Đề tài Giải và biện luận số nghiệm của phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối bằng phương pháp đồ thị

đồ thị phía dưới trục hoành qua trục hoành . Biện luận: Với a < 1: phương trình vô nghiệm. Với a = 1: phương trình có nghiem duy nhất. Với 1< a < 3 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Với a = 3 : phương trình có 3 nghiệm phân biệt. Với a > 3 : phương trình co 4 nghiệm phân biệt. II. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Bài 1: Tìm nghiệm của phương trình sau theo m : |x – 1| = 3x + 2m. Với giá trị nào của m thi phương trình trên vô nghiệm. Bài 2 : Xác định a để phương trình sau có 4 nghiệm khác nhau: |-2x2 + 10x -8| = x2 – 5x +a ĐS : 4 < a < Bài 3 : a.Khảo sát , vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = x3 – 3x – 2. b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : |x3 – 3x| + m – 2 = 0. Bài 4: Xác định m để phương trình : = lgm có 8 nghiệm phân biệt. Bài 5: Biện luận theo a số nghiệm của phương trình: a. b. DẠNG II: y = f(|x|) I/ VÍ DỤ MINH HỌA: Ví dụ 1: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 2|x| + 5 = 3m (1) Bài giải: Xét hàm số: y = 2x + 5 Mxđ: D = R Đồ thị của hàm số y = 2x + 5 là đường thẳng đi qua 2 điểm A(-2,1) và B(-1,3) Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = 2|x| + 5, gồm 2 phần: Phần phía bên phải Oy của đồ thị y = 2x + 5 Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy. Khi đó số nghiệm của phương trình (1) là số giao đỉểm của (C) và đường thẳng y = 3m. Ta được: Với 3m < 5 ó m<5/3 thì phương trình (1) vô nghiệm. Với 3m = 5 ó m = 5/3 thì phương trình (1) có 1 nghiệm Với 3m > 5 ó m>5/3 thì phương trình 1 có 2 nghiệm phân biệt. Ví dụ 2: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x2 - 2|x| + m = 0 (1) Bài giải: Xét hàm số (P): y = -x2 + 2x Mxđ: D = R BBT: x -∞ 1 +∞ y 1 -∞ +∞ Đồ thị: ta lấy thêm 2 điểm O(0,0), A(2,0). Viết lại phương trình dưới dạng: - x2 + 2|x| = m Gọi (C) là đồ thị hàm số y = -x2 + 2|x| gồm 2 phần: * Phần phía bên phải Oy của (P) * Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy Khi đó, số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của (C) và đường thẳng y = m,ta được: - Với m > 1 : phương trình vô nghiệm. - Với m = 1 v m < 0 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt. - Với 0 < m < 1 : phương trình có 4 nghiệm phân biệt - Với m= 0 : phương trình có 3 nghiệm phân biệt. Ví dụ 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y = x3 + 3x2 + 1 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình |x – 1|3 + 3(x-1)2 + 1 = m Bài giải: a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = x3 + 3x2 + 1 Mxđ: D = R Đạo hàm: + y’ = 3x2 + 6x y’ = 0 ó 3x2 + 6x = 0 ó x =0 x= -2 + y” = 6x + 6 y” = 0 ó x = - 1 BXD: x -∞ -1 +∞ y - 0 + Giới hạn: limx→∞y = limx→∞[x3(1 - 3x + 1x3)] = +∞ khi x → +∞-∞ khi x → -∞ BBT: x -∞ -2 0 +∞ y’ - 0 + 0 - y 5 +∞ -∞ 1 Đồ thị của hàm số: y=f(x) y = 1 y = f(x-1) b/ Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = |x - 1|3 + 3(x-1)2 + 1 = f(|x-1|) với đường thẳng y = m. Đồ thị y = f(|x – 1|) được suy ra từ đồ thị của hàm số y = f(x) theo hai bước: * Bước 1: Suy ra đồ thị y = f(x – 1) bằng phép tịnh tiến theo Ox đồ thị hàm số y = f(x) sang phải 1 đơn vị *Bước 2: Suy ra đồ thị y = f(|x – 1|) gồm: Phần bên phải đường thẳng y = 1 của đồ thị y = f(x – 1) Đối xứng phần đồ thị trên qua đường thẳng y = 1 Biện luận: Với m < 1 phương trình vô