Đề tài Nhận dạng tam giác

1) CMR D ABC đều Đặt Û Khi đó (1) Û Û Û Û z = y = x Û 2x = 2y = 2z Û a = b =c Vậy D ABC đều. LOẠI II: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC - Từ điều kiện của bài toán (thường là các hệ thức, các bất đẳng thức)sử dụng các phép biến đổi lượng giác để dẫn đến một bất đẳng thức đơn giản, có thể đánh giá được điều kiện dấu bằng xảy ra. - Thiết lập một hệ phương trình xác định mối quan hệ giữa các góc, các cạnh của tam giác, qua đó nhận dạng được tam giác. Ví dụ 1: Cho D ABC thỏa điều kiện cosAcosBcosC = (*) Chứng minh DABC đều. Từ giả thiết suy ra DABC nhọn (cos A > 0, cos B > 0, cos C > 0) Ta có: cosA cosB = = Vậy 0 < cosA cosB Tương tự ta cũng có Suy ra cosA CosB = cos (A-B) = 1 Hay cosB cosC = cos (B-C) = 1 A = B = C cosC cosA = cos (C-A) = 1 Vậy DABC đều Ví dụ 2: Cho DABC thỏa đk Xác định dạng của DABC ? Từ điều kiện cosA Mặt khác sin2A + Sin2B =2sin(A+B)cos(A-B) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi hoặc SinA = SinB = SinC Vậy DABC vuông cân tại A hoặc đều. Hai ví dụ trên sử dụng các bđt lượng giác đơn giản của tam giác để nhận dạng tam giác đều. Ngoài các bđt trên ta còn có thể sử dụng các bđt cơ bản trong đại số như bđt Cosi, bđt Bunhiacopxki, Jesen,..để nhận dạng tam giác. Nhận dạng tam giác đều bằng cách sử dụng BĐT Cosi Ví dụ 3: CMR DABC đều nếu Xét DABC tù Giả sử A > thì C Vậy tgC và 0 Vậy Xét trường hợp DABC nhọn. Áp dụng bđt Cosi ta có Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Tương tự Dấu “=” xảy ra Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Suy ra hay Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi DABC đều. Xét ví dụ 1: Phần I,2. Ta có thể chứng minh bằng cách sử dụng bất đẳng thức Cosi Ta có Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta được Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi DABC đều. Ví dụ 2: Cho DABC, thoả (1) CMR DABC đều khi dấu ”=” xảy ra. Ta có (1). Ta chỉ cần xét khi VT(1) . Khi đó dễ chứng minh được cả 3 thừa số của nó đều lớn hơn hoặc bằng không. Đặt x = 3a-b-c y = 3b-a-c z = 3c-a-b Khi đó a= b= c= (1) (2) Theo bất đẳng thức Cosi ta có 2x+y+z = x+x+y+z (3) x+2y+z (4) x+y+2z (5) Nhân từng vế (3),(4) và (5) đúng đpcm Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi đồng thời có dấu “=” trong (3),(4) và (5) tức Vậy ABC đều. Ví dụ 3: Cho DABC thỏa (1) CMR DABC đều. Theo định lí hàm số Sin ta có acosA + bcosB + ccosC = R (sin2A+sin2B+sin2C) = 4Rsin2Asin2Bsin2C. (2) Theo bất đẳng thức Cosi, ta có acosA + bcosB + ccosC (3) asinA + bsinB + csinC Do vậy từ (2) và (3) suy ra (4) Dấu “=” trong (4) xảy ra khi và chỉ khi dấu “=” trong (3) xảy ra. Khi đo ù aSinA = bSinB = cSinC Sin2A = Sin2B = Sin2C SinA = SinB = SinC A = B = C. Lại theo bất đẳng thức Côsi ta có (5) Dấu “=” trong (5) xảy ra khi và chỉ khi A = B = C. Từ (5) và (6) suy ra = Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki nhận dạng tam giác đều Ví dụ 4: Cho DABC thoả tg6+ tg6+ tg6= CMR DABC đều. Ta có tg6+ tg6+ tg6 tg3tg3+ tg3tg3+ tg3tg3 Dấu “=” trong (1) xảy ra khi và chỉ khi tg3 = tg3= tg3A = B = C. Đặt x = tgtg, y = tgtg, z = tgtg thì x+y+z=1. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có (x+y+z)(x3+y3+z3) (x2+y2+z2) Dấu “=” trong (2) xảy ra khi và chỉ khi x = y = z A = B + C. Ví dụ 5: Cho DABC thoả 2(la + lb + lc) =(a + b + c) CMR DABC đều. Áp dụng công thức = Áp dụng bất đẳng thức Cosi suy ra (1) Dấu “=” trong (1) xảy ra b=c Tương tự ta có (2) (3) Dấu “=” trong (2) xảy ra a=c và trong (3) a=b Từ (1),(2) và (3) suy ra la + lb + lc (++) (4) Dấu “=” trong (4) xảy ra đồng thời có dấu “=” trong (1),(2) và (3) Vậy DABC đều. Aùp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với 2 dãy và 1, 1, 1,ta có Dấu “=” trong (5) xảy ra khi và chỉ khi p – a = p – b = p – c Vậy đều Từ (4) và (5) ta có Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi đồng thời có dấu “=” trong (4) và (5) tức đều. * Ví dụ 1, phần I, 2 có thể sử dụng BĐT Bunhiacopxki Ta có ha + hb + hc = 9r Þ Þ . Dùng bất đẳng thức Bunnhiacopxki, ta có 9 = Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Ví dụ 6: Cho D ABC thoả . CMR D ABC đều. Ta có (1) Dấu “=” trong (1) xảy ra khi và chỉ khi A=B=C. Đặt , , thì x+y+z=1. Aùp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với hai dãy và Ta có (x+y+z)(x3+y3+z3) ³ (x2+y2+z2) (2) Dấu “=” trong (2) xảy ra khi và chỉ khi x = y = z A=B=C Từ (1) và (2) suy ra Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi đồng thời có dấu bằng trong (1) và (2). Vậy D ABC đều Nhận dạng tam giác đều bằng cách sử dụng bđt Jensen Ví dụ 1: CMR D ABC thoả thì đều Xét hàm số f(x)= , với 0<x< Ta có f’(x) = Vậy f(x) là hàm lồi trên (0,). Khi đó Û³ 12 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi D ABC đều . Hoàn toàn tương tự ta có thể cm được các bất đẳng thức được thoả mãn thì D ABC đều Ví dụ2: Cho D ABC nhọn thoả mãn Chứng minh D ABC đều. Xét hàm số f(x) = tgx và g(x) = cotgx với Ta có f’’(x) = và Þ f’’(x)>0 và g’’(x)>0và g(x) là hàm lồi trên . Theo tính chất bất đẳng thức Jensen, ta có Û (1) Tương tự, ta có: (2) (3) Cộng trừ từng vế (1), (2) và (3) suy ra tgA + tgB + tgC (4) Dấu bằng xảy ra trong (4) khi và chỉ khi đẳng thức có dấu “=” trong (1), (2) và (3) suy ra A = B = C. Tương tự g(x) = cotgx là hàm lồi khi x Û cotgA + cotgB + cotgC (5) Dấu “=” trong (5) xảy ra khi và chỉ khi A = B = C Nhân từng vế của (4), (5). Suy ra đpcm. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi đẳng thức có dấu bằng trong (4) (5) tức D ABC đều. Nhận xét: Từ các bài toán nhận dạng trên ta có thể đưa ra những bài toán nhận dạng cho tam giác đều bằng cách từ những bất đẳng thức đại số có điều kiện (mà ta có thể đánh giá được điều kiện dấu bằng xảy ra) kết hợp với những yếu tố lượng giác, các yếu tố góc cạnh trong tam giác để đi đến một đẳng thức về tam giác. CHƯƠNG 4:NHẬN DẠNG TAM GIÁC KHÁC Tiếp theo chúng tôi xin trình bày một số bài toán liên quan đến giải tam giác có những tính chất khác. Ví dụ 1: Xác định các góc của D ABC nếu: (1) Cách 1: (1) (1’) Đặt t = t (0,1) (1’) = 0 Đặt = , t (0,1) Ta có: D’ = , " t (0,1). Cách 2: Ví dụ 2: (*) (*) xảy ra khi và chỉ khi Nếu cos(B-C) < 0 >900 hoặc C > 900 Do đó . Suy ra B = C Và Nhận xét: Từ cách giải hai ví dụ này ta thấy việc nhận xét là cực kì quan trọng. Nhờ nhận xét này mà ta giải được bài toán. Ví dụ 3: Cho D ABC thoả b(a2-b2) = c(c2-a2). Nhận dạng tam giác này. Ta có Bài này ta cũng có thể biến đổi như sau: . Nhận xét: Qua những ví dụ trên ta thấy việc giải một bài toán nhận dạng tam giác cần chú ý các điểm sau: + Cần phân biệt một bài toán nhận dạng và một bài toán chứng minh. (Tức là phải tìm tất cả các tính chất của tam giác) + Khi giải bài toán nhận dạng thường hay dùng các phép biến đổi tương đương về dạng phương trình tích hoặc tổng của những số hạng (không âm hoặc không dương) để đánh giá. Một số bài tập đề nghị: Bài 1: Tam giác ABC có đẳc điểm gì nếu: sin6A + sin6B + sin6C = 0 HD: Dùng phép biến đổi tương đương chuyển về phương trình tích Bài 2: Nhận danïg tam giác ABC nếu thoả (2) HD: (2) Sau đó chuyển về dạng: Þ D ABC có ít nhất một góc bằng 600 Trong trường hợp vế phải của (2) thay bằng thì kết quả như thế nào? Bài 3: Cho tam giác ABC có các cạnh thoả: , , , . Hãy nhận dạng tam giác ABC. HD: Xét điều kiện của x để tồn tại tam giác Bài 4: Nhận dạng tam giác ABC biết: sin5A + sin5B + sin5C = 0 HD: Ta biến đổi tương đương đẳng thức trên về dạng: Ta có thể khái quát: Nhận dạng tam giác ABC nếu thoả sin(mA) + sin(mB)+ sin(mC) = 0 sin(mA) + sin(mB) + sin(mC) = 0 Bài 5: Cho tam giác ABC thoả mãn điều kiện: (1) (2) Chứng minh D ABC có ít nhất 1 góc bằng 360. HD: (1) Giả sử Þ A=36 hoặc A= 1080 Từ (2) cosA; cosB; cosC <0 (Vô lý) cosA, cosB, cosC có ít nhất một phần tử 0) Để thoả mãn (1) và (2) thì A=360 KẾT LUẬN Trong khuôn khổ đề tài này chúng ta đã làm được: 1. Tổng hợp một số bài toán liên quan đến nhận dạng tam giác. 2. Sau mỗi lần bài toán, chúng tôi rút ra những nhận xét, những lưu ý của bài toán và mở rộng bài toán. 3. Sau mỗi chương chúng tôi nêu ra những phương pháp để thiết lập bài toán nhận dạng tam giác để các bạn tham khảo. Chúng tôi hy vọng tiểu luận này sẽ là tài liệu tham khảo cho những người dạy và học môn lượng giác nói chung và nhận dạng tam giác nói riêng. Rất mong nhận được sự góp ý của bạn đọc. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Đậu Thế Cấp (chủ biên):Toán nâng cao lượng giác, NXB Đại học Quốc Gia TP.HCM. 2. Nguyễn Đức Đồng – Nguyễn Văn Vĩnh: 23 phương pháp chuyên đề bất đẳng thức và toán cực trị lượng giác, NXB trẻ. 3. Võ Giang Giai: Chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác, NXB Đại học Quốc Gia TP.HCM. 4. Phan Huy Khải – Nguyễn Đạo Phương: Các phương pháp giải toán sơ cấp lượng giác, NXB Hà Nội – 2000. 5. Phan Huy Khải: 10000 bài toán sơ cấp bất đẳng thức kinh điển, NXB Hà Nội – 1998. 6. Trương Quang Linh:140 bài toán hệ thức lượng trong tam giác. 7.103 trigonometry problems. 8.Tạp chí toán học và tuổi trẻ. 9.Các trang web: -www.Thuvienbachkim.vn -www.violet.vn -www.math@.vn