Đề tài Một số vấn đề chú ý khi dạy học chương hàm số bậc nhất và bậc hai trong đại số 10

ng. Với cách cho bằng công thức, hàm số bậc nhất trên từng khoảng thường được biểu diễn bởi cách cho nhiều công thức hay sử dụng giá trị tuyệt đối. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số này cũng được “lắp ghép” từ sự biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số bậc nhất trên từng khoảng. Ví dụ: Vẽ đồ thị của hàm số: . Ta chia tập xác đinh R của hàm số thành các tập , và để phá các dấu giá trị tuyệt đối. Khi đó Từ đồ thị các hàm số bậc nhất trên các tập tương ứng ta có được đồ thị của hàm số đã cho. Chúng ta cũng có thể biến đổi một chút để có ví dụ thú vị hơn như sau: Ví dụ: Vẽ đồ thị của hàm số . Tập xác định của hàm số là R\. Chia tập xác định ra thành các tập con ta được . Đồ thị hàm số như hình vẽ bên và chú ý là đồ thị này “gián đoạn” tại đểm có hành độ . 3. Một số ứng dụng của hàm số bậc nhất: a f(a) f(b) b Cho hàm số f(x) = ax + b và đoạn [a; b] Ì R. Khi đó, đồ thị của hàm số y = f(x) trên [a; b] là một đoạn thẳng với các đầu mút là và nên ta có một số tính chất: w f(x) = max{f(a); f(b}, w f(x) = min{f(a); f(b}, w . Chú ý là không có tính chất: . Ở đây cũng lưu ý thêm rằng nếu a = 0 thì các tính chất trên vẫn không thay đổi nên nhiều khi chúng ta không cần phải xét riêng trường hợp a = 0. Áp dụng các tính chất đơn giản này cho chúng ta cách giải nhiều bài toán một cách thú vị, ngắn gọn, hiệu quả. 1) Cho hàm số f(x) = (2m + 1)x - 3m + 2. a. Tìm m để phương trình f(x) = 0 có nghiệm x Î [0; 1]. b. Tìm m để f(x) ≥ 0 với mọi x Î [-1; 2]. Lời giải thông thường của bài toán này là phân chia các trường hợp để biện luận phương trình và bất phương trình bậc nhất. Ở đây ta xét cách giải sau: a. Ta có đồ thị hàm số y = f(x) trên [0; 1] là một đoạn thẳng AB với A(0; -3m + 2) và B(1; -m + 3) nên phương trình f(x) = 0 có nghiệm trên [0; 1] Û đoạn thẳng AB có điểm chung với trục hoành Û các điểm đầu mút A, B nằm về hai phía của Ox (có thể nằm trên Ox). Điều này có nghĩa là f(0). f(1) ≤ 0 Û (-3m + 2)(-m + 3) ≤ 0 Û . b. Vẫn sử dụng phương pháp đồ thị, f(x) ≥ 0 với mọi x Î [-1; 2] Û đồ thị của hàm số y = f(x) trên đoạn [-1; 2] nằm phía trên trục Ox Û hai đầu mút của đoạn thẳng đó đều nằm phía trên trục Ox Û Û Û . 2) Cho các số thực không âm x, y, z thoả mãn x + y + z = 3. Chứng minh bất đẳng thức: (1). Do x + y + z = 3 y + z = 3 – x nên ta viết bất đẳng thức (1) dưới dạng: (2) Đặt t = yz, khi đó vế trái của (2) là hàm số bậc nhất của biến t, . Do yz ≥ 0 và yz ≤ nên . Để chứng minh bất đẳng thức (2) ta sẽ chứng minh f(0) ≥ 0 và . Thật vậy, ta có f(0) = và = nên bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra . 4. Một số bài tập vận dụng Bài 1. a. Cho các số . Khảo sát sự biến thiên của hàm số . b. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau theo a: . Bài 2. Tìm m để với mọi giá trị Bài 3. Cho hàm số . Tìm m để giá trị lớn nhất của trên [1; 2] đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 4. Các số thực không âm thỏa mãn . Chứng minh rằng . Bài 5. Cho các số . Chứng minh rằng . IV. HÀM SỐ BẬC HAI VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN 1. Hàm số bậc hai Hàm số bậc hai là hàm số được cho bằng công thức có dạng trong đó a, b, c là các hằng số và . Hàm số bậc hai là một vấn đề quan trọng đối với học sinh lớp 10. Hàm số bậc hai là tài nguyên để giáo viên có thể giúp học sinh phát triển tư duy cũng như thực hành rèn luyện được