Đề tài Kỹ thuật tách và ghép bộ số trong bất đẳng thức cô si

Đối với các dạng này ta nên có sự phân tích như sau A=pa(b+c)+qb(c+a)+rc(a+b)=(p+q)ab+(q+r)bc+(r+p)ca Vì vậy ta chọn p,q,r sao cho p+q=6 ; q+r =7; r+p =11; giải ra ta được p=5; q=1; r=6 Vì a+b+c=3 nên ta có A=5a(3-a)+b(3-b)+6c(3-c) =27- Xét B=;với x=; y=; z= Khi đó ta có x+y+z Ta có : Như vậy ta có: B+ Ta chọn Khi đó Vậy thì A- Dấu ‘=’ xảy ra khi x+y+z== Hay x= Vậy MaxA=; Chú ý: khi gặp dạng toán : x+y+z=a và x,y,z>0 Tìm GTLN của A=mxy+nyz+pzx với m,n,p>0; Thì các bạn hãy nghĩ tới việc phân tích như của chúng tôi ở trên. * **Sau đây là một bài toán tương tự dành cho bạn đọc Cho các số x,y,z,t và x+y+z+t=1.Tìm GTLN của biểu thức A=17xy+18xz+19xt+19yz+20yt+21zt; 9) Cho x,y,z>0 và .Tìm GTLN của biểu thức sau: P=; Lời giải: Ta sẽ tìm cách đưa biểu thức P Muốn vậy ta tìm cách đưa tổng ở dưới mẫu trở thành mẫu chỉ còn lại là x hoặc y hoặc z.Từ đó ta có thể áp dụng BĐT (1.0) ở trên .Vì vậy ta phải có sự phân tích như sau: Tương tự ta cũng có : Cộng các BĐT lại ta được: P Vậy MaxP= Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c= ; Từ kết quả trên ta có thể đưa ra được kết quả sau: 10)Cho x,y,z>0 và .Chứng minh rằng: 11)( Đề thi đại học khối A năm 2007) Cho x,y,z>0 và xyz=1.Tìm GTNN của P Lời giải : Theo BĐT côsi ta được (do xyz=1) Đặt Khi đó Mặt khác theo BĐT côsi ta có: và Do đó P khi x=y=z=1. Chứng minh này dành cho bạn đọc. Nhận xét:Thông thường khi chúng ta gặp các BĐT có chứa căn bậc hoặc phép toán cộng,hoặc biểu thức ở dưới mẫu số phức tạp thường gây nhiều khó khăn.Khi đó ta có thể nghỉ đến các hướng sau đây: +Đặt ẩn phụ để biểu thức dưới mẫu trở nên đơn giản hơn. +Sử dụng các BĐT để đưa mẫu số trở nên đơn giản. +Tìm cách đưa tử số có thừa số giống như ở mẫu để rút gọn. Bài giải trên kết hợp rất tốt các phương pháp trên. Chương 3 Tách ghép bộ số trong chứng minh bất thức đẳng. 12) Với a,b,c>0:chứng minh rằng: Nhận xét:Thật là khó để biết được cần bao nhiêu số ☺ Áp dụng BĐT Côsi cho m số ,n số ,p số (trong đó m,n,p là các số tự nhiên) ta được: Vì vậy 5m-2p=m+n+p;5n-2m=2(m+n+p);5p-2n=0; Ta chọn p=8,n=20 và m=11 do đó (*) trở thành ;(1) Tương tự ta có: (2) (3); Cộng (1) (2) và (3) ta được đpcm dấu ‘=’ xảy ra tại a=b=c; Đối với các BĐT không đối xứng thì phức tạp hơn rất nhiều vì dấu đẳng thức không còn xảy ra tại x=y=z chẳng hạng. Chú ý là BĐT đối xứng là vai trò của x,y,z là như nhau trong BĐT trên cả miền đang xét. Bạn đọc thử cho bài toán tương tự và giải thử☺ 13)Cho x,y,z và xyz=1.Chứng ming rằng: . [1] Nhận xét: Đây là dạng BĐT đối xứng do đó nếu ta cho x=y=z thay vào điều kiện ban đầu thì ta được x=y=z=1. Và xuất phát từ =x do đó ta phải áp dụng BĐT côsi cho 3 số là và a,a.Nhưng vì để dấu “=” xảy ra được thì a==1. Lời giải: Như vậy ta áp dụng BĐT côsi cho 3 số là ,1,1 ta được Tương tự ta cũng có được : Cộng các BĐT theo vế ta được: Mặc khác thì x+y+z=3 hay 2(x+y+z)6 Do đó: (đpcm) Từ bài toán trên ta có thể đưa ra một kết quả tổng quát sau: 14)Cho bộ số thực không âm có tích bằng 1.Chứng minh rằng: với . 15) Cho a,b và .Chứng minh rằng: (*) [1] Hướng dẫn chi tiết: Dễ dàng nhận thấy dấu ”=” xảy ra tại a=2 ,b=1 Ta cần làm như thế nào để VT(*) Dấu “=” xảy ra tại a=2 suy ra . Như vậy ta cần áp dụng BĐT côsi cho m số và n số 8 ta được: (1) Tương tự ta áp dụng cho p số và q số 1 ta được: (2) Từ (1) và (2) ta có: Khi đó ta chọn n=1 thì m=2,p=2,q=4 Khi đó (1) trở thành (3) (2) trở thành (4) Cộng (3) và (4) theo vế ta được: Dấu “=” xảy ra tại a=2 và b=1. Chú ý: cách giải của chúng tôi là giúp cho các bạn hiểu rõ tại sao mà trong sách viết tác giả lại đưa ra những sự tách ghép mà chúng ta không biết ở đâu mà ra. Chúng tôi mong rằng các bạn sẽ nhuần nhuyễn về cách làm này thì các bạn sẽ giải quyết được rất nhiều bài tập. Các bạn xem thêm cách giải trong tài li ệu [1]. Sau đây là một bài tập dành cho bạn đọc : 17)Cho x,y và .Chứng minh rằng: . 18)Cho a,b,c và a+b+c=1 Chứng minh rằng ; Lời giải: Ta có VT= Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=; Nhận xét: bài toán trên chỉ là một trường hợp đặc biệt của bài toán sau 19)Cho n số không âm và có ; Chứng minh rằng Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ; Chứng minh dàng cho bạn đọc. 20)Cho x,y,z>0 và x+y+z=1.Chứng minh rằng: . Nhận xét: đây là BĐT dạng đối xứng do đó nếu cho x=y=z thay vào điều kiện ban đầu ta được x=y=z=. Từ BĐT ban đầu ta có thể viết lại như sau: Mà ta có Như vậy ta cần phải đưa BĐT cần chứng minh có VTlớn hơn hoặc bằng một biểu thức có xuất hiện các đại lượng như Ta có x= nên vì vậy ta mới có sự phân tích như sau nhằm áp dụng được BĐT côsi Ta có : Vì vậy ta phải áp dụng được BĐT côsi cho ta được Khi đó ta được 256+256+ Tương tự ta cũng có : 256+256+ Cộng các BĐT lại theo vế ta được: 2566+ Như vậy ta có Dấu “=” xảy ra tại x=y=z=; Chú ý rằng đây chỉ là sự hướng dẫn cho các bạn còn trong lời giải thì các bạn không phải phân tích như thế này. Bài này còn có một cách giải khá hay và được trình bày như sau: Đặt a= ,b=,c= Khi đó a+b+c12 do Vì vậy BĐT cần chứng minh tương đương với Ta có : Cộng các BĐT lại theo vế ta được: Ta thấy làm cách này thì thấy gọn hơn nhưng 2 cách làm thì bản chât như nhau. Chú ý: vì sao ở lời giải này ta phải áp dụng BĐT côsi cho và 3 số mà không phải là các số khác và cũng không phải là 2 số, 4 số mà lại là 3 số ? Thì câu trả lời dành cho bạn đọc vì chúng tôi đã hướng dẫn rất nhiều về vấn đề này. Đây chỉ là một trường hợp đặc biệt của bài toán sau: 21)Cho a,b,>0 và có tổng bằng 1.Chứng minh rằng: với m>0 Chúng tôi hy vọng sau mỗi bài các bạn có thể tổng quát lên được dạng của nó từ đó bạn đọc mới có thể nắm vững được cách giải khi gặp dạng bài tương tự ví dụ: 22)Cho a,b,c>0, chứng minh rằng: 23) Cho a,b và a+b=1 Chứng minh rằng: ; Lời giải: Nhận thấy đây là BĐT dạng đối xứng vì vậy nếu ta cho a=b thay vào điều kiện ta được a=b= ,như vậy thì ta có và Vì vậy dấu “=” xảy ra tại a=b=; Đối với thì cũng tương tự như trên. Ta có nhận xét sau: bài toán trên là một trường hợp đặc biệt của bài toán sau: 24)Chứng minh rằng với a,b và a+b=1; Chứng minh dàng cho bạn đọc. Nhận thấy 2 bài toán trên chỉ nói đến số mũ chẵn và có tổng bằng 1.Nếu áp dụng cho mũ lẻ thì sao và có tổng là một số dương bất kì thì BĐT có còn đúng không? Sau đây ta sẽ giải quyết vấn đề trên Cho a+b=k0 và a,b0.Chứng minh rằng Lời giải: Ta nhận thấy rằng đây là BĐT dạng đối xứng nên nếu ta cho a=b va thay vào điều kiện ban đầu thì ta được a=b= Như vậy ta cần áp dụng BĐT côsi cho và p số sao cho Như vậy p=n-1 khi đó Cộng 2 BĐT theo vế ta được dấu bằng xảy ra tại a=b=; Trong trường hợp nếu có Thì BĐT còn đúng không ? Câu trả lời dành cho bạn đọc☺. 25) Cho a,b,c>0 .Chứng minh rằng : [2] Lời giải: Nhận thấy đây là BĐT dạng đối xứng vì thế nếu cho a=b=c thì để triệt tiêu được dưới mẫu số thì phải có b+c Nhưng b+c=2a, vì vậy mà ta phải chia b+c cho 4 để Khi đó áp dụng BĐT côsi cho 2 số và ta được Tương tự ta cũng có Cộng các BĐT lại ta được điều cần chứng minh ,dấu “=” xảy ra tại a=b=c. Chú ý: cũng như sự phân tích của ta ở trên vì sao mà ta phải cần ? Mà không sử dụng các số khác chẳng hạn như b+c hay.? Vì dấu đẳng thức khi áp dụng BĐT côsi không thể xảy ra.(Bài này chúng tôi lấy từ tài liệu [2] bài 233, trong sách tác giả có cách chứng minh khá hay). Từ đó mà ta phải hết sức chú ý đến dấu đẳng thức xảy ra tại đại lượng bao nhiêu rồi mới đi áp dụng BĐT côsi.Thông thường thì các BĐT dạng đối xứng thì dấu “=” xảy ra dễ dàng xác định tại a=b=c chẳng hạn. **Sau đây là một số bài tập về kỹ thuật tách ghép mong các bạn làm tốt. 27) cho a,b,c>0 và abc=1.Tìm GTNN của biểu thức P=. Sau đó bạn đọc có suy nghĩ gì về GTNN của biểu thức sau Q=; 28)Cho x,y>0 .Chứng minh rằng (1+x)(1+)(1+)256. 29) Cho x,y,z,t và x+y+z+t=1.Chứng minh rằng: (x+y)(y+z)(z+t)(t+x)xyzt Chứng minh: Ta có : 1=x+y+z+t (1) Tương tự: 2=(x+y)+(y+z)+(z+t)+(t+x) (2) Nhân vế theo vế của (1) và (2) ta được: (x+y)(y+z)(z+t)(t+x)xyzt Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=t=; Đây chỉ là một trường hợp riêng của bài toán tổng quát sau: Cho và .Chứng minh rằng: . Bài toán này dành cho bạn đọc.☺ 30)Chứng minh rằng với mọi số thực dương x,y,z thỏa x(x+y+z)=3yz ta có (*); Lời giải: Từ giả thiết ta có 3yz=x(x+y+z) Suy ra hay vậy thì 2x. Vậy (*) sẽ tương đương với (**) VT(**) (do ) Dấu “=” xảy ra tại x=y=z; 31)Cho a,b,c>0 và a+b+c=1.Chứng minh rằng: .[2] Ta có những suy luận như sau: Ở dưới mẫu số của VT là biểu thức có bậc là 2 ,còn ở VP có bậc là 0 thì chúng ta phải nghĩ đến việc làm thế nào để đưa mẫu số VT về bậc 0. Muốn vậy thì ta cần biến đổi đưa mẫu ở VT có chứa tích (trong đó k là hằng số). Đối với bài này ta nghĩ đến n=2,vì ta thấy có các thánh phần ở trong khai triển sau: Theo các kết quả trên ta có: Khi đó: Vì sao mà ta lại phân tích như thế này? Vì trong hằng đẳng thức cần phải có 2 lần tích (ab+bc+ca),mặt khác để dấu “=” xảy ra khi a=b=c. Ta có : (1) Mặt khác: Do đó: (2) Từ (1) và (2) suy ra VT (đpcm) Sau khi giải xong bài này thì ta có suy nghĩ nếu không phải là 3 số a,b,c mà là n số thì kết quả sẽ ra sao? Cho và có tổng bằng 1.Chứng minh rằng: Chứng minh này tương tự bạn đọc tự nghiên cứu. Trong phân cuói này chúng tôi xin giới thiệu với các bạn một số bài toán BĐT mà chúng tôi biên soan được cảm nhận là khá hay.Các bạn hãy thử giải và khái quát bài toán☺ 1)Chứng minh bất đẳng thức sau Hd trước hết bạn hãy giải bài tổng quát sau cho với n nguyên dương,k nguyên.CMR [2] 2)Tìm phần nguyên của số Đs []=n. [2] 3)Cho và.CMR [2] 4)Giả sử là các số thực dương có tích bằng 1.Tìm hằng số thực k=k(n) nhỏ nhất sao cho BĐT sau luôn đúng. . !☺[1] Tài liệu tham khảo: 1)SÁNG TẠO BẤT ĐẲNG THỨC -PHẠM KIM HÙNG -NHÀ XUẤT BẢN HÀ NỘI [1] 2)10000 BÀI TOÁN SƠ CẤP –PHAN HUY KHẢI-HÀ NỘI 1998 [2] 3) Trần Phương, Nguyễn Đức Tấn – Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán. Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, năm 2008. [3] −−−│−−−