nghiệm. Với m = 1 phương trình có 1 nghiệm. Với m > 1 phương trình có 2 nghiệm. Ví dụ 4: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình y = f(x) = 2xx- 1 = m (1) Bài giải: Xét hàm số y = f1(x) = 2xx-1 Mxđ: D = R\{1} f1’(x)= -2(x-1)2 < 0 BBT: x -∞ 1 +∞ f1’(x) - - 2 +∞ f1(x) -∞ 2 limx→∞f1(x) = 2 Tiệm cận ngang y = 2 limx→1f(x) = ∞ Tiệm cận đứng x= 1 Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = f(x) = 2|x|x- 1 gồm 2 phần: - Bên phải Oy của đồ thị y = f1(x) = 2xx-1 - Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy Khi đó nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y = m. Ta được: -Với m < 0 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt. -Với m = 1 thì phương trình (1) có 1 nghiệm. -Với 1 < m ≤ 2 thì phương trình (1) vô nghiệm -Với m > 2 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt. II/ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Bài 1: Biện luận theo a số nghiệm của các phương trình sau: a/ x2 – (4 + a)|x| + 5 + 2a = 0 b/ |x|3 – 6x2 + 9|x| - 3 + a = 0 c/ |x – 1|3 + 3|x – 1| + 1 = a d/ x2+ 2x- 1x+ 1 = a Bài 2: Tìm tham số m để phương trình 2|x|3 – 3x2 +2 = m có 4 nghiệm phân biệt DẠNG III: y = |f(|x|)| I/ VÍ DỤ MINH HỌA: Ví dụ 1: Biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m: |||x – 1| - 2|-1| = m Bài giải: Đặt f(x) = |||x – 1| - 2|-1| Ta có bảng xét dấu sau: x -2 -1 0 1 2 3 4 f(x) ||x+1| - 1| ||x – 3| - 1| f(x) |x+2| |x| |x – 2| |x – 4| f(x) -x - 2 x + 2 -x x 2 - x x - 2 4 - x x – 4 Nhận xét: Đồ thị của f(x) = |||x – 1| - 2|-1| nằm phía trên trục hoành Từ đồ thị ta có : Với m > 1: phương trình có 2 nghiệm. Với m = 1: phương trình có 5 nghiệm. Với 0 < m < 1: phương trình có 8 nghiệm Với m = 0 : phương trình có 4 nghiệm. Với m < 0 : phương trình vô nghiệm. Ví dụ 2: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: |x2 – 4|x| +3 | = m + 1 (1) Bài giải: Xét hàm số y = x2 – 4|x| + 3, gồm 2 phần: - Phần phía bên phải Oy của y = x2 – 4x + 3 - Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy Gọi (C’) là đồ thị hàm số y = |x2 – 4|x| +3 |, gồm 2 phần: - Phần phía trên trục hoành của đồ thị (C) - Đối xứng phần phía dưới trục hoành qua Ox. Khi đó, số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của (C’) và đường thẳng y = m + 1, ta được: Với m = -1 hoặc 0 < m < 2: phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt Với -1 < m < 0: phương trình (1) có 8 nghiệm phân biệt Với m = 0: phương trình (1) có 6 nghiệm phân biệt Với m = 2: phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt Với m > 2: phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt. Ví dụ 3: Biện luận số nghiệm của phương trình: y = 2|x|x- 1 = m (1) Bài giải: Xét hàm số y = 2|x|x- 1 Theo ví dụ 4 – Dạng II ta có đồ thị của hàm số y = 2xx- 1 (C) Gọi (C’) là đồ thị của hàm số y = 2|x|x- 1 , gồm 2 phần: - Phần phía trên trục hoành của (C) - Đối xứng phần phía dưới trục hoành qua Ox Khi đó, số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = 2|x|x- 1 với đường thẳng y = m, ta được: - Với m < 0 : phương trình (1) vô nghiệm - Với 0 < m ≤2: phương trình có 2 nghiệm phân biệt. - Với m > 2: phương trình có 4 nghiệm phân biệt. II/ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Biện luận số nghiệm của các phương trình sau theo m: a/ |x3 – 4|x| + 3| = m +2 b/ x2x- 1 = lg m DẠNG IV: y = |f(x)|g(x) I/ VÍ DỤ MINH HỌA: Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình sau: x|x – 