Chuyên đề So sánh phân số

SO SÁNH PHÂN SỐ Để so sánh 2 phân số , tùy theo một số trường hợp cụ thể của đặc điểm các phân số , ta có thể sử dụng nhiều cách tính nhanh và hợp lí .Tính chất bắc cầu của thứ tự thường được sử dụng (), trong đó phát hiện ra một số trung gian để làm cầu nối là rất quan trọng.Sau đây tôi xin giới thiệu một số phương pháp so sánh phân số PHẦN I: CÁC PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH . Quy đồng mẫu dương rồi so sánh các tử :tử nào lớn hơn thì phân số đó lớn hơn I/CÁCH 1: Ví dụ : So sánh ? Ta viết : ; Quy đồng tử dương rồi so sánh các mẫu có cùng dấu “+” hay cùng dấu “-“: mẫu nào nhỏ hơn thì phân số đó lớn hơn . Chú ý :Phải viết phân số dưới mẫu dương . II/CÁCH 2: Ví dụ 1 : Ví dụ 2: So sánh ? Ta có : ; Ví dụ 3: So sánh ? Ta có : ; Chú ý : Khi quy đồng tử các phân số thì phải viết các tử dương . (Tích chéo với các mẫu b và d đều là dương ) +Nếu a.d>b.c thì + Nếu a.d<b.c thì ; + Nếu a.d=b.c thì III/CÁCH 3: Ví dụ 1: Ví dụ 2: Ví dụ 3:So sánh Ta viết ; Vì tích chéo –3.5 > -4.4 nên Chú ý : Phải viết các mẫu của các phân số là các mẫu dương vì chẳng hạn do 3.5 < -4.(-4) là sai Dùng số hoặc phân số làm trung gian . IV/CÁCH 4: Dùng số 1 làm trung gian: Nếu Nếu mà M > N thì M,N là phần thừa so với 1 của 2 phân số đã cho . Phân số nào có phần thừa lớn hơn thì phân số đó lớn hơn. Nếu mà M > N thì M,N là phần thiếu hay phần bù đến đơn vị của 2 phân số đó. Phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn. Bài tập áp dụng : Bài tập 1: So sánh Ta có : ; Bài tập 2: So sánh Ta có : ; Bài tập 3 : So sánh Ta có Dùng 1 phân số làm trung gian:(Phân số này có tử là tử của phân số thứ nhất , có mẫu là mẫu của phân số thứ hai) Ví dụ : Để so sánh ta xét phân số trung gian . Vì *Nhận xét : Trong hai phân số , phân số nào vừa có tử lớn hơn , vừa có mẫu nhỏ hơn thì phân số đó lớn hơn (điều kiện các tử và mẫu đều dương ). *Tính bắc cầu : Bài tập áp dụng : Bài tập 1: So sánh -Xét phân số trung gian là , ta thấy -Hoặc xét số trung gian là , ta thấy Bài tập 2: So sánh Dùng phân số trung gian là Ta có : Bài tập 3: (Tự giải) So sánh các phân số sau: e) f) g) h) (Hướng dẫn : Từ câu ac :Xét phân số trung gian. Từ câu dh :Xét phần bù đến đơn vị ) Dùng phân số xấp xỉ làm phân số trung gian. Ví dụ : So sánh Ta thấy cả hai phân số đã cho đều xấp xỉ với phân số trung gian là. Ta có : Bài tập áp dụng : Dùng phân số xấp xỉ làm phân số trung gian để so sánh : Dùng tính chất sau với m0 : V/ CÁCH 5: Bài tập 1: So sánh Ta có : (vì tử < mẫu) Vậy A < B . Bài tập 2: So sánh Ta có : Cộng theo vế ta có kết quả M > N. Bài tập 3:So sánh ? Giải: (áp dụng ) Đổi phân số lớn hơn đơn vị ra hỗn số để so sánh : +Hỗn số nào có phần nguyên lớn hơn thì hỗn số đó lớn hơn. +Nếu phần nguyên bằng nhau thì xét so sánh các phân số kèm theo. VI/CÁCH 6: Bài tập 1:Sắp xếp các phân số theo thứ tự tăng dần. Giải: đổi ra hỗn số : Ta thấy: nên . Bài tập 2: So sánh Giải: mà Bài tập 3: Sắp xếp các phân số theo thứ tự tăng dần. Giải: Xét các phân số nghịch đảo: , đổi ra hỗn số là : Ta thấy: Bài tập 4: So sánh các phân số : ? Hướng dẫn giải: Rút gọn A=1 , đổi B;C ra hỗn số A<B<C. Bài tập 5: So sánh Hướng dẫn giải:-Rút gọn ( Chú ý: 690=138.5&548=137.4 ) Bài tập 6: (Tự giải) Sắp xếp các phân số theo thứ tự giảm dần. PHẦN II: CÁC BÀI TẬP TỔNG HỢP . Bài tập 1: So sánh các phân số sau bằng cách hợp lý: (Gợi ý: a) Quy đồng tử c) Xét phần bù , chú ý : d)Chú ý: Xét phần bù đến đơn vị e)Chú ý: phần bù đến đơn vị là:) Bài tập 2: Không thực hiện phép tính ở mẫu , hãy dùng tính chất của phân số để so sánh các phân số sau: Hướng dẫn giải:Sử dụng tính chất a(b + c)= ab + ac +Viết 244.395=(243+1).395=243.395+395 +Viết 423134.846267=(423133+1).846267= +Kết quả A=B=1 (Gợi ý: làm như câu a ở trên ,kết quả M=N=1,P>1) Bài tập 3: So sánh Gợi ý: 7000=7.103 ,rút gọn Bài tập 4: So sánh Gợi ý: Chỉ tính Từ đó kết luận dễ dàng : A < B Bài tập 5:So sánh ? Gợi ý: 1919=19.101 & 191919=19.10101 ; Kết quả M>N Mở rộng : 123123123=123.1001001 ;.. Bài tập 6: So sánh Gợi ý: +Cách 1: Sử dụng ; chú ý : +Cách 2: Rút gọn phân số sau cho 101. Bài tập 7: Cho a,m,n N* .Hãy so sánh : Giải: Muốn so sánh A & B ,ta so sánh & bằng cách xét các trường hợp sau: Với a=1 thì am = an A=B Với a0: Nếu m= n thì am = an A=B Nếu m< n thì am < an A < B Nếu m > n thì am > an A >B Bài tập 8: So sánh P và Q, biết rằng: ? Vậy P = Q Bài tập 9: So sánh Giải: Rút gọn Vậy M = N Bài tập 10: Sắp xếp các phân số theo thứ tự tăng dần ? Gợi ý: Quy đồng tử rồi so sánh . Bài tập 11: Tìm các số nguyên x,y biết: ? Gợi ý : Quy đồng mẫu , ta được 2 < 3x < 4y < 9 Do đó x=y=1 hay x=1 ; y=2 hay x=y=2. Bài tập 12: So sánh Giải: Aùp dụng công thức: Chọn làm phân số trung gian ,so sánh > C > D. Bài tập 13: Cho a)Chứng minh: M < N b) Tìm tích M.N c) Chứng minh: Giải: Nhận xét M và N đều có 45 thừa số a)Và nên M < N b) Tích M.N c)Vì M.N mà M < N nên ta suy ra được : M.M << tức là M.M < . M < Bài tập 14: Cho tổng : .Chứng minh: Giải: Tổng S có 30 số hạng , cứ nhóm 10 số hạng làm thành một nhóm .Giữ nguyên tử , nếu thay mẫu bằng một mẫu khác lớn hơn thì giá trị của phân số sẽ giảm đi. Ngược lại , nếu thay mẫu bằng một mẫu khác nhỏ hơn thì giá trị của phân số sẽ tăng lên. Ta có : hay từc là: Vậy (1) Mặt khác: tức là : Vậy (2). Từ (1) và (2) suy ra :đpcm. .OOO.