Đề ôn tập học kì 2 – Năm học 2013 - 2014 môn Toán lớp 11

SA ⊥ (ABCD) nên hình chiếu của SC trên (ABCD) là AC ⇒ góc giữa SC và (ABCD) là SCA . Vậy ta có:  SA aSCA SCA AC a 06tan 3 60 2 = = = ⇒ = Câu 4a: y x x 1 = − ⇒ y x2 1 1′ = + • Các giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là ( ) ( )A B1;0 , 1;0− • Tại A(–1; 0) tiếp tuyến có hệ số góc k1 2= nên PTTT: y = 2x +2 • Tại B(1; 0) tiếp tuyến cũng có hệ số góc k2 2= nên PTTT: y = 2x – 2 Câu 5a: f x x x x3 60 64 ( ) 3 5= + − + ⇒ f x x x2 4 60 128 ( ) 3′ = − + PT x xf x x x xx x x 2 4 2 22 4 4 3860 128 ( ) 0 3 0 3 60 128 0 16 3 83  = = ±′ = ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ ⇔  = = ±  Câu 6a: Đặt AB e AD e AE e1 2 3, ,= = =













 ( ) ( )AB EG e EF EH e e e e e e e a21 1 1 2 1 1 1 2. . . .⇒ = + = + = + =





















 Cách khác: ( )AB EG EF EG EF EG EF EG a a a0 2. . . .cos , . 2.cos45= = = =























 Câu 4b: y = sin2x.cos2x • y = x y x y x1 sin 4 ' 2 cos4 " 8sin 4 2 ⇒ = ⇒ = − Câu 5b: x xy x y x x 3 2 22 ' 2 3 2 = + − ⇒ = + − • x y x x x x x 2 02 2 2 ( 1) 0 1  = ′ = − ⇔ + − = − ⇔ + = ⇔  = − O A B D C S H A B C D E F G H WWW.VNMATH.COM 4 Câu 6b: Gọi M là trung điểm của B′C, G là trọng tâm của ∆AB′C. Vì D′.AB′C là hình chóp đều, có các cạnh bên có độ dài a 2 , nên BD’ là đường cao của chóp này ⇒ BD′ ⊥ (AB′C) ⇒ BD′ ⊥ GM. Mặt khác ∆AB′C đều nên GM ⊥ B′C ⇒ GM là đoạn vuông góc chung của BD’ và B’C. •Tính độ dài GM = aAC a1 3 1 3 62. 3 2 3 2 6 = = ====================================== A B CD A’ B’ C’D’ O G M WWW.VNMATH.COM 1 Đề số 12 ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2013-2014 Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút Bài 1: Tính các giới hạn sau: a) n n n 1 1 3 4 lim 4 3 + − − + b) x x x23 1 2 lim 9→ + − − Bài 2: Chứng minh phương trình x x3 3 1 0− + = có 3 nghiệm thuộc ( )2;2− . Bài 3: Chứng minh hàm số sau không có đạo hàm tại x 3= − x khi xf x x khi x = 2 9 3( ) 3 1 3  − ≠ − =  +  − Bài 4: Tính đạo hàm các hàm số sau: a) y x x x2(2 1) 2= + − b) y x x2.cos= Bài 5: Cho hàm số xy x 1 1 + = − có đồ thị (H). a) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại A(2; 3). b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y x1 5 8 = − + . Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a, SA vuông góc với (ABCD). Gọi I, K là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD. a) Chứng minh các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông. b) Chứng minh: (SAC) vuông góc (AIK). c) Tính góc giữa SC và (SAB). d) Tính khoảng cách từ A đến (SBD). --------------------Hết------------------- Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . . WWW.VNMATH.COM 2 Đề số 12 ĐÁP ÁN ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2011-2012 Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút Bài 1: Tính giới hạn: a) n n n n n n n n 1 1 1 1 1 1 1 39. 