1| + m = 0 (1) Bài giải: (1) ó m = - x|x – 1| Vậy nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của: - Đường thẳng (D) : y = m - Đường cong (P): y = - x|x – 1| = -x2+ x nếu x≥1x2- x nếu x<1 Vẽ đồ thị y = -x2 + x (P1) Đỉnh (1/2,1/4) BBT: x -∞ ½ +∞ y ¼ -∞ -∞ Để vẽ (P) ta giữ nguyên đồ thị (P1) khi x ≥1 và lấy đối xứng (P1) qua Ox khi x < 1 Đồ thị (P1) là đường đứt khúc, đồ thị (P) là đường nét liền Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (P1): -x2 + x = m ó x2 – x + m = 0 ∆= 1 - 4m x1 = 1- 1+4m2 , x2 =1+ 1-4m2 (x1 < x2) Phương trình hoành độ giao điểm của (D) và (P2): x2 – x = m ó x2 – x – m = 0 ∆= 1 + 4m x3 = 1- 1+4m2 , x4 = 1+ 1-4m2 (x3 < x4) Đồ thị cho kết quả : - Khi m < - 1/ 4 : một nghiệm đơn : x2 = 1+ 1-4m2 - Khi m = -1/ 4: - Khi -1/ 4 < m < 0 : 3 nghiệm đơn x3,4 = 1± 1+4m2 x2 = 1+ 1-4m2 - Khi m = 0 : 2 nghiệm đơn x2 = 1 và x3 = 0 - Khi m > 0 : 1 nghiệm đơn x3 = = 1- 1+4m2 Ví dụ 2: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: (x-1)2|x+2| = m Bài giải: Xét hàm số y = f(x) = (x-1)2x+2 Viết lại hàm số dưới dạng: y = f(x) = x – 4 + 9x+2 Mxđ: D = R\{-2} y’ = 1 - 9(x+2)2 y’ = 0 ó x2 + 4x – 5 = 0 ó x=1x= -5 Giới hạn, tiệm cận : limx→∞y= ∞ limx→-2y = ∞ x = -2 là tiệm cận đứng limx→∞[y-x-4] = 0 y = x – 4 là tiệm cận xiên BBT: x -∞ -5 -2 1 y’ + 0 - - 0 + y -12 +∞ +∞ -∞ -∞ 0 Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = (x-1)2|x+2| với đường thẳng y = m Ta có: (C) : y = (x-1)2|x+2| = fx khi x>-2-fxkhi x<-2 Do đó đồ thhị của hàm số (C) gồm : - Phần đồ thị y = f(x) trên miền x>-2 - Đối xứng phần từ đồ thị y = f(x) trên miền x <-2 qua Ox. Biện luận: - Với m < 0 : phương trình vô nghiệm - Với m = 0: phương trình có 1 nghiệm - Với 0 < m < 12 : phương trình có 2 nghiệm - Với m = 12 : phương trình có 3 nghiệm - Với m > 12 : phưong trình có 4 nghiệm II/ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Bài 1: Biện luận theo a số nghiệm của phương trình: a/ |x – 2|(x+1) + a = 0 b/ |x|(3 – 4x2) = a c/ x2+ x-3|x+2| = a d/ (x +1)2 – a|x + 2| = 0 KẾT LUẬN CHUNG Nhìn tổng quát các vấn đề mà chúng tôi trình bày trong đề tài thì rõ ràng tính chất quan trọng của mỗi bài toán đều nằm chủ yếu ở phần vẽ đồ thị hàm số . Việc nắm vững các dạng đồ thị là rất cần thiết . Thông qua các ví dụ minh họa cũng như bài tập chúng tôi nhận thấy rằng việc giải và biện luận phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối theo tham số có cách làm khá rõ ràng theo từng bước nhất định . Mặc dù có thể phân thành nhiều dạng đồ thị khác nhưng sau khi đọc và nghiên cứu chúng tôi đã đúc kết lại bốn dạng đồ thị cơ bản nhất về hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối . Trong đề tài, ở mỗi dạng chúng tôi chỉ nghiên cứu và trình bày được các hàm số bậc 1, bậc 2, bậc 3, bậc 4 và hàm hữu tỉ . Riêng các hàm số như lượng giác, mũ, logarit chúng tôi còn băn khoăn vì chưa làm được . Do thời gian có hạn, tài liệu còn hạn chế nên việc nghiên cứu còn nhiều thiếu sót. Nếu có thời gian chúng tôi sẽ bổ sung hoàn thiện hơn . TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]Phương pháp giải toán : Hệ vô tỉ - Hệ chứa giá trị tuyệt đối (thạc sĩ Lê Hồng Đức (chủ biên), NGƯT Đào Thiện Khải – Lê Bích Ngọc) [2]- Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học môn tóan đại số sơ cấp NXB Hà Nội(2004). Tác giả : Trần Phương – Lê Hồng Đức [3] Phương pháp giải phương trình chứa giá trị tuyệt đối – Nguyễn Văn Ban. [4 ] [5]