các tính chất của hàm số và định hướng cho phương pháp ứng dụng hàm số về sau. Trong phần khảo sát các tính chất của hàm số bậc hai giáo viên phải làm rõ được các vấn đề cơ bản của việc khảo sát hàm số: tìm tập xác định, xét sự biến thiên, lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị thông qua một số điểm đặc biệt. Hàm số bậc hai có tập xác định là R. Sự biến thiên của hàm số phụ thuộc đặc biệt vào giá trị của a. Giá trị làm thay đổi khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số. Sự đồng biến và nghịch biến được thể hiện rất rõ trong bảng biến thiên. Đồ thị hàm số bậc hai là một đường parabol. Đây là một đường cong sinh động, thể hiện được rất nhiều tính chất của hàm số. Để vẽ parabol một cách tương đối chính xác cần ghi nhớ các yếu tố: chiều quay của bề lõm lên trên hay xuống dưới tùy theo giá trị dương hay âm của hệ số a; tọa độ đỉnh , trục đối xứng và một số điểm đặc biệt. Thông thường ngoài đỉnh, chúng ta xác định thêm 4 điểm nữa tạo thành hai cặp điểm đối xứng qua đường thẳng để vẽ. Bài toán thường gặp gắn liền với việc vẽ đồ thị hàm số đó là biến đổi đồ thị hàm số và dùng đồ thị hàm số để xác định số nghiệm của một phương trình còn tùy thuộc vào giá trị của tham số. Việc được rèn luyện trên đồ thị hàm số bậc hai cũng sẽ giúp học sinh hình dung được dạng toán này đối với các hàm số sẽ được học về sau. Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc hai: . Tập xác định: R Bảng biến thiên: x -¥ 2 +¥ y +¥ +¥ -1 Đồ thị: Đồ thị là một parabol có đỉnh I(2, -1); trục đối xứng x = 2 và đi qua các điểm (1, 0), (3; 0), (0; 3), (4; 3). Kết hợp hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai ta có bài toán: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số . Từ đó tìm m để phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt. Ta có nên sự biến thiên của hàm số là tổng hợp sự biến thiên của trên và sự biến thiên của trên . Bảng biến thiên và đồ thị của hàm số: +¥ -¥ x -¥ -1 1/4 1 +¥ y -2 0 Phương trình đã cho tương đương với Û . Từ đây số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (G) cố định của hàm số và đường thẳng d thay đổi . Đồ thị (G) đã được vẽ ở trên. Cho d thay đổi hết các trường hợp, ta thấy yêu cầu bài toán tương đương việc d cắt (G) tại ba điểm phân biệt Û Û . Trong rất nhiều bài toán có thể chỉ cần lập bảng biến thiên thay cho việc vẽ đồ thị của hàm số cần xem xét vì bảng biến thiên là “thiết kế” của đồ thị, đã thể hiện được các đặc tính của đồ thị, đặc biệt là giá trị của hàm số tại các điểm đặc biệt. 2. Ứng dụng của hàm số bậc hai Hàm số bậc hai có khá nhiều ứng dụng hay, có thể tương tự cho các hàm số phức tạp hơn sẽ được học sau này. Ta hãy xem xét một ứng dụng trong số đó. Từ đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số bậc hai, chúng ta hình thành phương pháp tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một hàm bậc hai trên tập D Ì R đối với các em HS lớp 10 là: lập bảng biến thiên của hàm số trên tập D và kết luận. Chẳng hạn, để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên [0; 2], ta lập bảng biến thiên của hàm số đó trên [0; 2]. x 0 3/4 2 1 -1 y Từ bảng bién thiên này ta có ngay: và = -1. Qua lời giải bài toán này giáo viên cần thiết phải củng cố cho học sinh các kiến thức liên quan đến các khái niệm GTLN, GTNN bằng cách thay đổi một số giả thiết của bài toán. Nếu ta thay đổi bài toán bằng tìm GTLN, GTNN của hàm số đó trên (0, 2) thì GTNN của hàm số sẽ không tồn tại mặc dù