Đề thi học sinh giỏi toán 8

Câu1( 2 đ): Phân tích đa thức sau thành nhân tử Câu 2( 1 đ): tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) = chia hết cho đa thức Câu 3( 3 đ): Cho tam giác ABC, đường cao AH,vẽ phân giác Hx của góc AHB và phân giác Hy của góc AHC. Kẻ AD vuông góc với Hx, AE vuông góc Hy. Chứng minh rằngtứ giác ADHE là hình vuông Câu 4( 2 đ): Chứng minh rằng Bài 5: (3 điểm) Cho hình vuơng ABCD trên cạnh BC lấy điểm E. Từ A kẻ đường thẳng vuơng gĩc vơi AE cắt đường thẳng CD tại F. Gọi I là trung điểm của EF. AI cắt CD tại M. Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI tại N. a) Chứng minh tứ giác MENF là hình thoi. b) Chứng minh chi vi tam giác CME khơng đổi khi E chuyển động BC Phân tích đa thức sau thành nhân tử: b) Cho a, b, c khác nhau, khác 0 và Rút gọn biểu thức: Bài 6: (3điểm) Cho hình vuơng ABCD. M là một điểm trên đường chéo BD. Kẻ ME và MF vuơng gĩc với AB và AD. a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE và CF bằng nhau và vuơng gĩc với nhau. b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng quy. c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF cĩ diện tích lớn nhất Bài 7: (1điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: Câu8. a. Phân tích các đa thức sau ra thừa số: a/ b/ c. Giải phương trình: d. Cho . Chứng minh rằng: Câu9. Cho biểu thức: a. Rút gọn biểu thức A. b. Tính giá trị của A , Biết |x| =. c. Tìm giá trị của x để A < 0. d. Tìm các giá trị nguyên của x để A cĩ giá trị nguyên. Câu 10. Cho hình vuơng ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ MEAB, MFAD. a. Chứng minh: b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy. c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất. Câu 11 : (2 điểm) a) Giải phương trình : Câu 12 : (2 điểm) Cho P= a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyên Bài 13(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + 4 = 25 b) c) 4x – 12.2x + 32 = 0 Bài 14 (1,5 điểm): Cho x, y, z đơi một khác nhau và . Tính giá trị của biểu thức: Bài 15 (4 điểm) Cho biểu thức A = với x khác -1 và 1. a, Rút gọn biểu thức A. b, Tính giá trị của biểu thức A tại x . c, Tìm giá trị của x để A < 0. Bài 16 (3 điểm) Cho . Chứng minh rằng . Bài 17 (3 điểm) Cho tam giác ABC vuơng tại A cĩ gĩc ABC bằng 600, phân giác BD. Gọi M,N,I theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD. a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh. b, Cho AB = 4cm. Tính các cạnh của tứ giác AMNI. Bài 18: (2 điểm) Cho biểu thức: a/ Thu gọn A b/ Tìm các giá trị của x để A<1 c/ Tìm các giá trị nguyên của x để Acĩ giá trị nguyên Bài 19 (3,5 điểm): Cho hình chữ nhật cĩ AB= 2AD, gọi E, I lần lượt là trung điểm của AB và CD. Nối D với E. Vẽ tia Dx vuơng gĩc với DE, tia Dx cắt tia đối của tia CB tại M.Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho DM = EK. Gọi G là giao điểm của DK và EM. a/ Tính số đo gĩc DBK. b/ Gọi F là chân đường vuơng gĩc hạ từ K xuống BM. Chứng minh bốn điểm A, I, G, H cùng nằm trên một đường thẳng. Bài 20: (3 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn A. b) Tìm x để A < -1. c) Với giá trị nào của x thì A nhận giá trị nguyên. Bài 21: (2 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đường chéo AC ta dựng hình chữ nhật AMPN ( M Ỵ AB và N ỴAD). Chứng minh: a) BD // MN. b) BD và MN cắt nhau tại K nằm trên AC. Bài 22: Phân tích thành nhân tử: a, (x2 – x +2)2 + (x-2)2 b, 6x5 +15x4 + 20x3 +15x2 + 6x +1 Bài 23: a, Cho a, b, c thoả mãn: a+b+c = 0 và a2 + b2 + c2= 14. Tính giá trị của A = a4+ b4+ c4 Câu 24 : ( 4Đ) Cho biểu thức : P = a) Rút gọn p . b) Tính giá trị của biểu thức p khi /x / = c) Với giá trị nào của x