Đề tài Giải phương trình mũ bằng phương pháp đánh giá

hàm số y=f(x) Dùng lập luận khẳng định hàm đơn điệu. Khi đó ¶ Ví dụ minh họa : Ví dụ 4: [4] Giải phương trình : (1) Giải : Cách 1: ta có nhận xét x=2 là 1 nghiệm của phương trình Cách 2: Ví dụ 5: [3] Giải phương trình : Giải: Ví dụ 6: [4] Giải phương trình: Giải: Ví dụ 7: [6] Giải: * Chú ý : Trong phương pháp trên ta đã sử dụng hai mệnh đề sau: + Mệnh đề 1: Xét phương trình f(x)=a trong đó f(x) luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) trên tập xác định của phương trình khi đó phương trình có nghiệm duy nhất. + Mệnh đề 2: Xét phương trình f(x) = g(x) , trong đó f(x) luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) và g(x) luôn nghịch biến ( hoặc đồng biến) trên miền xác định của phương trình thì khi đó phương trình có nghiệm duy nhất. Một cách tổng quát: Nếu hàm số f(x)=h có m khoảng đơn điệu thì hàm số có nhiều nhất là m nghiệm. Ta xét thêm một ví dụ nữa: Ví dụ 8: Giải phương trình : Giải: @Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau : Dạng 2 : ĐÁNH GIÁ PHƯƠNG TRÌNH MŨ BẰNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN Trên đây , chúng tôi đã trình bày những bài toán đơn giản nhằm có thể sử dụng phương pháp đánh giá để giải toán phương trình mũ một cách nhanh chóng , dể hiểu. Tuy nhiên ta cũng đã sử dụng khéo léo một số bất đẳng thức thường gặp như Cơsi, Bunhiacôpxki, Bernoulli.. để giải quyết những bài toán phức tạp I. Một số nét chính của các bất đẳng thức Bất đẳng thức Côsi : Bất đẳng thức Bernoulli : là một bất đẳng thức cho phép tính gần đúng của lũy thừa 1+x, bất đẳng thức này được phát biểu như sau: 3. Bất đẳng thức Bunhiacopxki : ¶Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải: Ví dụ 2: Giải Nhận xét: Với những bài toán như ví dụ 1,ví dụ 2 thì sử dụng phương pháp đánh giá dựa vào bất đẳng thức là cách rất hay và ngắn gọn trong lời giải. Nếu như ở ví dụ 1 ta có thể sử dụng phương pháp đơn điệu để tìm ra nghiệm của bài toán thì sang ví dụ 2 hầu như không có phương pháp nào khác phương pháp đánh giá bài toán đó. Ví dụ 3:[4] Giải: Nhận xét: Không phải lúc nào chúng ta cũng có thể nhận ra ngay rằng một bài toán nào đó là sử dụng phương pháp đánh giá bằng bất đẳng thức để giải mà phải qua một số phép biến đổi cụ thể để chuyển bài toán đó về dạng có thể sử dụng bất đẳng thức để đánh giá và tìm ra nghiệm. Vídụ4:[4] Giải: Nhận xét: Rất nhiều học sinh nhầm tưởng rằng có thể giải bài toán bằng cách sử dụng đặt ẩn phụ t=2x. Tuy nhiên khi đó ta sẽ nhận được một phương trình bậc 6, mà phương trình bậc 6 thì hầu như chưa có một phương pháp giải cụ thể nào. Ví dụ 5: Làm một cách tương tự, sử dụng phương pháp trên ta tìm được nghiệm duy nhất x=0. Nhận xét: Ví dụ 4, ví dụ 5 đều xuất phát từ một bất đẳng thức . (Bất đẳng thức này được chứng minh như cách làm ở ví dụ 4) Việc ra bài tập cho dạng đánh giá bằng bất đẳng thức Cơsi thật đơn giản