ? 18,063 Số a,bcd là: 18,063 : (10 – 1) = 2,007 (0,25đ) Vậy a = 2; b = 0; c = 0; d = 7 Thử lại: 20,07 – 2,007 = 18,063 (đúng) Đáp số : a = 2; b = 0; c = 0; d = 7 (0,25đ) b. Xét số hạng thứ nhất: 1 x 2 x 3 x 4 x . x 2010 x 2011 * Nhận xét 2 – 1 = 1 3 – 2 = 1 4 – 3 = 1 2011 – 2010 = 1 (0,25đ) Vậy số hạng thứ nhất là tích các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2011. Mà 1 Số 2007 là một thừa số của số hạng thứ nhất suy ra tích 1 x 2 x 3 x 4 x x 2010 x 2011 chia hết cho 2007. (0,5đ) Mặt khác 4013 : 2007 = 1 (dư 2006). Suy ra: 1 x 2 x 3 x 4 x x 2010 x 2011 + 4013 chia cho 2007 dư 2006 Vậy số A chia cho 2007 dư 2006. (0,5đ) Đáp số: 2006 (0,25đ) Bài số 2: (2,5điểm) Ta bổ sung số 0 vào dãy số tự nhiên liên tiếp đã cho. Suy ra ta có dãy số: 0, 1, 2, 3, , 2005, 2006, 2007 (0,25đ) * Ta hãy tính tổng các chữ số của các số tự nhiên liên tiếp từ 0 đến 1999. Nhận xét: - Hai số 0 và 1999 có tổng các chữ số là: 0 + 1 + 9 + 9 + 9 = 28 - Hai số 1 và 1998 có tổng các chữ số là 1 + 1 + 9 + 9 + 8 = 28 - Hai số 9 và 1990 có tổng các chữ số là 9 + 1 + 9 + 9 + 0 = 28 - Hai số 10 và 1989 có tổng các chữ số là 1 + 0 + 1 + 9 + 8 + 9 = 28 - Hai số 99 và 1900 có tổng các chữ số là 9 + 9 + 1 + 9 + 0 + 0 = 28 - Hai số 100 và 1899 có tổng các chữ số là 1 + 0 + 0 + 1 + 8 + 9 + 9 = 28 - Hai số 999 và 1000 có tổng các chữ số là 9 + 9 + 9 + 1 + 0 + 0 + 0 = 28 (0,75đ) * Như vậy trong dãy số tự nhiên liên tiếp từ 0 đến 1999 thì từng cặp số tính từ 2 đầu trở vào đều có tổng các chữ số bằng 28. Mà từ 1 đến 1999 có 1999 số hạng. Do đó từ 0 đ ến 1999 sẽ có 2000 số. Do đó có 2000 : 2 = 1000 (cặp số). Mà mỗi cặp có tổng các chữ số bằng 28. (0,25đ) Vậy tổng các chữ số của các số tự nhiên liên tiếp từ 0 đến 1999 là: 28 x 1000 = 28000 (0,25đ) * Tổng các chữ số của các số 2000; 2001; 2002; 2003; 2004; 2005; 2006; 2007 là: 2 x 9 + 0 x 17 + 1 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 44 (0,5đ) Tổng các chữ số của các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2007 là: 28000 + 44 – 0 = 28044 (0,5đ) Đáp số: 28044 Bài số 3 (2 điểm) Ta thấy quãng đường thuyền đi xuôi dòng bằng quãng đường thuyền đi ngược dòng. Nên vận tốc thuyền đi xuôi dòng gấp vận tốc đi ngược dòng bao nhiêu lần thì thời gian thuyền đi xuôi dòng kém thời gian đi ngược dòng bấy nhiêu lần. (0,25đ) Vận tốc thuyền đi xuôi dòng so với vận tốc đi ngược dòng thì gấp: 6 : 3 = 2 (lần) (0,25đ) => Thời gian thuyền đi xuôi dòng bằng thời gian thuyền đi ngược dòng. Ta có sơ đồ: ? Thời gian thuyền ngược dòng (0,25đ) 2 giờ Thời gian thuyền xuôi dòng Thời gian thuyền đi ngược dòng là: 2 : (1 + 2) x 2 = (giờ) (0,5đ) Thuyền chỉ được đi xa bến số km là phải quay về bến để trả thuyền đúng giờ là: 3 x = 4 (km) (0,5đ) Đáp số: 4km (0,25đ) Bài số 4: (3 điểm) K E H M B C A D Gọi S là diện tích a. Ta có: - song song với AB => DC song song với AE. Vậy tứ giác ADCE là hình thang vuông (0,25đ) - Vì AB = DC mà AB = BE => BE = DC (0,25đ) Vậy: SBEC = SCDE (vì 2 tam giác có đáy BE = DC; chiều cao CB bằng chiều cao hạ từ đỉnh E xuống đáy DC) (0,5đ) Hai tam giác BEC và CDE có diện tích bằng nhau và có phần diện tích tam giác EMC chung. Do đó: SBEC – SEMC = SCDE – SEMC (0,5đ) SBEM = SCDM b. Theo câu a. Hai tam giác vuông BEM và CDM có diện tích bằng nhau. Và có chiều cao BE = CD nên đáy MB = MC (0,5đ) c. SBEM = SMEC (vì 2 tam giác có đáy MB = MC chung chiều cao hạ từ E xuống BC) (0,5đ) Mà hai tam giác EBM và EMC có chung đáy EM Nên chiều cao BH = CK (0,25đ) Đáp số: a. SBEM = SCDM b. MB = MC (0,25đ) c. BH = CK