4 43 4 9.3 4.4 lim lim lim 4 34 3 4 3 1 4 − + − − − − −   −  − −   = = = − + + + b) ( )x x x x x x 23 3 1 2 1 1 lim lim 249 ( 3) 1 2→ → + − = = − + + + Bài 2: Chứng minh phương trình x x3 3 1 0− + = có 3 nghiệm thuộc ( )2;2− . Xem đề 11. Bài 3: Chứng minh hàm số sau không có đạo hàm tại x 3= − x khi xf x x khi x = 2 9 3( ) 3 1 3  − ≠ − =  +  − • Khi x f x x3 ( ) 3≠ − ⇒ = − • x x f x f x x x3 3 ( ) (3) 4 lim lim 3 3→− →− − − = + + mà x x x x x x3 3 4 4 lim ; lim 3 3+ −→− →− − − = −∞ = +∞ + + nên hàm số không có đạo hàm tại x = –3. Chú ý: Có thể chứng minh hàm số f(x) không liên tục tại x = –3 ⇒ f(x) không có đạo hàm tại x = –3. Bài 4: Tính đạo hàm các hàm số sau: a) x x xy x x x y'=2 x x x y x x x x 2 2 2 2 2 1 4 6 1 (2 1) 2 2 (2 1). ' 2 2 − − + + = + − ⇒ − + + ⇒ = − − b) y x x y x x x x2 2.cos ' 2 .cos sin= ⇒ = − Bài 5: xy x 1 1 + = − ⇒ y x 2 2 ( 1) − ′ = − a) Tại A(2; 3) ⇒ k y PTTT y x(2) 2 : 2 1′= = − ⇒ = − − b) Vì tiếp tuyến song song với đường thằng y x1 5 8 = − + nên hệ số góc của tiếp tuyến là k 1 8 = − Gọi x y0 0( ; ) là toạ độ của tiếp điểm ⇒ x y x k x xx 2 0 0 02 00 32 1 ( ) ( 1) 16 58( 1)  = − ′ = ⇔ − = − ⇔ − = ⇔  = −  • Với ( )x y PTTT y x0 0 1 1 13 : 32 8 2= − ⇒ = ⇒ = − + + • Với ( )x y PTTT y x0 0 3 1 35 : 52 8 2= ⇒ = ⇒ = − − + WWW.VNMATH.COM 3 Bài 6: a) Chứng minh các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông. • SA⊥ (ABCD) nên SA⊥ BC, AB ⊥ BC (gt) ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆SBC vuông tại B. • SA ⊥ (ABCD) ⇒SA ⊥ CD, CD ⊥ AD (gt) ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒CD ⊥ SD ⇒ ∆SCD vuông tại D • SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AB, SA ⊥ AD ⇒ các tam giác SAB và SAD đều vuông tại A. b) Chứng minh: (SAC) vuông góc (AIK). • SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BD, BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ (SAC) • ∆SAB và ∆SAD vuông cân tại A, AK ⊥ SA và AI ⊥ SB nên I và K là các trung điểm của AB và AD ⇒ IK//BD mà BD ⊥ (SAC) nên IK ⊥ (SAC) ⇒ (AIK) ⊥ (SAC) c) Tính góc giữa SC và (SAB). • CB ⊥ AB (từ gt),CB ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD)) nên CB ⊥ (SAB) ⇒ hình chiếu của SC trên (SAB) là SB ( ) ( )
SC SAB SC SB CSB,( ) ,⇒ = = • Tam giác SAB vuông cân có AB = SA = a
BCSB a CSB SB 2 tan 2⇒ = ⇒ = = d) Tính khoảng cách từ A đến (SBD). Hạ AH ⊥ SO , AH ⊥ BD do BD ⊥ (SAC) ⇒AH ⊥ (SBD) ⇒ a AH AH SA AO a a a2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 3 3 = + = + = ⇒ = ( )( ) ad A SBD 3, 3⇒ = ==================== O I K A B D C S H WWW.VNMATH.COM 1 Đề số 13 ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2013-2014 Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút Bài 1: Tính các giới hạn sau: a) x x x x 2 21 2 3 5 lim 1→ + − − b) x x x x 3 1 1 lim 1+→ + + − Bài 2: Chứng minh rằng phương trình x mx x m3 22 0− − + = luôn có nghiệm với mọi m. Bài 3: Tìm a để hàm số liên tục tại x = 1. x x x khi x 1f x x a x a khi x = 1 3 2 2 2 ( ) 3 3  − + − ≠ =  +  + Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số: a) y x x x x2 4 2 3 1 3 1= + + − + b) x xy x x cos sin = + Bài 5: Cho đường cong (C): y x x3 23 2= − + . Viết phương trình tiếp tuyến của (C): a) Tại điểm có hoành độ bằng 2. b) Biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng y x1 1 3 = − + . Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, aOB 3 3 = , SO ABCD( )⊥ , SB a= . a) Chứng minh: SAC∆ vuông và SC vuông góc với BD. b) Chứng minh: SAD SAB SCB SCD( ) ( ), ( ) ( ).