Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Trường THCS TT Cù Lao Dung

PHÒNG GD – ĐT SÓC TRĂNG ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS TT CÙ LAO DUNG NĂM HỌC : 2010-2011 Môn : Toán - Lớp 9 Thời gian làm bài : 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Bài 1: ( 3 điểm) Tìm x để biểu thức A = có giá trị lớn nhất . Bài 2: ( 3 điểm) Giải hệ phương trình : Bài 3: ( 5 điểm) a) Xác định a để các đường thẳng sau đây đồng qui: 2x – y + 3 = 0 ; x + y + 3 = 0; ax – y – 1 = 0. b) Xác định m để hai đường thẳng sau đây cắt nhau tại một điểm trên trục hoành. (m – 1)x + my – 5 = 0; mx + (2m – 1)y + 7 = 0 c) Xác định điểm trên trục hoành nói ở câu trên. Bài 4: ( 3 điểm) Cho x, y, z là các số nguyên khác 0. Chứng minh rằng : Nếu a = x2 - yz , b = y2- xz , c = z2 - xy thì tổng ax + by + cz chia hết cho tổng a + b + c . Bài 5: ( 6 điểm) Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AC, E là chân đường phân giác của góc M của tam giác ABM. D là chân đường phân giác góc M của tam giác MBC. a/ Chứng minh ED // AC. b/ Kẻ MH ED. Chứng minh MH2 = HE.HD c/ Biết và AC = 9cm, MH = 2cm. Tính chu vi của tam giác MED Duyệt của BGH Người ra đề ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM: Bài Néi dung §iÓm 1 A = = Để A lớn nhất thì (x-+3 nhỏ nhất (x-+3 nhỏ nhất khi (x-= 0 = Khi đó : A = 1,0 1,0 1,0 2 + x = 0,y =0 là nghiệm của hệ. + Nếu x , y chia cả hai vế cho xy ta được: Giải hệ ta được : x = , y = Vậy nghiệm của hệ pt đã cho là: ( 0;0) ; ( ; ) 1,0 1,0 1,0 3 a) Xác định a để các đường thẳng sau đây đồng qui: 2x – y + 3 = 0 ; x + y + 3 = 0; ax – y – 1 = 0. Viết lại phương trình của hai đường thẳng 2x – y + 3 = 0 ; x + y + 3 = 0 như sau: y = 2x + 3; và y = -x – 3. Giao điểm của hai đường thẳng này có hoành độ là nghiệm của phương trình 2x + 3 = -x -3. Từ đó, giao điểm là M(-2; -1 ). Để ba đường thẳng đồng qui, tọa độ M phải thõa mãn phương trình đường thẳng thứ ba, tức phải có: a(-2) +1 -1 = 0 a = 0. b) Xác định m để hai đường thẳng sau đây cắt nhau tại một điểm trên trục hoành. (m – 1)x + my – 5 = 0; mx + (2m – 1)y + 7 = 0 Điểm nằm trên trục hoành thì có tung độ bằng 0. Do đó, muốn hai đường thẳng (m – 1)x + my – 5=0 và mx + (2m – 1)y + 7 = 0 có giao điểm nằm trên trục hoành thì ta có: (m – 1)x + m.0 -5 = 0 và mx +(2m – 1).0 + 7 = 0 hay: (m – 1)x – 5 = 0 và mx + 7 = 0. Theo định nghĩa hàm số bậc nhất, ta phải có m – 1 0 và m 0. Từ mx + 7 = 0 ta có . Thay vào phương trình (m – 1)x – 5 = 0 mx – x – 5 = 0 m- - 5 = 0 m = c)Xác định điểm trên trục hoành nói ở câu b. Thay m = vào phương trình thứ` hai ta được Từ đó ta có x = -12. Dễ dàng kiểm tra được x = -12 cũng thõa mãn phưuơng trình (m – 1)x + my – 5 = 0. Vậy hai đường thẳng đã cho cùng cắt trục hoành tại điểm có tọa độ (0; -12) 2,0 2,0 1,0 4 Ta cã: ax + by + cz = x3 - xyz + y3 - xyz + z3 - xyz = x3 + y3 + z3 - 3xyz = ( x+ y+ z)( x2 + y2 + z2-xy -xz -yz ) Mà a + b + c = x2 + y2 + z2-xy -xz -yz Vậy ax + by + cz chia hết cho a + b + c 1,0 1,0 1,0 5 Vẽ hình ( 0,5đ) a/ Chứng minh ED //AC. Trong tam giác ABM có EM là đường phân giác ( gt) ( T/c đường pg trong của tam giác ) Trong tam giác BMC có DM là đường phân giác ( gt) ( T/c đường pg trong của tam giác ) ED //AC (áp dụng định lý Talet đảo trong tam giác ABC ) b/ Chứng minh MH2 = HE.HD Ta có ME và MD là 2 tia phân giác của 2 góc kề bù EM MD ( T/c phân giác 2góc kề bù ) tam giác MDE là tam giác vuông tại M. MH2 = HE.HD c/ Tính chu vi của tam giác MED. Trong tam giác ABC có ED //AC ( cmt ) suy ra (theo h q đ/l Ta let ) Ta lại có c/m được ME2 + MD2 = MH2 = 2ME.MD = 2.MH2 = 2. suy ra ( ME + MD)2= nên ME + MD + ED =12 Vậy chu vi của tam giác MDE là 12cm 0.5 2.0 1.5 2,0