Đề tài Họ đường cong tiếp xúc với một đường cố định

bằng cách giải phương trình f(x,m)=0 Bước 2: Nếu tồn tại xi : f(xi)=p=const thì y=(f(x,m) tiếp xúc với đường y=p tại điểm (xi,p) Ví dụ 9: [ 3 ] Chứng minh họ (Cm): luôn tiếp xúc với hai đường thẳng cố định. Giải: Ta có: y’=3x2-6mx+3(m2-1) y’=0 ó x2-2mx+m2-1=0 ó x= m-1 ‏٧ x= m+1 f(m-1)=(m-1)3-3m(m-1)2+3(m2-1)(m-1)-m3+3m= 2 f(m+1)=(m+1)3-3m(m+1)2+3(m2-1)(m+1)-m3+3m= -2 Ta biểu diễn họ đồ thị (Cm) như hình vẽ: Từ đồ thị ta thấy (Cm) luôn tiếp xúc với Hai đường thẳng cố định là y=2 và y=-2 Nhận xét:Ở ví dụ này mỗi đường cong (Cm) đều có 2 cực trị,và 2 tiếp tuyến của đồ thị đi qua hai điểm cực trị đều cố định Bây giờ ta xét 1 ví dụ (Cm) có 2 cực trị nhưngchỉ có 1 tiếp tuyến cố định tại một trong 2 cực trị đó. Ví dụ 10: [ 2 ] Chứng minh họ (Cm) : y = f(x,m)= Giải : Từ hình vẽ ta thấy (Cm) luôn tiếp xúc với 1 đường cố định y=1 tại điểm cực trị (m,1). Nhận xét : + Tiếp tuyến của (Cm) tại điểm cực trị có hoành độ 2m song song với nhau +Với m=0 đồ thị hàm số trở thành không có cực trị. Toùm laïi, đeå chöùng minh hoï ñöôøng cong (Cm) tieáp xuùc vôùi ñöôøng cố đònh (D) ta thöïc hieän 2 böôùc : Böôùc 1 :Tìm ñöôøng coá ñònh (L). Böôùc 2 :Chöùng minh (L) tieáp xuùc vôùi (Cm). ------@&?------ Chương 3: BAØI TAÄP AÙP DUÏNG Trong chöông naøy chuùng toâi seõ ñöa ra caùc daïng baøi taäp ñeå aùp duïng cho caùc phöông phaùp treân.Moät soá baøi taäp chuùng ta seõ trình baøy nhieàu caùch ñeå baïn ñoïc thaáy ñöôïc öu ñieåm cuûa moãi phöông phaùp maø bieát caùch löïa choïn phöông phaùp thích hôïp cho töøng baøi taäp cuï theå. Baøi 1: [ 3 ] CMR họ (Cm) :, m-1 (1) luoân tieáp xuùc vôùi moät ñöôøng thaúng coá ñònh. Giaûi : Nhaän xeùt :Baøi toaùn ñaõ cho bieát daïng cuûa ñöôøng coá ñònh laø ñöôøng thaúng, do ñoù ta coù theå söû duïng ñöôïc caùc phöông phaùp sau : • Caùch 1 : Phương pháp söû duïng ñònh nghóa tieáp xuùc. (Cm) tieáp xuùc vôùi ñöôøng thaúng (D) : y=ax+b • Caùch 2 : Phương pháp ñieàu kieän nghieäm boäi, nghieäm keùp. Giả sử (Cm) luoân tieáp xuùc vôùi ñöôøng thaúng coá ñònh (D) : y=ax+b  Phöông trình coù nghieäm keùp coù nghieäm keùp co ùnghieäm keùp • Caùch 3 : PP taùch boä phaän nghieäm keùp. Ta coù Xeùt heä phöông trình töông giao : Do heä töông giao coù nghieäm keùp x=-1 neân (D):y=x-1 tieáp xuùc vôùi (Cm). • Caùch 4 : Phöông phaùp ñaïo haøm. Töø (1) ta vieát laïi : y(x-m)=2x2+(1-m)x+m+1 ó(x-y-1)m-2x2+xy-x-1=0 Ñaët F(x,y,m)=(x-y-1)m-2x2+xy-x-1 Suy ra Fm’=x-y-1 Fm’=0óy=x-1 Ta chöùng minh (Cm) tieáp xuùc vôùi ñöôøng thaúng (D) : y=x-1 Xeùt heä : Vaäy heä ñang xeùt luoân coù nghieäm x=-1 Suy ra (Cm) luoân tieáp xuùc vôùi ñöôøng thaúng y=x-1 • Caùch 5 : Phöông phaùp bieân (lời giải đã trình bày ở ví dụ phương pháp biên) Töø caùch 4 ta thaáy (Cm) luoân tieáp xuùc vôùi ñöôøng y=x-1 taïi ñieåm coá ñònh (-1 ;-2) Do ñoù ta cuõng coù theå thöïc hieän ñöôïc phöông phaùp tieáp tuyeán coá ñònh. • Caùch 5 : PP tieáp tuyeán coá ñònh. Ta kieåm tra phöông phaùp tieáp tuyeán coá ñònh ñi qua caùc ñieåm cöïc trò : Ta coù : Do ñoù khoâng söû duïng phöông phaùp tieáp tuyeán coá ñònh ñi qua cöïc trò . Baøi 2 : [ 2 ] Goïi (Hm) laø hoï Hyperbol coù phöông trình (II) Chöùng minh hoï (Hm) luoân tieáp xuùc vôùi 2 ñöôøng thaúng coá ñònh. Giaûi : Nhaän xeùt :Baøi toaùn ñaõ cho bieát daïng cuûa ñöôøng coá ñònh laø ñöôøng thaúng neân ta cuõng coù theå söû duïng ñöôïc caùc phöông phaùp sau : • Caùch 1 :  Phöông phaùp duøng ñònh nghóa tieáp xuùc. Goïi (D) laø ñöôøng thaúng coá ñònh caàn tìm coù phöông trình y=ax+b (Hm) vaø (D) tieáp xuùc nhau ó Heä sau coù nghieäm vôùi moïi m (2) coù nghieäm vôùi moïi mó a>0 Töø (1) suy ra ax2+[b+1-m(a+1)]x+m2-m(b+2)+4=0 (3) Vôùi a>0,phöông trình (3) coù Nhö vaäy phöông trình (3) coù nghieäm vôùi moïi m TH1: TH2: voâ nghieäm Vaäy 2 ñöôøng thaúng tieáp xuùc vôùi hoï (Hm) laø y=x-6 vaø y=x+2 • Caùch 2 :  Phöông phaùp ñieàu kieän nghieäm boäi, nghieäm keùp. Goïi (D) laø ñöôøng thaúng coá ñònh caàn tìm coù phöông trình y=ax+b (Hm) tieáp xuùc vôùi (D)ó phöông trình f(x,m)=ax+b coù nghieäm keùp coù nghieäm keùp vôùi moïi m. ó(m-2)x-(m2-2m+4)=(ax+b)(x-m) coù nghieäm keùp vôùi moïi m óax2+(-am+b-m+2)x+m2-2m+4-bm=0 coù nghieäm keùp vôùi moïi m. Vaäy coù 2 ñöôøng coá ñònh tieáp xuùc vôùi (Hm) laø y=x+2 vaø y=x-6 • Caùch 3:  Phöông phaùp taùch boä phaän nghieäm keùp. Ta coù +Vôùi x=m+2 Chöùng minh f(x) tieáp xuùc vôùi g(x)=x-6 (gioáng BT1) +Vôùi x=m-2 Chöùng minh f(x) tieáp xuùc vôùi ñöôøng thaúng g(x)=x+2 (töông töï BT1) • Caùch 4 :  Phương phaùp ñaïo haøm. (II) ñöôïc vieát laïi : y(x-m)=(m-2)x-(m2-2m+4) óm2-(x+y+2)m+xy+2x+4=0 Ñaët F(x,y,m)= m2-(x+y+2)m+xy+2x+4 (*) theá vaøo (*) ta ñöôïc Ta chöùng minh (Hm) tieáp xuùc vôùi 2 ñöôøng thaúng y=x-6 vaø y=x+2 (nhö treân) • Caùch 5 :  Phöông phaùp bieân Töø (II) suy ra m2-m(x+y+2)+2x+xy+4=0 (*) (*) voâ nghieäm ñoái vôùi m ó <0 ó x-6 < y < x+2 Ta chöùng minh (Hm) tieáp xuùc vôùi 2 ñöôøng thaúng y=x-6 