thì p = 7 d) Tìm giá trị nguyên của x để p cĩ giá trị nguyên . Câu 25 : ( 3Đ) Qua trọng tâm G tam giác ABC , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB và BC lần lượt tại M và N . Tính độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm) ; Chu vi tam giác ABC bằng 75 (cm) Bài 26: (3đ) Giải các phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 b) Bài 27: (2đ) Cho hình vuơng ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF a) Chứng minhEDF vuơng cân b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng. Bµi 28: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư: x2 – y2 – 5x + 5y 2x2 – 5x – 7 Câu 29: (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1). Câu 30: (5,0 điểm) Cho biểu thức : Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ? Tìm giá trị của x để A > 0? Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4. Bài 31: (4 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3. x4 + 2010x2 + 2009x + 2010. Bài 32: (2 điểm) Giải phương trình: . Bài 33: (3 điểm) Tìm x biết: . Bài 44: (3 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Bài 35: (2,5điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử a) x5 + x +1 b) x4 + 4 c) x- 3x + 4-2 với x > 0 Bài 36 : (1,5điểm) Cho abc = 2 Rút gọn biểu thức: Bài 37 : (3điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Trờn BC lấy M bất kì sao cho BM < CM. Từ N vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E và song song với AB cắt AC tại F. Gọi N là điểm đối xứng của M qua E F. a) Tính chu vi tứ giác AEMF. Biết : AB =7cm Chứng minh : AFEN là hình thang cân c) Tính : ANB + ACB = ? M ở vị trí nào để tứ giác AEMF là hình thoi và cần thêm điều kiện của D ABC để cho AEMF là hình vuơng. Bài 38: (2 điểm) a) Phõn tớch thành thừa số: b) Rỳt gọn: Bài 39: (2 điểm) Chứng minh rằng: chia hết cho 5040 với mọi số tự nhiờn n. Bài 40: (2 điểm) Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử: Bài 41( 6 điểm): Cho biểu thức: P = a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P khi c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên. d) Tìm x để P > 0. Bài 42(3 điểm):Giải phương trình: a) b) c) Bài 43 (7 điểm): Cho hình chữ nhật ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của điểm C qua P. Tứ giác AMDB là hình gì? Gọi E và F lần lợt là hình chiếu của điểm M lên AB, AD. Chứng minh EF//AC và ba điểm E, F, P thẳng hàng. Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm P. Giả sử CP BD và CP = 2,4 cm, . Tính các cạnh của hình chữ nhật ABCD. Câu 44: Xác định hệ số a sao cho: a) 27x2 + a chia hết cho 3x + 2 b) 3x2 + ax + 27 chia hết cho x + 5 cĩ số dư bằng 2 Câu45: Cho 3 số a, b, c thỏa mãn abc = 1999 Rút gọn biểu thức: Câu 46: (7,5 điểm) Cho tam giác ABC, O là giao điểm của các đường trung tực trong tam giác, H là trực tâm của tam giác. Gọi P, R, M theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, AC, BC. Gọi Q là trung điểm đoạn thẳng AH. Xác định dạng của tứ giác OPQR? Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì để OPQR là hình thoi? Chứng minh AQ = OM. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh H, G, O thẳng hàng. Vẽ ra ngồi tam giác ABC các hình vuơng ABDE, ACFL. Gọi I là trung điểm của EL. Nếu diện tích tam giác ABC khơng đổi và BC cố định thì I di chuyển trên đường nào? Câu 3: Cho biểu thức: Tìm điều kiện để P xác định. Rút gọn P. Tính giá trị của P biết a3 - a2 + 2 = 0 Câu 1: Cho a + b = 1. Tính giá trị biểu thức: M = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2) Câu 48: Phân tích thành nhân tử: a, a3 + b3 + c3 – 3abc b, (x-y)3 +(y-z)3 + (z-x)3 Câu 49 Cho A = : a, Rút gọn A b, Tìm A khi x= - c, Tìm x để 2A = 1