nếu bạn biết một số bất đẳng thức được chứng minh từ bất đẳng thức Cơsi. Lúc đó bạn quy bất đẳng thức đó về dạng mũ là được ( Vì bất đẳng thức Cơsi áp dụng cho những số không âm và dạng mũ là những số dương nên chúng liên hệ với nhau được) @ Một số bài tập tự giải: Ví dụ 6:[4] Giải phương trình : Giải: Ví dụ 7:[4] Giải: Nhận xét: Qua ví dụ 6 , ví dụ 7 ta thấy nếu gặp bài toán có dạng: thì phương pháp Bernoulli được sử dụng là hiệu quả nhất bằng cách đánh giá theo từng trường hợp giống như trên. Ví dụ 8:[4] Giải: Nhận xét: Không phải bài toán nào ta cũng nhìn ra cách áp dụng bất đẳng thức Bernoulli mà trong trường hợp cụ thể có thể chuyển bài toán về dạng: . Khi đó ta xác định được: @ Một số bài toán tự giải: 3) Giải phương trình:  Ví dụ 9: Giải: Nhận xét: Ở bài toán trên chúng ta có thể quy về giải phương trình vô tỉ bằng cách bình phương hai vế nhưng sẽ không được nhanh chóng như áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki. Ví dụ 11: Giải phương trình: Giải: Đây là phương trình thuần nhất đối với sinx và cosx. Chúng ta có thể sử dụng phương pháp giải bài toán dạng này nhưng quả thật khá rắc rối . Với một chút biến đổi để sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki chúng ta dể dàng tìm ra nghiệm của nó. Đây là một số ví dụ thường gặp khi giải phương trình mũ khi các phương pháp khác không đem lại kết quả tối ưu thì bất đẳng thức là công cụ hiệu quả nhất. Dạng 3: ĐÁNH GIÁ PHƯƠNG TRÌNH MŨ BẰNG CÁC TÍNH CHẤT HÀM CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI Định nghĩa : Các tính chất: Ví dụ 1:[5] Giải: Ví dụ 2: Giải: Nhận xét: Ở ví dụ trên từ (*) nếu bằng cách mở dấu giá trị đối thì chúng ta cũng giải quết được bài toán nhưng nó sẽ rắc rối hơn. Để ý một chút chúng ta sử dụng bất đẳng thức trị tuyệt đối thì bài toán trở nên dể dàng hơn. * Tổng quát cho dạng toán này: Ví dụ 3:[5] Giải: *Chú ý: Rất nhiều học sinh khi giải bài toán này chỉ thu được nghiệm x=3. * Tổng quát cho dạng này : Ví dụ 4:[6] Tìm tất cả các cặp số thực x,y thỏa : Giải: Nhận xét : Sai lầm thường gặp ở dạng bài này là: Học sinh sẽ khử giá trị tuyệt đối của (2) dẫn đến bài toàn này dài và khó định hướng tiếp theo. Đây là một trong những bài toán khó định hướng cho học sinh nếu như không biết cách so sánh để suy ra . Ví dụ 5: Giải: Nhận xét: Khi gặp phương trình mũ dạng ví dụ 3 ta nên dùng cách đánh giá trên để giải vì nó liên quan đến hàm sinx và cosx mà Ví dụ 6: Giải: Tổng quát : Khi gặp phương trình mũ chứa giá trị tuyệt đối có dạng. Ta dùng bất đẳng thức Bernoulli để giải quyết bài toán và phương pháp này đã được chúng tôi trình bày ở dạng 2 trong tài liệu. Dạng 4: ĐÁNH GIÁ DỰA VÀO TAM THỨC BẬC HAI, PHƯƠNG TRÌNH MŨ Đặt ẩn phụ là phương pháp được dùng phổ biến trong việc giải phương trình nói chung và giải phương trình mũ nói riêng. Nhiều bài toán chỉ nhìn vào là ta có thể thấy được cách chọn ẩn phụ thích hợp. Nhưng cũng không ít