Đề thi chọn học sinh giỏi Lớp 6 môn Toán - Năm học 2012-2013

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6 Năm học 2012 - 2013 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Đề này gồm có 04 câu, 01 trang) Câu I: (6,0 điểm). Tìm x biết: a) b) c) x = d) Câu II: (8,0 điểm). 1. Cho S = 21 + 22 + 23 + ... + 2100 a) Chứng minh rằng S 15 b) Tìm chữ số tận cùng của S. c) Tính tổng S. 2. Tổng của n số tự nhiên lẻ đầu tiên có phải là một số chính phương không? Tại sao? 3. Chứng minh rằng: a) b) Câu III: (3,0 điểm). Một ô tô đi từ A lúc 8h. Đến 9h một ô tô khác cùng đi từ A. Xe thứ nhất đến B lúc 2h chiều. Xe thứ hai đến xớm hơn xe thứ nhất nửa giờ. Hỏi xe thứ hai đuổi kịp xe thứ nhất ở cách A bao nhiêu km nếu vận tốc của nó lớn hơn vận tốc của xe thứ nhất là 20km/h. Câu IV: (3,0 điểm). 1. Cho A = So sánh A với 0,01. 2. Chứng minh rằng: , với " n Î N. ---------- Hết --------- Câu Đáp án Điểm Câu I: (6,0 điểm) a) 1,5 điểm x = x = x = 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ b) (1,5 điểm) = -12 + 17 = 5 3x + 1 = 5 hoặc 3x + 1 = - 5 3x = 4 3x = - 6 x = x = - 2 Vậy x = ; x = - 2 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ c) (1,5 điểm) = = = 0,5đ 0,5đ 0,5đ d) (1,5 điểm) Vì = = Nên ta có 20 - [ 2,04 : (x + 1,05)] : 0,12 = 19 [ 2,04 : (x + 1,05)] : 0,12 = 20 - 19 [2,04 : (x + 1,05)] : 0,12 = 1 2,04 : (x + 1,05) = 1 . 0,12 x + 1,05 = 2,04 : 0,12 x + 1,05 = 17 x = 17 - 1,05 x = 15,95 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Câu II: (8 điểm) 1. (3,0 điểm) a) (1,25 điểm) S = 21 + 22 + 23 + ... + 2100 Tổng trên gồm 100 số hạng được chia thành 4 nhóm, mỗi nhóm có 4 số hạng ta có: S = (21 + 22 + 23 + 24) + (25 + 26 + 27 + 28) + ... + (297 + 298 + 299 + 2100) = 2 (1 + 2 + 22 + 23) + 25 (1 + 2 + 22 + 23) + ... + 297 (1 + 2 + 22 + 23) = 2 . 15 + 25 . 15 + ... + 297 . 15 = 15 (2 + 25 + ... + 297) 15 (ĐPCM) 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ b) (0,75 điểm) Vì S 15 Þ S 5 (1) Lại có tất cả các số hạng của S đều chia hết cho 2 nên S 2 (2) Từ (1) và (2) Þ S 10 hay S có chữ số tận cùng là 0. 0,25đ 0,25đ 0,25đ c) (1,0 điểm) 2S - S = 2 (21 + 22 + 23 + ... + 2100) - (21 + 22 + 23 + ... + 2100) S = (22 + 23 + 24 + ... + 2101) - (21 + 22 + 23 + ... + 2100) hay S = 2101 - 2 0,5đ 0,25đ 0,25đ 2. (2,0 điểm) Gọi số tự nhiên lẻ thứ n kể từ số đầu tiên là x Ta có: (x - 1) : 2 + 1 = n Þ (x - 1) : 2 = n - 1 Þ x - 1 = (n - 1). 2 Þ x - 1 = 2n - 2 Þ x = 2n - 2 + 1 Þ x = 2n - 1 Nên n số tự nhiên lẻ đầu tiên là 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; ... ; 2n - 1 Ta có tổng n số tự nhiên lẻ đầu tiên là: 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = (2n - 1 + 1) . n : 2 = 2n . n : 2 = n2 là một số chính phương. Vậy tổng của n số tự nhiên lẻ đầu tiên là một số chính phương. 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,75đ 0,25đ 3. (3,0 điểm) a) (1,5 điểm) Ta có 1 - = 1 + = = = (ĐPCM) 0,5đ 0,5đ 0,5đ b) (1,5 điểm) Ta có: 1 . 3 . 5 ..... 99 = = = = = (ĐPCM) 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Câu III: (3 điểm) Thời gian xe thứ nhất đi hết quãng đường AB là :14h - 8h = 6h. Thời gian xe thứ hai đi hết quãng đường AB là : (14h - 0,5h) - 9h = 4,5h = Một giờ xe thứ nhất đi được : (quãng đường AB). Một giờ xe thứ hai đi được : (quãng đường AB). Phân số chỉ 20km là : - = (quãng đường AB) Vậy quãng đường AB dài : 20 : = 360 (km) Vận tốc xe thứ nhất là : 360 . = 60 (km/h) Khi hai xe cùng bắt đầu đi chúng cách nhau 60km (vì xe thứ nhất đi trước xe thứ hai 1 giờ). Do đó, chúng gặp nhau (kể từ khi xe thứ hai đi) sau: 60 : 20 = 3 (h) Nơi gặp nhau cách A là: 60 + 60 . 2 = 240 km. 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ Câu IV: (3 điểm) 1. (1,5 điểm) A = Đặt B = Vì Nên A 0 ; B > 0 Þ A2 < A . B = = = Þ A2 < (0,01)2 Hay A < 0,01 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 2. (1,5 điểm) Ta có: 1 + 2 + 3 + ... + n = Vì n Î N Þ n . (n + 1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chỉ có thể có các tận cùng là: 0; 2 ; 6 Þ không bao giờ có tận cùng là 7. Þ không bao giờ có tận cùng là 0. Þ 10, với " n Î N (ĐPCM) 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ * Lưu ý: - Mọi cách làm khác đúng vẫn cho điểm tối đa. - Tùy theo bài làm của học sinh, giám khảo có thể chia nhỏ biểu điểm. ---------- Hết ---------- Người ra hướng dẫn chấm Tổ trưởng chuyên môn Hiệu trưởng