⊥ ⊥ c) Tính khoảng cách giữa SA và BD. --------------------Hết------------------- Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . . WWW.VNMATH.COM 2 Đề số 13 ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2011-2012 Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút Bài 1: a) x x x x x = xx 2 21 1 2 3 5 2 5 7 lim lim 1 21→ → + − + = + − b) x x x x 3 1 1 lim 1+→ + + − Ta có x x x x x x x x x x 31 13 1 lim ( 1) 0 1 1 0 lim 1 lim ( 1) 3 0 + + + → → →  − =  + + − > ⇒ = +∞ − + + = >  Bài 2: Xét hàm số f x x mx x m3 2( ) 2= − − + ⇒ f(x) liên tục trên R. • f m m f m f f m m3 4( ) , (0) (0). ( )= − = ⇒ = − • Nếu m = 0 thì phuơng trình có nghiệm x = 0 • Nếu m 0≠ thì f f m m(0). ( ) 0, 0< ∀ ≠ ⇒ phương trình luôn có ít nhát một nghiệm thuộc (0; m) hoặc (m; 0). Vậy phương trình x mx x m3 22 0− − + = luôn có nghiệm. Bài 3: x x x khi x 1f x x a x a khi x = 1 3 2 2 2 ( ) 3 3  − + − ≠ =  +  + • x x x x x x x x f x x a x a 3 2 2 1 1 1 2 2 ( 1)( 2) lim ( ) lim lim 3 3→ → → − + − − + = = + + • Nếu a = –3 thì x x x x x x f x x 2 2 1 1 1 ( 1)( 2) 2 lim ( ) lim lim 1 0 3( 1) 3→ → → − + + = = = > − và f (1) 0= nên hàm số không liên tục tại x = 1 • Nếu a ≠ –3 thì x x x x f x x a 2 1 1 ( 1)( 2) lim ( ) lim 0 3→ → − + = = + , nhưng f a(1) 3 0= + ≠ nên hàm só không liên tục tại x = 1. Vậy không có giá trị nào của a để hàm số liên tục tại x = 1. Bài 4: a) y x y'= x xx x x x x2 4 2 3 5 2 3 1 2 3 6 4 3 1 2 3 1 = + + − + ⇒ − + + − + b) x x x x xy y x x x x 2cos sin cos sin sin + = + ⇒ = ⇒ x x x x x x x y x x x x xx x x 2 2 2 2 2 sin cos sin cos cos 1 ' sin cos (1 cot ) sinsin − − − = + = − − + − + Bài 5: y x x3 23 2= − + ⇒ y x x2' 3 6= − a) x y y0 02 2, (2) 0′= ⇒ = − = ⇒ PTTT y 2= − . b) Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y x1 1 3 = − + nên tiếp tuyến có hệ số góc là k = 3. Gọi x y0 0( ; ) là toạ độ của tiếp điểm ⇒ x x x x x x 2 2 0 0 0 0 0 0 1 2 3 6 3 2 1 0 1 2  = − − = ⇔ − − = ⇔  = + WWW.VNMATH.COM 3 • Với x y0 01 2 2= − ⇒ = ⇒ PTTT: ( )y x y x3 1 2 2 3 4 2 3= − + + ⇔ = + − • Với x y0 01 2 2= + ⇒ = − ⇒ PTTT: ( )y x y x3 1 2 2 3 4 2 3= − − − ⇔ = − − Bài 6: a) • Chứng minh: SAC∆ vuông + a a a SO SB OB a SO SO 2 2 2 2 2 2 23 6 6 9 9 3 = − = − ⇔ = ⇔ = . + a a OA OC BC OB a SO 2 2 2 2 3 6 9 3 = = − = − = = . ⇒ tam giác SAC vuông tại S. • Chứng minh SC ⊥ BD BD ⊥ SO, BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ SC. b) • Chứng minh: SAD SAB SCB SCD( ) ( ), ( ) ( ).⊥ ⊥ Gọi H là trung điểm của SA. a SA a SA OA OH 2 3 3 2 3 2 3 = = ⇒ = = ⇒ OH OB OD= = ⇒ ∆HBD vuông tại H ⇒ DH ⊥ BH (1) • ∆SOA vuông cân tại O, H là trung điểm của SA ⇒ OH ⊥ SA (2) • SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ BD, mặt khác AC ⊥ BD BD SAC SA BD( )⇒ ⊥ ⇒ ⊥ (3) • Từ (2) và (3) ta suy ra SA ⊥ (HBD) ⇒SA ⊥ HD (4) Từ (1) và (4) ta suy ra DH ⊥ (SAB), mà DH ⊂ (SAD) nên (SAD) ⊥ (SAB) • Gọi I là trung điểm của SC dễ thấy OI = OH = OB = OD ⇒ ∆IBD vuông tại I ⇒ ID ⊥ BI (5) • a a SD SO OD a CD 2 2 2 2 6 3 9 9 = + = + = = ⇒ ∆DSC cân tại D, IS = IC nên ID ⊥ SC (6) Từ (5) và (6) ta suy ra ID ⊥ (SBC), mà ID ⊂ (SCD) nên (SBC) ⊥ (SCD). c) Tính khoảng cách giữa SA và BD. OH ⊥ SA, OH ⊥ BD nên ad SA BD OH 3( , ) 3 = = . ============================ I K H O A B D C S WWW.VNMATH.COM