Đề thi khảo sát học sinh giỏi năm học: 2013–2014 môn: toán 7

ĐỀ CHÍNH THỨC TRƯỜNG THCS ĐỒNG TĨNH ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI Năm học: 2013–2014 Môn: Toán 7 Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi này gồm 01 trang Thí sinh dự thi không được sử dụng máy tính cầm tay Câu 1. ( 1,5 điểm) a) Tìm x, y, z biết: và xyz = b) Tìm x, y biết: Câu 2. ( 2,0 điểm) Rút gọn Chứng tỏ rằng số chia hết cho 100 Câu 3. ( 2,0 điểm) a) Cho chứng minh rằng, giá trị biểu thức P = không phụ thuộc vào giá trị của x. b) Tổng các luỹ thừa bậc ba của ba số là -1009. Biết tỉ số giữa số thứ nhất và số thứ hai là , tỉ số giữa số thứ nhất và số thứ ba là . Tìm ba số đó? Câu 4 ( 2,0 điểm) a) Tìm tất cả các số nguyên tố a và b sao cho sao cho 7a + b và ab + 11 cũng là số nguyên tố. b) Chứng minh rằng cho n số tự nhiên bao giờ ta cũng có thể chọn một số hoặc một vài số có tổng chia hết cho n. Câu 5 ( 2,5 điểm) Cho tam giác ABC có AB = AC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho ED = EB Chứng tỏ . Chứng minh rằng DE // AC. ––––––––––––––––HẾT––––––––––––––––– Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh..........................................................................SBD:..................... ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu Nội dung Điểm 1a Đặt x = 12k, y = 6k và z =3k Vì xyz = nên 12k.6k.3k = x = ; y = ; z = 0,25 0,25 0,25 1b Ta có 2|2x - 3|0 với mọi x 0 với mọi x Dấu ‘=’ xảy ra khi Vậy 0,25 0,25 0,25 2a 2A 2A + A = nên A = 0,5 0,5 2b = = = = = 0,25 0,25 0,25 0,25 3a Đặt k = Với x = 0 thì P = Với x 0 thì Vậy giá trị của P không phụ thuộc vào giá trị của x 0,25 0,5 0,25 3b Ta có: 0,25 0,25 0,25 0,25 4a Ta có: ab + 11 > 2 nên là số nguyên tố lẻ Nên ab là chẵn do đó a = 2 hoặc b = 2 TH1: a = 2 thì 7a + b = 14 + b ab + 11 = 2b + 11 Để 14 + b là số nguyên tố thì b lẻ do đó b 3 +) Nếu b > 3 thì b có dạng 6k + 1 và 6k – 1 ( k là số nguyên) b = 6k + 1 thì 14 + b = 6k + 15 là hợp số b = 6k – 1 thì 2b + 11 = 12k + 9 là hợp số Dó đó b > 3 không thỏa mãn +) b = 3 thử lại thỏa mãn TH2: Tương tự b = 2 và a = 3 Vậy a = 2; b = 3 hoặc a = 3 b = 2. 0,5 0,5 4b b) Gọi n số tự nhiên là Xét TH1: Nếu trong n tổng đó có một tổng chia hết cho n thì đó là tổng cần tìm TH2: Nếu trong n tổng đó không có tổng nào chia hết cho n. Chia n tổng trên cho n thì số dư có thể là 1, 2, , n – 1. Theo nguyên lý Dirichlet có ít nhất hai tổng chia n có cùng số dư. Giả sử hai tổng đó là Sk và Sl với k < l n Hiệu này là tổng phải tìm. 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 6 Vẽ hình ghi GT, KL 0,5 Lấy I là trung điểm của BC Cm ABI = ACI (c.c.c) Suy ra (Tính chất tổng ba góc tam giác) Suy ra 0,25 0,25 0,25 0,25 Tương tự ta có Mà (đối đỉnh) Do đó Suy ra DE // AC (So le trong) 0,25 0,5 0,25