bài toán khiến chúng ta bối rối ngay từ bước này. Đối với những bài toán này, thông thường đòi hỏi bạn đọc phải có cái nhìn tinh tế để đánh giá và đưa ra hướng giải thích hợp. Để minh họa cho sự tinh tế đó, chúng ta lần lượt xét các ví dụ sau: Ví dụ 1[2]: Giải: Chú ý: Trong nhiều trường hợp ta không thấy ngay được sự xuất hiện ab=1 đối với các toán tử của phương trình . Khi đó cần đánh giá tinh tế hơn. Cụ thể ta xét ví dụ sau: Ví dụ 2:[1] Giải: Nhận xét: Như vậy, trong ví dụ trên, bằng việc đánh giá ta đã lựa chọn được ẩn phụ t=cho phương trình . Ví dụ tiếp theo ta sẽ miêu tả việc lựa chọn ẩn phụ thông qua đánh giá mở rộng của ab=1 . Đó là: Ta xét ví dụ cụ thể sau: Ví dụ 3: Giải: Để bạn đọc nắm vững hơn về kỹ năng giải các dạng toán trên mời các bạn làm các ví dụ sau: Chú ý: Tuy nhiên , nhiều bài toán sau khi đặt ẩn phụ vẫn còn tồn tại ẩn ban đầu. Loại bài toán này ta có thể giải bằng các phương pháp thông thường cho phương trình ẩn t. Nhưng ở đây, chúng tôi sẽ trình bày phương pháp đánh giá qua định lí Viet của tam thức bậc hai. Với phương pháp này ta sẽ nhanh chóng đưa ra nghiệm của phương trình. Ta xét các ví dụ sau Ví dụ 4: Giải: Nhận xét: Đây là một ví dụ vận dụng rất tinh tế định lí Viet của tam thức bậc hai Ở bài tập này, sau khi đặt ẩn phụ 5x-2=t , phương trình vẫn còn tồn tại ẩn x. Ta có thể giải phương trình (2) như một phương trình bậc hai theo ẩn t thông thường. Nhưng ở đây chúng tôi trình bày theo phương pháp đánh giá dựa vào tam thứ bậc hai. Hoàn toàn tương tự ta xét ví dụ sau: Ví dụ 5:[2] Giải: @ Bài tập đề nghị. Giải các phương trình sau: KẾT LUẬN CHUNG Với sự cố gắng và nổ lực của tất cả các thành viên trong nhóm tài liệu đã được hoàn thành trong dự kiến. Tuy nhiên , do thời gian có hạn và kinh nghiệm của nhóm còn non yếu, đề tài có thể còn nhiều thiếu sót, khuyết điểm. Rất mong quý thầy cô giáo,các bạn sinh viên và bạn đọc gần xa góp ý, phê bình để chất lượng đề tài ngày một hoàn chỉnh hơn. Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của độc giả và các bạn sinh viên! TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phương pháp giải toán tự luận hàm số mũ, hàm số logarit –Trần Thị Vân Anh [2] 15 Chuyên đề TAM THỨC BẬC HAI – Nguyễn Đức Đồng [3] 690 Bài toán đại số chọn lọc – Nguyễn Đức Đồng [4] Phương pháp giải toán Đại số- Phương trình,hệ phương trình,bất phương trình chứa mũ-Lê Hồng Đức [5] Phương pháp giải toán Đại số- Phương trình,hệ phương trình,bất phương trình chứa dấu trị tuyệt đối-Lê Hồng Đức [6] 500 Bài toán điển hình phương trình, bất phương trình,hệ phương trình mũ logarit - Trần Đình Thì MỤC LỤC Trang Mở đầu 3 Dạng 1: Đánh giá phương trình mũ dựa vào tính chất hàm số mũ 4-10 Dạng 2: Đánh giá phương trình mũ dựa vào các bất đẳng thức cơ bản . 11-17 Dạng 3: Đánh giá phương trình mũ bằng các tính chất hàm chứa dấu trị tuyệt đối.18-22 Dạng 4: Đánh giá phương trình mũ bằng tam thức bậc hai 23-28