Đề tài Ứng dụng của phương pháp biến thiên hằng số và định lý lagrange và điều kiện cần và đủ trong giải phương trình

ợc x. Sau đĩ kết luận bài tốn. ¶Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để phương trình cĩ nghiệm .Với Df là tập xác định của f(x) Đối với dạng này ta sử dụng điều kiện cần là phương trình luơn cĩ nghiệm với mọi Í Df .Do đĩ chọn được giá trị thích hợp thế vào phương trình tìm m.Thử lại dựa vào điều kiện đủ,thay m giải phương trình tìm x. Kết luận : Nếu ∃thì chọn m.Hoặc nếu ∀xÏD thì m loại. * Ví dụ1: [2] Tìm m để pt sau cĩ nghiệm "x ≥ 0: (3) Giải: Điều kiện cần : Giả sử pt(3) cĩ nghiệm "x ≥ 0 => x = 0 là nghiệm của (3). (2) Û Û m=3 Điều kiện đủ : Với m = 3 thì (3) trở thành Û x +1 = x +1 (x ≥ 0) Û 0 = 0 luơn đúng Vậy với m = 3 thì pt nghiệm đúng "x ≥ 0 * Ví dụ 2: [3] Tìm a,b để pt sau nghiệm đúng "x : (4) Giải: Điều kiện cần: Giả sử (4) cĩ nghiệm "x Ûx = 0 là nghiệm của (4). Khi đĩ (4) Û a – 1 = 0 Û a = 1 Với a = 1 (2) Û Û x2 +1 = x2 + bx + 1 Û b = 0 Suy ra a = 1 và b = 0 Với a =1 , b = 0 khi đĩ pt (4) cĩ dạng Û 0 = 0 đúng Vậy a = 1 và b = 0 phương trình nghiệm đúng "x @ Nhận xét: Qua 2 ví dụ trên,với những bài tốn tìm điều kiện của một hay nhiều tham số sẽ thực hiện theo tuần tự: Chọn nghiệm xo thuộc (a,b) sao cho việc tính giá trị của tham số diễn ra một cách đơn giản (nếu 0 thuộc (a,b) thì nên chọn xo = 0 ) - Thay xo vào pt tìm giá trị của tham số thứ nhất - Thay giá trị tham số thứ nhất vào pt tìm giá trị tham số tiếp theo - Thay giá trị của các tham số vào pt rồi giải pt khơng cĩ tham số tìm khoảng nghiệm của x rồi kết luận. * Ví dụ 3:[1] Tìm m để phương trình sau nghiệm đúng ∀x > 0 : Giải: Điều kiện cần : Giả sử (1) cĩ nghiệm ∀x > 0 ⇒ x =1 là nghiệm của phương trình Khi đĩ : (1) Û 8m +1 = 1 Û m=0 Điều kiện đủ: Với m = 0 , khi đĩ (1) cĩ dạng : Û x = x luơn đúng . Vậy với m = 0 phương trình nghiệm đúng ∀x>0 * Ví dụ 4: [3] Tìm m để phương trình sau nghiệm đúng với mọi (1) Giải : Điều kiện Để phương trình (1) nghiệm đúng ta phải cĩ Biến đổi phương trình (1) về dạng : (2) Điều kiện cần: Phương trình (1) nghiệm đúng là nghiệm của (2) Tức là: Do đĩ là điều kiện cần để thõa yêu cầu của bài tốn. Đều kiện đủ: Với ta cĩ : Vậy với phương trình đã cho nghiệm đúng @ Nhận xét : Bài tốn này cĩ thể phát biểu dưới dạng “Tìm m để phương trình tương đương với bất phương trình , trong đĩ nghiệm của bất phương trình là . ¶Bài tập đề nghị: Bài 1: Tìm m để phương trình nghiệm đúng ∀x∈: Bài 2: Cho phương trình : a)Giải phương trình với m=0. b)Tìm các giá trị của x nghiệm đúng phương trình trên với . Bài 3: Cho phương trình : Tìm các giá trị của x nghiệm đúng phương trình trên với . Bài 4: Cho phương trình : Tìm các giá trị của x nghiệm đúng phương trình trên với . Bài 5: Tìm m để phương trình sau cĩ nghiệm đúng ∀x > 0 Bài 6: Tìm m để phương trình nghiệm đúng ∀x ≥1: ¶Dạng 3: Tìm m để phương trình f(x)=0 tương đương với một bất phương trình nào đĩ. Phương pháp : Để giải đươc dạng này ta thực hiện hai bước sau : Bước 1: Giải bất phương trình tìm khoảng nghiệm K của bất phương trình. Bước 2: Bài tốn đã cho được qui về “Tìm m để phương trình đã cho nghiệm đúng . *Ví dụ1:[2] Cho 2 phương trình (x + 5) (2 –x) = 3m (1) x4 + 6x3 – 9x2 –16 = 0 (2) Tìm m để 2 pt tương đương Giải : Giải pt (2) (2) Û (x2+3x)2 – 