Đề tài Giải bài toán về lập số, tìm số các số ở tiểu học

ủa một tập hợp có n phần tử, kí hiệu  (1£k£n) là: =n(n−1)(n−2)...(n−k+1). (1) Nhận xét: = Pn = n! Ví dụ: Trong mặt phẳng cho một tập hợp gồm 6 điểm phân biệt. Có bao nhiêu vecto khác vecto có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp điểm này?Giải: Mỗi cặp sắp xếp thứ tự gồm hai điểm (A,B) cho ta một vecto có điểm đầu A, điểm cuối B và ngược lại. Như vậy, mỗi vecto có thể xem là một chỉnh hợp chập 2 của tập hợp 6 điểm đã cho. Thành thử  số vecto cần tìm là : =6.5=30Chú ý: Với 1£k£n thì ta có thể viết công thức (1) dưới dạng                                   = (2)         Ta quy ước 0! = 1 và = 1 Khi đó công thức (2) đúng cho cả k = 0 và k = n. Vậy công thức (2) đúng với mọi số nguyên k thỏa mãn 1£k£n. 2.3. Tổ hợp a) ĐN: Cho tập A có n phần tử và số nguyên k với 1£k£n. Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một tổ hợp chập k của A). Như vậy lập một tổ hợp chập k của A chính là lấy ra k phần tử của A (không quan tâm đến thứ tự) b) Số các tổ hợp: Kí hiệu ( hoặc ()) là số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử. Định lí 3: Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1£k£n) là== Ví dụ : Trong mặt phẳng cho một tập hợp P gồm 7 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh đều thuộc P? Giải:       Số tam giác có 3 đỉnh thuộc P chính bằng số các tổ hợp chập 3 của tập P, tức là bằng: = = 35. 2.4. Vận dụng toán tổ hợp giải một số bài toán nâng cao ở Tiểu học. Bài 1: Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau mà các chữ số đều lẻ. Phân tích: Mỗi số có 4 chữ số đều lẻ là một chỉnh hợp chập 4 của 5 phần tử (1; 3; 5; 7; 9) Số các chỉnh hợp chập 4 của 5 phần tử là: = 5 ´ 4 ´ 3 ´ 2 = 120 (số) Hướng dẫn học sinh giải: - Có 5 cách chọn chữ số hàng nghìn từ các chữ số 1, 3, 5, 7, 9. - Có 4 cách chọn chữ số hàng trăm (vì đã chọn ra một chữ số hàng trăm từ các chữ số trên. - Có 3 cách chọn chữ số hàng chục (vì đã chọn ra 2 chữ số từ các chữ số trên). - Có 2 cách chọn chữ số hàng đơn vị (vì đã chọn ra 3 chữ số từ các chữ số trên). Số các số cần tìm là: 5 ´ 4 ´ 3 ´ 2 = 120 (số) Đáp số : 120 số. Bài 2: Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau mà các chữ số đều chẵn. (violympic cấp Tỉnh năm học 2011-2012) Phân tích : Ta quy ước số cũng là số có 4 chữ số. Thế thì số các số có 4 chữ số khác nhau đều chẵn là một chỉnh hợp chập 4 của 5 phần tử 0, 2, 4, 6, 8. Số các chỉnh hợp là: = 5 ´ 4 ´ 3 ´ 2 = 120 (số) Số các số dạng mà các chữ số đều chẵn là : 4 ´ 3 ´ 2 = 24 (số) Vậy số các số có 4 chữ số khác nhau mà các chữ số đều chẵn là : 120 - 24 = 96 (số) Hướng dẫn học sinh giải: Các số có 4 chữ số khác nhau đều chẵn có dạng (a>0) - Có 4 cách chọn a từ các chữ số 0, 2, 4, 6, 8 ( vì không chọn 0). - Có 4 cách chọn b từ các chữ số trên (vì đã chọn ra một chữ số ở hàng nghìn). - Có 3 cách chọn c (vì đã chọn ra 2 chữ số ở hàng nghìn và hàng trăm.) - Có 2 cách chọn d (vì đã chọn ra 3 chữ số ở hàng nghìn, hàng trăm và hàng đơn vị). - Số các số có 4 chữ số khác nhau đều chẵn là : 4 ´ 4 3 ´ 2 = 96 (số) Đáp số : 96 số. Bài 3: Có bao nhiêu cách chọn 3 người trong 8 người để tham gia một trò chơi truyền hình. (Giao lưu Toán Tuổi thơ quốc gia cấp Tiểu học, năm 2011-2012) Phân tích: Mỗi cách chọn 3 trong 8 người tham gia một trò chơi trên truyền hình là một tổ hợp chập 3 của 8 phần từ. Số các cách chọn 3 người trong 8 người là : = = 56 (cách chọn) Hướng dẫn học sinh