Đề thi học sinh giỏi môn Toán 9 - Năm học 2012-2013 - Lâm Thanh Tuấn

PHềNG GD&ĐT ĐẠI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012-2013 LỘC MễN : TOÁN 9 ========== Thời gian: 150 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề) ---------------------------------------------- Họ và tờn GV ra đề: Lõm Thanh Tuấn ĐỀ ĐỀ NGHỊ Đơn vị: Trường THCS Lờ Lợi Cõu 1: (2,0 điểm): a) Chứng minh rằng với n là số tự nhiờn lẻ thỡ n3 + 3n2 - n - 3 chia hết cho 48. b) Tỡm nghiệm nguyờn dương của phương trỡnh: 5x 7 y 112 Cõu 2: (5,0 điểm) a) Rút gọn các biểu thức sau : (Khụng sử dụng mỏy tớnh bỏ tỳi) 1 1 1 1 1 A = + + ..... + + 1 5 5 9 9 13 2005 2009 2009 2013 B = x3 - 3x + 2006 với x = 3 3 2 2 + 3 3 2 2 b) Phõn tớch đa thức thành nhõn tử: M = xy(x - 2)(y + 6) + 12x2 - 24x + 3y2 + 18y + 36. Cõu 3: (5,0 điểm) a) Giải phương trỡnh sau: 3x2 + 4x + 10 = 2 14x2 7 x 3 x 1 1 b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: N = ;(x 1) x 4 x 1 2 c) Cho x, y, z dương thoả mãn: x + y + z = 1. Chứng minh: x y y z z x 6 Cõu 4: (4,5 điểm) Cho hỡnh thang vuụng ABCD (AB//CD, Â = 900) đường cao BH. Điểm M thuộc đoạn HC. Từ D kẻ đường thẳng vuụng với BM, đường thẳng này cắt BH và BM theo thứ tự ở E và F. a) Chứng minh bốn điểm B, F, H, D cựng nằm trờn một đường trũn và EB.EH = ED.EF. b) Cho AB = 10 cm, BM = 13 cm, DM = 15 cm.Tớnh độ dài của cỏc đoạn thẳng AD, DF và BF (làm trũn đến chữ số thập phõn thứ hai). c) Khi M di chuyển trờn đoạn HC thỡ F di chuyển trờn đường nào? Cõu 5: ( 3,5 điểm) Cho hình thoi ABCD cạnh a, gọi R và r lần lượt là các bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD và ABC. 1 1 4 a) Chứng minh : R2 r 2 a 2 8R3 r 3 b) Chứng minh : S ; ( Kí hiệu S là diện tích tứ giác ABCD ) ABCD ()R2 r 2 2 ABCD ===================== Hết ====================