16 =0 Û (x –1)(x +4)(x2 + 3x + 4 ) = 0 Điều kiện cần : Giả sử (1) và (2) tương đương Suy ra x = 1 là nghiệm của pt (1) Û 6 = 3m Û m=1 Vậy m = 1 là điều kiện cần để (1) và (2) tương đương Điều kiện đủ : Với m = 1 khi đĩ (1) cĩ dạng -x2 – 3x + 10 = 3 (3) Đặt t = t ≥ 0 Khi đĩ (3) Ût2 + 3t – 10 = 0 Û = 2 Û x2 + 3x = 4 ⇒ (1) tương đương (2) Vậy m=1 thì (1) tương đương với (2) @ Nhận xét: Đối với bài tốn tìm m để 2 phương trình f(x,m) =0; g(x)=0 tương đương thì ta giải theo trình tự sau Giải tìm tập nghiệm S2 của phương trình (2) Khi đĩ bài tốn quy về tìm m dể phương trình f(x,m)=0 nhận S2 làm tập nghiệm Từ ví dụ 3 và 4 ta nhận thấy đối với phương trình chứa căn thức cĩ tồn những phương trình mà tập nghiệm là một khoảng,do đĩ 1 phương trình chứa căn thức cĩ thể tương đương với một bất phương trình, (hoặc cĩ thể được phát biểu dưới dạng nghiệm đúng với mọi x Ỵ D). Ta xét ví dụ sau : *Ví dụ 2 :[3] Tìm m để (1) và (2) tương đương: + = 2 (1) (2) Giải: Điều kiện cần: (2) Û(x2 + 3x +2)2 ≤ (x2 +2x +5)2 Û(x-3)(2x2 +5x +7)≤ 0Û x≤ 3 Điều kiện cần: giả sử (1) và (2) tương đương x =3 là nghiệm của (1). Û + =2 Û =0 Û m = 1 Điều kiện đủ: Với mọi m = 1, phương trình cĩ dạng: Û Û Û Tức là (1) và (2) tương đương. Ta thấy trong phương trình (1) tham số m cĩ tính đối xứng nên m = -1 thoả mãn điều kiện bài tốn. Vậy m = ±1 thi (1) và (2) tương đương. @ Nhận xét: Với những bài tốn tìn điều kiện tham số m để phương trình cĩ nghiệm ∀x ∈ D ta cĩ thể viết thành bài tốn khác. -Tìm m để phương trình đã cho tương đương với bất phương trình nào đĩ, trong đĩ bất phương trình cĩ nghiệm là ∀x ∈ D * Xét ví dụ: [3] Tìm a,b để phương trình cĩ đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc [0,2). Giải : Đặt t = 2sinx , điều kiện , Khi đĩ phương trình (1) cĩ dạng : (2) Để (1) cĩ đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc [0,2) khi và chỉ khi (2) cĩ nghiệm duy nhất thuộc [-2,2]. @ Nhận xét : Bài tốn đã cho được qui về dạng tổng quát ở ví dụ trên. Trong bài tốn này nếu ta dùng phương pháp đồ thị để giải thì chúng ta phải chia khoảng ra để xét,hơi phức tạp.Đặc biệt nếu tham số là một biểu thức cĩ bậc cao thì sẻ găp khĩ khăn trong việc vẽ đồ thị cuar hàm y = f(m). Mặc khác nếu ta dùng phương pháp đơn điệu của hàm số thì ta gặp khĩ khăn trong việc tính đạo hàm. Chính vì vậy,mà phương pháp điều kiện cần và đủ tỏ ra rất hiệu quả khi giải quyết được lớp bài tốn này. Nhưng phương pháp này vẫn cịn hạn chế khi ta đi tìm nghiệm duy nhất yo=f(xo,m).Và phương pháp này chỉ giải quyết được một lớp bài tốn. Mở rộng : Nảy sinh ra bài tốn “Tìm điều kiện của a,b,c để phương trình cĩ nghiệm thuộc K”. Dùng phương pháp đặt ẩn phụ : f(x) = t , khi đĩ phương trình đã cho được qui về ; từ điều kiện của bài tốn đã cho được chuyển về tìm điều kiện của ẩn t. *Ví dụ 3 :[4] Tìm m để phương trình sau tương đương: (1) ∣m - 4∣.2x-2 + m.4x-1 = 1 (2) Giải: Giải (1), đặt ta được nghiệm : x = 0. ⇒Để 2 phương trình tương đương bài tốn quy về tìm điều kiện của m để phương trình (2) cĩ nghiệm duy nhất x = 0. Điều kiện cần: Giả sử (2) cĩ nghiệm x = 0: ∣m - 4∣2-2 + m4-1 =1 ⇔ ∣m - 4∣ + m = 4 ⇔ ∣m - 4∣ = 4 – m ⇔m – 4 ≤ 0⇔ m ≤ 4 Điều kiện đủ: Với ≤ 4 Đặt t = 2x, t > 0 khi đĩ (2) cĩ dạng (4 - m)t +mt2 = 4 ⇔ mt2 + (4 – m)t - 4 = 0 (3) Với m = 0 ,(3) ⇔ t =1 ⇔ 2x = 1 ⇔ x = 0 Vậy m = 0 thì (1) và (2) tương đương. Với 0 ≠ m ≤ 4 .khi đĩ (3) Do đĩ để (1) Û (2) thì : Vì 0≠m ≤ 4 . Suy ra Vậy với 0 ≤ m ≤ 4 hoặc m = – 4 thì (1) và (2) tương đương ¶ Bài tập đề nghị : Tìm m để phương trình cĩ nghiệm : 2) Tìm m để phương trình sau cĩ nghiệm : 3) Tìm m để 2 phương trình sau tương đương: 4x+1 + 2x+4 = 2x+2 + 16 và ∣m-9∣ 3x-2 + m9x-1 = 1. ¶Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để pt cĩ với mọi giá trị của tham số. Đối với dạng này phương trình cĩ chứa 2 tham số.Chọn giá trị đặc biệt(giá trị mà làm cho phương trình đơn giản) của một số thay vào phương trình.Khi đĩ phương trình trở về các dạng trên.Ở đây chúng tơi khơng đi sâu về dạng này vì khơng phục vụcho chương sau. Chương III SỰ KẾT HỢP GIỮA PHƯƠNG PHÁP BIẾN THIÊN HẰNG SỐ VỚI ĐỊNH LÝ LAGRANGE VÀ ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ¶Dạng 1: (1). Trong đĩ hoặc k=1, h(x) xác định và liên tục trên đoạn [a,b] Cách giải: (1) *Điều kiện cần : Xét hàm số : Từ (1) ta cĩ f(a)=f(b) (2) Lấy đạo hàm của hàm f(t) trên (a,b) ta được : . Theo định lý lagrange, Û (3) *Điều kiện đủ: Thay các giá trị ở (3) vào (1) để chọn nghiệm. Chú ý: Xét các trường hợp của k. *Ví dụ1 : Giải phương trình sau (1) Giải: Giả sử là nghiệm của phương trình (1),Tức là (2) Xét hàm số .Đk: Từ (2) ta cĩ f(7)=f(2) .Tính .Theo định lý lagrange, sao cho Thử lại ta thấy cả hai nghiệm trên đều thỏa phương trình . Vậy x=1 và x=3 là nghiệm . ¶ Dạng 2: (1) trong đĩ 00, b>a, h(x) xác định liên tục trên a;b Cách giải: (1) (2) *Điều kiện cần: Xét hàm số trên [a,b]. Từ (2) Û f(a)=f(b) Û f(a) –f(b)=0 Ta cĩ Theo định lý Lagrange, *Điều kiện đủ: Thử lại nghiệm . *Ví dụ 1: [4] Giải phương trình : (1) Giải: Giả sử là nghiệm của (1).Khi đĩ (2) Xét hàm số . Từ (2) ta cĩ f(5)=f(4) Vì hàm f(t) liên tục trên R nên f(t) liên tục trên [4,5] cĩ đạo hàm trên (4,5). Ta cĩ .Theo định lý lagrange sao cho Thay x=1 và x=5 vào phương trình (1) thỏa mãn Kết luận: x=1 và x=5 là nghiệm của phương trình. ¶ Dạng 3: , trong đĩ b+d=a, 00, h(x) xác định và liên tục trên đoạn [a,b] giải tương tự dạng 2. ¶ Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau: 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ Tài liệu tham khảo 1)Lê Hồng Đức(chủ biên),Lê Bích Ngọc,Lê Hữu Trí,Phương pháp giải tốn đại số,NXB Hà Nội năm 2000. 2)Lê Hồng Đức(chủ biên), Phương pháp giải tốn đại số(phương trình-bất phương trình & hệ chứa giá trị tuyệt đối),NXB Đại học sư phạm 2004. 3)Trần Phương(chủ biên),Lê Hồng Đức, Phương pháp giải tốn đại số(phương trình và bất phương trình),NXB Hà Nội 2002. 4)WWW.violet.com.vn MỤC LỤC Lời nĩi đầu Trang 1 Chương I: Phương pháp biến thiên hăng số............ 2 Chương II: Phương pháp điều kiện cần và đủ.............13 Phương pháp chung 13 Các dạng tốn..13 Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình cĩ nghiệm duy nhất ..13 Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để phương trình cĩ nghiệm .Với Df là tập xác định của f(x)20 Dạng 3:Tìm m để phương trình f(x)=0 tương đương với một bất phương trình nào đĩ..25 Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để pt cĩ với mọi giá trị của tham số...30 Chương III: Sự kết hợp giữa phương pháp biến thiên hằng số với định lý lagrange ; điều kiện cần và đủ.....31 Dạng 1:.....31 Dạng 2:..32 Dạng 3:...33 Kết luận ...34