giải: Ta đánh dấu vị trí 1, 2, 3 cho 3 người tham gia trò chơi này. - Có 8 cách chọn 8 người vào vị trí 1. - Có 7 cách chọn người vào vị trí 2 (vì đã chọn một người vào vị trí 1.) - Có 6 cách chọn người vào vị trí 3 (vì đã chọn hai người vào vị trí 1, 2) Nhưng những cách chọn sau được tính là 1 lần chọn : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Số các cách chọn 3 trong 8 người tham gia một trò chơi là: (cách chọn) Đáp số : 56 cách chọn. Bài 4: Có 8 bạn tham gia thi đấu cờ vua. Cứ hai bạn đấu với nhau một ván cờ. Hỏi có tất cả bao nhiêu ván cờ? (Violympic cấp Tỉnh năm học 2011-2012) Phân tích : Số các ván cờ chính là số các tổ hợp chập 2 của 8 phần tử. Số các tổ hợp là : == 28 (ván cờ) Hướng dẫn học sinh giải: Cứ mỗi bạn đấu với 7 bạn còn lại, có 8 bạn thì có số lượt đấu là: 8 ´ 7 = 56 (lượt) Số ván cờ là: 8 ´ 7 : 2 = 28 (ván cờ). 2.5. Giờ ta quay lại giải quyết các ví dụ trên dựa trên kiến thức toán tổ hợp: Bài toán 1: cho 4 chữ số 2, 4, 6, 8.   Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau tạo thành từ những chữ số trên. Phân tích: Bài toán trên chính là tìm số các hoán vị của 4 phần tử: P4 = 4! = 4 ´ 3 ´ 2 ´ 1 = 24 (số) Hướng dẫn học sinh giải: - Có 4 cách chọn chữ số hàng nghìn từ các chữ số trên. - Với mỗi cách chọn chữ số hàng nghìn ta có 3 cách chọn chữ số hàng trăm (vì đã chọn 1 chữ số ở hàng nghìn). - Với mỗi cách chọn chữ số hàng nghìn, mỗi cách chọn chữ số hàng trăm, ta có 2 cách chọn chữ số hàng chục. - Với mỗi cách chọn chữ số hàng nghìn, mỗi cách chọn chữ số hàng trăm, mỗi cách chọn chữ số hàng chục ta có 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị. Số các số cần tìm: 4 ´ 3 ´ 2 ´ 1 = 24 (số) Đáp số: 24 số. Bài toán 2: Cho 3 chữ số 2, 3, 5. Tính tổng tất cả các số có 3 chữ số khác nhau lập được từ các chữ số trên. Phân tích: Trước hết ta đi tìm số các số có 3 chữ số khác nhau lập được từ các chữ số đã cho. Số các số có 3 chữ số khác nhau chính là số các hoán vị của 3 phần tử: P = 3 ´ 2 ´ 1 = 6 (số) Dựa vào vai trò của các chữ số trong mỗi hàng ta đi tính tổng các chữ số trong mỗi hàng từ đó tính tổng các số lập được. Hướng dẫn học sinh giải: + Có 3 cách chọn chữ số hàng trăm + Có 2 cách chọn chữ số hàng chục + Có 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị - Số các số thoả mãn đầu bài là: 3 ´ 2 ´ 1 = 6 (số) - Vì vai trò của mỗi chữ số 2, 3, 5 trong mỗi hàng của một số tự nhiên là như nhau nên mỗi chữ số này đều có ở hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị của 2 số trong tổng số 6 số (6:3=2). Tổng tất cả các số có 3 chữ số khác nhau lập được từ các chữ số trên là: (2+3+5) ´ 2 ´ 100 + (2+3+5) ´ 2 ´ 10 + (2+3+5) ´ 2 = (2+3+5) ´ 2 ´ 111 = 2220 Đáp số : 2220. Bài toán 3: Cô giáo chấm lên bảng 6 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Cô nối 2 điểm bất kì với nhau. Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng tạo thành từ cách làm của cô giáo? Phân tích:Mỗi cách nối hai điểm bất kì chính là một tổ hợp chập hai của 6 phần tử. Số các tổ hợp chập hai của 6 phần tử là: = (số) Hướng dẫn học sinh giải: - Nối 1 điểm với 5 điểm còn lại ta có 5 đoạn thẳng. - Trên bảng có 6 điểm ta có số cách nối 5 ´ 6 đoạn thẳng, nhưng như thế mỗi cặp hai điểm đã được nối 2 lần hay mỗi đoạn thẳng được đếm 2 lần. Vậy số các đoạn thẳng tạo thành từ 6 điểm mà trong đó không có hai điểm nào thẳng hàng là: 5 ´ 6 : 2 = 15 (đoạn thẳng) Đáp số : 15 đoạn thẳng. Bài toán 4: Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau không chia hết cho 5. Phân tích:Với bài toán nay ta không tìm trực tiếp các số thoả mãn yêu cầu bài toán mà đi tìm gián tiếp thông qua tìm các số có 3 chữ số khác nhau và các số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5. Hướng dẫn học sinh giải: * Tìm số các số có 3 chữ số khác nhau: - Có 9 cách chọn chữ số hàng trăm (từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) - Có 9 cách chọn chữ số hàng chục từ (vì đã chọn 1 chữ số ở hàng trăm) - Có 8 cách chọn chữ số hàng đơn vị (vì đã chọn 1chữ số ở hàng trăm, 1 chữ số ở hàng chục) Số các số có 3 chữ số khác nhau là: 9 ´ 9 ´ 8 = 648 (số) * Số các số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5 có hai dạng và - Số các số dạng + Có 9 cách chọn chữ số hàng trăm + Có 8 cách chọn chữ số hàng chục (vì không chọn 0 và đã chọn 1 số ở hàng trăm) Số các số dạng là : 9 ´ 8 = 72 (số) - Số các số dạng + Có 8 cách chọn chữ số hàng trăm (không chọn 0 và 5) + Có 8 cách chọn chữ số hàng chục (không chọn 5 và đã chọn một số ở hàng trăm) Số các số dạng là : 9 ´ 8 = 72 (số) Vậy số các số có 2 chữ số khác nhau không chia hết cho 5 là : 648 - 72 - 64 = 512 (số) Đáp số: 512 số. 2.6. Một số đề toán tự luyện Bài 1: Hãy cho biết có bao nhiêu số có hai chữ số khác nhau mà các số đó đều không chia hết cho 5 ? (Violympic vòng 17 lớp 5, năm 2013-2014) Bài 2: Hãy cho biết có bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau mà tích các chữ số của mỗi số là 30 ? (Violympic vòng 17 lớp 5, năm 2013-2014) Bài 3: Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau mà tích các chữ số của mỗi số đó là 210 ? Bài 4: Có bao nhiêu số có 3 chữ số mà chữ số hàng trăm nhỏ hơn chữ số hàng chục. Bài 5: Có bao nhiêu số có 3 chữ số mà chữ số hàng trăm lớn hơn chữ số hàng chục. Bài 6: Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau mà chữ số hàng trăm lớn hơn chữ số hàng đơn vị. Bài 7: Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số mà ở mỗi số : a) không có chữ số 5. b) Có 1 chữ số 5 Bài 8: Có bao nhiêu số có 4 chữ số mà Bài 9: Trước khi vào thi đấu giao lưu Ngày Hội Toán Học – Violympic, 4 đội A, B, C, D bắt tay làm quen nhau. Tính số cái bắt tay, biết mỗi bạn bắt tay nhau một lần, các bạn trong một đội không bắt tay nhau và mỗi đội có 5 bạn. (Violympic vòng 17 lớp 5, năm 2012-2013) Bài 10: Hãy cho biết có tất cả bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau, mà chữ số 6 đứng liền trước chữ số 8. (Violympic vòng 19 lớp 5, năm 2012-2013) IV. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN - Qua vận kiến thức toán tổ hợp vào giải các bài toán tiểu học, tôi đã đúc rút cho mình kinh nghiệm và vận dụng hướng dẫn học sinh giải bài toán về lập số, tìm các số. Học sinh tiếp thu kiến thức về kiểu bài toán này rất nhanh, các em rất tự tin và hào hứng học tập. Kết quả là có nhiều em đã đạt giải trong các cuộc thi giải toán cấp Tỉnh, Huyện và thi học sinh giỏi cấp Huyện. Tôi cũng đã chuyên đề dạng toán này trong tổ chuyên môn và được các đồng chí trong tổ chuyên môn đánh giá cao. V. ĐIỀU KIỆN VÀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG Sáng kiến có khả năng áp dụng trong tất cả các khối của tiểu học, nó giúp ích rất nhiều cho giáo viên tham gia giảng dạy trên lớp, đặc biệt trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi và hướng dẫn học sinh giải toán Violympic qua mạng Internet. Yên Lâm, ngày 15 tháng 5 năm 2014 Xác nhận của đơn vị: Tác giả sáng kiến: PHẠM VĂN ĐẠI