vaø y=x+2 (baïn ñoïc töï cm) Töø caùch 3 ta thaáy ñöôøng thaúng y=x+6 tieáp xuùc vôùi hoï (Hm) taïi x=m-2 vaø ñöôøng thaúng y=x+2 tieáp xuùc vôùi (Hm) taïi x=m-2 Do ñoù ñieåm tieáp xuùc cuûa 2 ñöôøng thaúng vôùi hoï(Cm) di ñoäng Suy ra hoï(Hm)khoâng coù ñieåm coá ñònh neân khoâng söû duïng ñöôïc phöông phaùp tieáp tuyeán coá ñònh. +Ta coù: Hoï (Cm) khoâng coù ñieåm cöïc trò neân khoâng söû duïng ñöôïc phöông phaùp tieáp tuyeán coá ñònh ñi qua caùc ñieåm cöïc trò. Baøi 3 : [ 3 ] CMR hoï (Cm): luoân tieáp xuùc vôùi moät ñöôøng cong coá ñònh Giaûi : Nhaän xeùt : Baøi taäp chæ chæ cho bieát ñöôøng coá ñònh laø 1 ñöôøng cong chöù khoâng cho bieát daïng cuûa noù, do ñoù chæ coù theå söû duïng 3 phöông phaùp sau. • Caùch 1 : Taùch boä phaän nghieäm keùp Ta coù Ta chöùng minh ñöôøng cong g(x)= tieáp xuùc vôùi (Cm) Ta coù phöông trình f(x)=g(x)ó coù nghieäm keùp . Suy ra hoï (Cm) luoân tieáp xuùc vôùi ñöôøng cong g(x)= • Caùch 2 : Phöông phaùp ñaïo haøm Thay vaøo phöông trình f(x), ta ñöôïc Chöùng minh ñöôøng cong y= tieáp xuùc vôùi (Cm) (nhö treân) • Caùch 3 : Phöông phaùp bieân. Vieát laïi pt f(x) theo m ta ñöôïc : (*) Ta chöùng minh hoï ñöôøng cong y= tieáp xuùc vôùi (Cm) (nhö treân) Baøi 4 : [ 3] Chöùng minh raèng : luoân tieáp xuùc vôùi 2 ñöôøng thaúng coá ñònh. Giaûi : Söû duïng phöông phaùp tieáp tuyeán coá ñònh ñi qua 2 ñieåm cöïc trò Khi ñoù ta coù : Töø ñoà thò suy ra hoï (Cm) tieáp xuùc vôùi hai ñöôøng thaúng y=1 vaø y= ­ Trong đề tài này chúng ta chỉ nghiên cứu về họ đường cong tiếp xúc với đường cố định. Tuy nhiên đối với họ đường thẳng thì thì cũng làm tương tự. Mở rộng hơn nữa là đối với cả hai họ đường cong. Sau đây ta xét hai ví dụ về vấn đề trên. Ví dụ 11: [ 1 ] Cho đường thẳng có phương trình Chứng minh rằng: Khi m thay đổi, đường thẳng (rm ) luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. Giải: Ta tìm những điểm mà đường thẳng không bao giờ đi qua , tức là phương trình (2) vô nghiệm đối với m. tiếp xúc với đường tròn Thử lại: luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O, bán kính 1, Ví dụ 12: [ 1 ] Cho hai đường cong và Tìm m để hai đường tiếp xúc nhau. Giải: Hai đường cong đã cho tiếp xúc nhau khi và chỉ khi phương trình sau có nghiệm bội Dễ thấy (1) (2) Phương trình (1) có nghiệm bội Phương trình (2) có nghiệm bội. Tóm lại để hai đường đã cho tiếp xúc với nhau, điều kiện cần và đủ là m=1. ­CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG  Bài toán 1: [ 1 ] Biện luận theo a số nghiệm của phương trình : Giải: Viết lại phương trình đã cho dưới dạng ttuongw đương sau: Trước hết tìm a để nhánh phải của đồ thị tiếp xúc với parabol . Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của chúng thì ta có hệ sau: Tương tự khi thì nhánh trái của đồ thị tiếp xúc với parabol Ta có hình vẽ sau đây: y y=(x-1)2 y=2|x-1/2| y=2|x-3/2| (ứng với a=1/2) (ứng với a=3/2) 0 1/2 1 3/2 2 x y 2 1 1 2 x y=2|x-1| (a=1) Từ các đồ thị trên ta có nhận xét sau đây: - Nhánh phải của cắt parabol tại hai điểm nếu , một điểm nếu , không cắt nếu . - Nhánh phải của cắt parabol tại hai điểm nếu , một điểm nếu , không cắt nếu . - Khi a=1 thì nhánh trái, nhánh phải của và đồng quy. Từ đó đi đến kết quả sau: Phương trình đã cho có 4 nghiệm khi và a=1. Phương trình đã cho có 3 nghiệm khi hoặc . Phương trình đã cho có 2 nghiệm khi hoặc . Nhận xét: Với phương trình trên ta có thể giải như sau (cũng sử dụng tính tiếp xúc giữa các đường) Ta đưa phương trình đã cho về dạng tương đương sau: (*) Như vậy số nghiệm của (*) là số nghiệm của hai phương trình sau: và Vẽ hai parabol và trên cùng một hệ trục tọa độ. Để ý rằng Từ đó suy ra hai parabol này tiếp xúc với nhau tại điểm M(1,1) Bây giờ từ đồ thị suy ra kết quả trên y 3/2 1 1/2 0 x Bài toán 2: [ 3 ]Tìm m để hệ: tiếp xúc với nhau. Giải: (C) và (D) tiếp xúc nhau Hệ (I) Xét hàm số Ta có: Suy ra phương trình có nghiệm duy nhất x=0. Suy ra hệ (II) có nghiệm ó m=1. Kết luận: ------------------------------------------------ BÀI TẬP THAM KHẢO ------@&?------ Chứng minh rằng (Cm) : luôn tiếp xúc với hai đường thẳng cố định. Tìm đường cố định (D) tiếp xúc với mỗi họ đường cong (Cm): Chứng minh rằng (Cm) : luôn tiếp xúc với một đường cong cố định. Tìm m để (Cm): tiếp xúc với đường thẳng y=-49x+98. Chứng minh rằng khi m thay đổi, họ đường cong (Cm) luôn tx với nhau.  (Cm) : Chứng minh rằng khi thay đổi, họ đường thẳng luôn tiếp xúc với một đường cong cố định. 7. Tìm m để đường thẳng tiếp xúc với 8. Biện luận số nghiệm của phương trình: theo tham số a. TÀI LIỆU THAM KHẢO ---&--- [ 1 ] – Phan Huy Khải – Toán nâng cao Giải tích- tập 2 (Hàm số và ứng dụng hàm số). Nhà xuất bản Hà Nội, năm 2002. [ 2 ] – Phạm Quốc Phong – Chuyên đề nâng cao Đại số và Giải tích. [ 3 ] – Trần Phương, Nguyễn Đức Tấn – Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán. Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, năm 2008. [ 4 ] - www.forum.mathscope.org