bảng biến thiên của hàm số "có cảm nhận không thay đổi". Ta có thể sử dụng phương pháp này để sáng tác nhiều bài tập, đặc biệt là những bài toán có thể đưa được về việc khảo sát một hàm số bậc hai trên một miền từ nhiều dạng khác nhau. 1) Tìm GTLN và GTNN của hàm trên [-1; 2]. Bài toán này ta đặt . Với x Î [-1; 2] ta có t Î [0; 4] (học sinh có thể sai lầm khi cho rằng t Î [1; 4]) và suy ra được kết quả. 2) Tìm GTLN và GTNN của hàm trên [-1; 1]. Đối với bài toán này, sự biến đổi có khó hơn. GV nên cho HS tìm tòi cách biến đổi hàm số. Ta có kết quả như sau: Đặt , với x Î [-1; 1], lập bảng biến thiên của hàm số t theo x là ta có t Î [-; 2]. Khi đó, hàm số được viết lại: . Bảng biến thiên của hàm số f(t) = trên [-; 2]: t -1/4 1/2 2 - 2 f(t) Từ bảng biến thiên, ta có: , . Chú ý rằng trong trường hợp này ta không cần tìm lại những giá trị của x làm cho hàm số y đạt max, đạt min. 3) Cho các số a, b thoả mãn ab ≠ 0. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: F = . Đây không phải là biểu thức của một biến số nữa. Để đưa về dạng toán trên, ta đặt t = . Với ab ≠ 0 thì t Î (-¥, -2] È [2, +¥). Khi đó . Bài toán được đưa về tìm GTLN và GTNN của hàm số trên tập D = . 4) Cho các số x, y là nghiệm của hệ: . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: P = xy. Khi dạy học giải bài toán này, giáo viên có thể hướng dẫn, gợi ý để gợi ý đưa về dạng bài toán trên. Các yêu cầu đặt ra đối với bài toán này là: - Phải tìm điều kiện của a để hệ đã cho có nghiệm x, y. - Biểu diễn biểu thức P theo a và từ đó tìm GTLN và GTNN của P. 5) Cho các số x, y thoả mãn: . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: F = . Bài toán này khó khăn hơn ở chỗ tìm cách đặt ẩn phụ và đánh giá điều kiện của ẩn phụ đó. Vì các biểu thức và xy có liên quan đến nhau nên ta có thể đặt t = xy, suy ra . Sử dụng bất đẳng thức ta có . Khi đó, biến đổi được F = = = . Xét hàm trên ta suy ra kết quả. 6) Cho các số a, b, c thoả mãn: . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: F = . Đối với bài toán này, đặt t = a + b + c. Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có t Î [-; ]. Khi đó, biến đổi được F = . Xét hàm trên ta tìm được kết quả. Chúng ta hoàn toàn có thể sáng tạo ra nhiều bài toán tương tự nữa với những hình thức khác nhau để rèn luyện HS có được một cái nhìn phong phú, sâu sắc và toàn diện đối với dạng toán này. 3. Một số bài tập vận dụng Bài 1. Tìm m để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt . Bài 2. Tìm GTLN và GTNN của trên . Bài 3. Cho . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức . Bài 4. Tìm m để GTNN của trên đoạn bằng 3. Bài 5. Các số thực thỏa mãn điều kiện . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức . KẾT LUẬN Chương hàm số bậc nhất và bậc hai có một vị trí khá quan trọng đối với chương trình Toán học phổ thông. Kiến thức trong chương vừa là sự hoàn chỉnh những kiến thức đã học ở lớp dưới, đồng thời tiếp cận với những quan điểm và phương pháp hiện đại. Nếu có được những sự đầu tư thích hợp, giáo viên có thể khắc sâu và mở rộng một số kiến thức cũng như phương pháp cho các em học sinh, trong đó có những vấn đề sẽ được học tiếp về sau. Mặc dầu đã rất cố gắng nhưng vì khả năng và khuôn khổ của bài viết nên người viết chỉ mới đưa ra được một số chú ý cơ bản khi dạy học nội dung này. Rất mong nhận được sự quan tâm, góp ý và bổ sung của người đọc để bài viết được hoàn thiên hơn. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn.