Chuyên Đề Số Chính Phương

1) NÕu a= 5k 1 th× a2-1 = (5k21) 2 -1 = 25k2 10k5 A 5 (2) NÕu a= 5k 2 th× a2+1 = (5k2)2 + 1 = 25 k220k +5 A 5 (3) Tõ (1),(2),(3) A 5, n Z C¸ch 2: Ph©n tÝch A thµnh mét tæng cña hai sè h¹ng chia hÕt cho 5 : + Mét sè h¹ng lµ tÝch cña 5 sè nguyªn liªn tiÕp + Mét sè h¹ng chøa thõa sè 5 Ta cã : a5-a = a( a2-1) (a2+1) = a(a2-1)(a2-4 +5) = a(a2-1) (a2-4) + 5a(a2-1) = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2)- 5a (a2-1) Mµ = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2) 5 (tÝch cña 5 sè nguyªn liªn tiÕp ) 5a (a2-1) 5 Do ®ã a5-a 5 * C¸ch 3: Dùa vµo c¸ch 2: Chøng minh hiÖu a5-a vµ tÝch cña 5 sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho 5. Ta cã: a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) = a5-a – (a2- 4)a(a2-1) = a5-a - (a3- 4a)(a2-1) = a5-a - a5 + a3 +4a3 - 4a = 5a3 – 5a 5 a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) 5 Mµ (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) 5 a5-a 5(TÝnh chÊt chia hÕt cña mét hiÖu) c/ Khi chøng minh tÝnh chia hÕt cña c¸c luü thõa ta cßn sö dông c¸c h»ng ®¼ng thøc: an – bn = (a – b)( an-1 + an-2b+ an-3b2+ +abn-2+ bn-1) (H§T 8) an + bn = (a + b)( an-1 - an-2b+ an-3b2 - - abn-2+ bn-1) (H§T 9) Sö dông tam gi¸c Paxcan: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 .. Mçi dßng ®Òu b¾t ®Çu b»ng 1 vµ kÕt thóc b»ng 1 Mçi sè trªn mét dßng (kÓ tõ dßng thø 2) ®Òu b»ng sè liÒn trªn céng víi sè bªn tr¸i cña sè liÒn trªn. Do ®ã: Víi a, b Z, n N: an – bn chia hÕt cho a – b( ab) a2n+1 + b2n+1 chia hÕt cho a + b( a-b) (a+b)n = Bsa +bn ( BSa:Béi sè cña a) (a+1)n = Bsa +1 (a-1)2n = Bsa +1 (a-1)2n+1 = Bsa -1 * VD3: CMR víi mäi sè tù nhiªn n, biÓu thøc 16n – 1 chia hÕt cho 17 khi vµ chØ khi n lµ sè ch½n. Gi¶i: + C¸ch 1: - NÕu n ch½n: n = 2k, kN th×: A = 162k – 1 = (162)k – 1 chia hÕt cho 162 – 1( theo nhÞ thøc Niu T¬n) Mµ 162 – 1 = 255 17. VËy A17 - NÕu n lÎ th× : A = 16n – 1 = 16n + 1 – 2 mµ n lÎ th× 16n + 116+1=17 (H§T 9) A kh«ng chia hÕt cho 17 +C¸ch 2: A = 16n – 1 = ( 17 – 1)n – 1 = BS17 +(-1)n – 1 (theo c«ng thøc Niu T¬n) NÕu n ch½n th× A = BS17 + 1 – 1 = BS17 chia hÕt cho 17 NÕu n lÎ th× A = BS17 – 1 – 1 = BS17 – 2 Kh«ng chia hÕt cho 17 VËy biÓu thøc 16n – 1 chia hÕt cho 17 khi vµ chØ khi n lµ sè ch½n, n N d/ Ngoµi ra cßn dïng ph­¬ng ph¸p ph¶n chøng, nguyªn lý Dirichlª ®Ó chøng minh quan hÖ chia hÕt. VD 4: CMR tån t¹i mét béi cña 2003 cã d¹ng: 2004 2004.2004 Gi¶i: XÐt 2004 sè: a1 = 2004 a2 = 2004 2004 a3 = 2004 2004 2004 . a2004 = 2004 20042004 2004 nhãm 2004 Theo nguyªn lý Dirichle, tån t¹i hai sè cã cïng sè d­ khi chia cho 2003. Gäi hai sè ®ã lµ am vµ an ( 1 n <m 2004) th× am - an 2003 Ta cã: am - an = 2004 20042004 00000 m-n nhãm 2004 4n hay am - an = 2004 20042004 . 104n m-n nhãm 2004 mµ am - an 2003 vµ (104n , 2003) =1 nªn 2004 20042004 2003 m-n nhãm 2004 2. T×m sè d­ * VD1:T×m sè d­ khi chia 2100 a/ cho 9 b/ cho 25 Gi¶i: a/ Luü thõa cña 2 s¸t víi béi cña 9 lµ 23 = 8 = 9 – 1 Ta cã : 2100 = 2. 299= 2. (23)33 = 2(9 – 1 )33 = 2(BS9 -1) ( theo nhÞ thøc Niu T¬n) = BS9 – 2 = BS9 + 7 VËy 2100 chia cho 9 d­ 7 b/ Luü thõa cña 2 gÇn víi béi cña 25 lµ 2 10 = 1024 =1025 – 1 Ta cã: 2100 =( 210)10 = ( 1025 – 1 )10 = BS 1025 + 1 = BS 25 +1 (theo nhÞ thøc Niu T¬n) VËy 2100 chia cho 25 d­ 1 * VD2: T×m 4 ch÷ sè tËn cïng cña 51994 khi viÕt trong hÖ thËp ph©n Gi¶i: C¸ch 1: Ta cã: 1994 = 4k + 2 vµ 54 = 625 Ta thÊy sè tËn cïng b»ng 0625 khi n©ng lªn luü thõa nguyªn d­¬ng bÊt k× vÉn tËn cïng b»ng 0625 Do ®ã: 51994 = 54k+2=(54)k. 52 = 25. (0625)k = 25. (0625)= 5625 C¸ch 2: T×m sè d­ khi chia 51994 ch 10000 = 24.54 Ta thÊy 54k – 1 = (54)k – 1k chia hÕt cho 54 – 1 = (52 + 1) (52 - 1) 16 Ta cã 51994 = 56(51988 – 1) + 56 mµ 56 54 vµ 51988 – 1 = (54)497 – 1 chia hÕt cho 16 ( 51994)3. 56(51988 – 1)chia hÕt cho 10000 cßn 56= 15625 51994 = BS10000 + 15625 51994 chia cho 10000 d­ 15625 VËy 4 ch÷ sè tËn cïng cña 51994 lµ 5625 3. T×m ®iÒu kiÖn chia hÕt * VD1: T×m sè nguyªn n ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc A chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc B: A = n3 + 2n2- 3n + 2; B = n2 – n Gi¶i: n3 + 2n2- 3n + 2 n2 – n n3 – n2 n + 3 3n2 - 3n + 2 3n2 – 3n 2 Ta cã: n3 + 2n2- 3n + 2 = (n2 – n)(n + 3) + Do ®ã Gi¸ trÞ cña A chia hÕt cho gi¸ trÞ cña B n2 – n ¦(2) 2 chia hÕt cho n(n – 1) 2 chia hÕt cho n Ta cã b¶ng: n 1 -1 2 -2 n – 1 0 -2 1 -3 n(n – 1) 0 2 2 6 Lo¹i T/m T/m Lo¹i VËy víi n = -1, n = 2 th× gi¸ trÞ cña biÓu thøc A chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc B VD 2: T×m sè nguyªn n dÓ n5 + 1 chia hÕt cho n3 + 1 Gi¶i: n5 + 1 n3 + 1n5 + n2 – n2 + 1 n3 + 1 n2(n3 + 1)- ( n2 – 1) n3 + 1 (n – 1)(n + 1) (n+1)(n2 – n + 1) n – 1 n2 – n + 1 n(n – 1) n2 – n + 1 Hay n2 – n n2 – n + 1 (n2 – n + 1) – 1 n2 – n + 1 1n2 – n + 1 XÐt hai tr­êng hîp: + n2 – n + 1 = 1 n2 – n = 0 n(n – 1) = 0 n = 0, n = 1 thö l¹i thÊy t/m ®Ò bµi + n2 – n + 1 = - 1 n2 – n + 2 = 0 , kh«ng cã gi¸ trÞ cña n tho¶ m·n VD 3: T×m sè tù nhiªn n sao cho 2n - 1 chia hÕt cho 7 Gi¶i: Ta cã luü thõa cña 2 gÇn víi béi cña 7 lµ 23 = 8 = 7 + 1 NÕu n = 3k (k N) th× 2n - 1= 23k – 1 = (23)k – 1 = 8 k - 1k8 – 1 = 7 NÕu n = 3k + 1(k N) th× 2n - 1 = 23k+1 – 1 = 8k . 2 – 1= 2(8k – 1) + 1 = 2. BS7 + 1 2n - 1 kh«ng chia hÕt cho 7 NÕu n = 3k +2(k N) th× 2n - 1 = 23k+2 – 1= 4.23k – 1 = 4( 8k – 1) + 3 = 4.BS7 + 3 2n - 1 kh«ng chia hÕt cho 7 VËy 2n - 17 n = 3k (k N) 2. Bµi tËp Bµi 1: Chøng minh r»ng: a/ n3 + 6n2 + 8n chia hªt ch 48 víi mäi sè n ch½n b/ n4 – 10n2 + 9 chia hÕt cho 384 víi mäi sè n lÎ Gi¶i a/ n3 + 6n2 + 8n = n(n2 + 6n + 8) = n( n2 + 4n + 2n + 8) = n[n(n + 4) + 2(n + 4)] = n(n+2)(n + 4) Víi n ch½n, n = 2k ta cã: n3 + 6n2 + 8n = 2k(2k + 2)(2k + 4) = 8.k. (k + 1)k + 2) 8 b/ n4 – 10n2 + 9 = n4 – n2 – 9n2 + 9 = n2(n2 – 1)- 9(n2 – 1) = (n2 – 1)(n2 - 9) = (n – 1)(n+1)(n-3)(n+3) Víi n lÎ, n = 2k +1, ta cã: n4 – 10n2 + 9 = (2k +1 – 1)(2k + 1+1)(2k + 1 – 3)( 2k + 1 +3) = 2k(2k+2)(2k-2)(2k+4)= 16k(k+1)(k-1)(k+2) 16 Bµi 2: Chøng minh r»ng a/ n6 + n4 -2n2 chia hÕt cho 72 víi mäi sè nguyªn n b/ 32n – 9 chia hÕt cho 72 víi mäi sè nguyªn d­¬ng n Gi¶i: Ta cã: A= n6 + n4 -2n2 = n2(n4+n2 -2)= n2(n4 + 2n2 –n2 – 2)= n2[(n2 +2)- (n2 +2)] = n2(n2 + 2)(n2 – 1). Ta l¹i cã: 72 = 8.9 víi (8,9) = 1 XÐt c¸c tr­êng hîp: + Víi n = 2kA = (2k)2(2k + 1) (2k -1)(4k2 +2) = 8k2(2k + 1) (2k -1)(2k2 +1) 8 + Víi n = 2k +1 A = (2k + 1)2(2k +1 – 1)2= (4k2 + 4k +1)4k2 8 T­¬ng tù xÐt c¸c tr­êng hîp n = 3a, n= 3a 1 ®Ó chøng minh A9 VËy A8.9 hay A72 Bµi 3: Cho a lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3. Chøng minh r»ng a2 – 1 chia hÕt cho 24 Gi¶i: V× a2 lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3 nªn a lÎa2 lµ sè chÝnh ph­¬ng lÎ a2 chia cho 8 d­ 1 a2 – 1 chia hÕt cho 8 (1) MÆt kh¸c a lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3 a kh«ng chia hÕt cho 3 a2 lµ sè chÝnh ph­¬ng kh«ng chia hÕt cho 3a2 chia cho 3 d­ 1 a2 – 1 chia hÕt cho 3 (2) Mµ (3,8) = 1 (3) Tõ (1), (2), (3) a2 – 1 chia hÕt cho 24 Bµi 4: Chøng minh r»ng: NÕu sè tù nhiªn a kh«ng chia hÕt cho 7 th× a6 -1 chia hÕt cho 7 Gi¶i: Bµi to¸n lµ tr­êng hîp ®Æc biÖt cña ®Þnh lý nhá PhÐc ma: - D¹ng 1: NÕu p lµ sè nguyªn tè vµ a lµ mét sè nguyªn th× ap – a chia hÕt cho p - D¹ng 2: NÕu a lµ mét sè nguyªn kh«ng chia hÕt cho sè nguyªn tè p th× ap-1-1 chia hÕt cho p ThËt vËy, ta cã a6 -1 = (a3 + 1) (a3 - 1) NÕu a = 7k 1 (k N) th× a3 = ( 7k 1)3 = BS7 1 a3 - 17 NÕu a = 7k 2 (k N) th× a3 = ( 7k 2)3 = BS7 23 = BS7 8 a3 - 17 NÕu a = 7k 3 (k N) th× a3 = ( 7k 3)3 = BS7 33 = BS7 27 a3 + 17 Ta lu«n cã a3 + 1 hoÆc a3 – 1 chia hÕt cho 7. VËy a6 – 1 chia hÕt cho 7 Bµi 5: Chøng minh r»ng: NÕu n lµ lËp ph­¬ng cña mét sè tù nhiªn th× (n-1)n(n + 1) chia hÕt cho 504 Gi¶i: Ta cã 504 = 32 . 7.8 vµ 7,8,9 nguyªn tè cïng nhau tõng ®«i mét V× n lµ lËp ph­¬ng cña mét sè tù nhiªn nªn ®Æt n = a3 CÇn chøng minh A=(a3-1)a3(a3 + 1) chia hÕt cho 504 Ta cã: + NÕu a ch½n a3 chia hÕt cho 8 NÕu a lÎ a3-1vµ a3 + 1 lµ hai sè ch½n liªn tiÕp(a3-1) (a3 + 1) chi hÕt cho 8 VËy A8 , nN (1) + NÕu a7 a37 A7 NÕu a kh«ng chia hÕt cho 7 th× a6 – 17(a3-1) (a3 + 1) 7(§Þnh lÝ PhÐc ma) VËy A7 , nN (2) + NÕu a3 a39 A9 NÕu a kh«ng chia hÊe cho 3 a = 3k 1 a3 = ( 3k 3)3= BS91 a3 – 1 = BS9+1 – 1 9 a3 + 1 = BS9- 1 + 1 9 VËy A9 , nN (3) Tõ (1), (2), (3) A9 , nN Bµi 6: T×m sè tù nhiªn n ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau lµ sè nguyªn tè: a/ 12n2 – 5n – 25 b/ 8n2 + 10n +3 c/ Gi¶i: a/ Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: 12n2 – 5n – 25 = 12n2 +15n – 20n – 25 = 3n(4n + 5) – 5(4n +5) = (4n +5)(3n –5) Do 12n2 – 5n – 25 lµ sè nguyªn tè vµ 4n +5 > 0 nªn 3n – 5 > 0. Ta l¹i cã: 3n – 5 < 4n +5(v× n 0) nªn ®Ó 12n2 – 5n – 25 lµ sè ng­yªn tè th× thõa sè nhá ph¶i b»ng 1 hay 3n – 5 = 1 n = 2 Khi ®ã, 12n2 – 5n – 25 = 13.1 = 13 lµ sè nguyªn tè. VËy víi n = 2 th× gi¸ trÞ cña biÓu thøc 12n2 – 5n – 25 lµ sè nguyªn tè 13 b/ 8n2 + 10n +3 = (2n – 1)(4n + 3) BiÕn ®æi t­¬ng tù ta ®­îc n = 0. Khi ®ã, 8n2 + 10n +3 lµ sè nguyªn tè 3 c/ A = . Do A lµ sè tù nhiªn nªn n(n + 3) 4. Hai sè n vµ n + 3 kh«ng thÓ cïng ch½n. VËy hoÆc n , hoÆc n + 3 chia hÕt cho 4 - NÕu n = 0 th× A = 0, kh«ng lµ sè nguyªn tè - NÕu n = 4 th× A = 7, lµ sè nguyªn tè -NÕu n = 4k víi kZ, k > 1 th× A = k(4k + 3) lµ tÝch cña hai thõa sè lín h¬n 1 nªn A lµ hîp sè - NÕu n + 3 = 4 th× A = 1, kh«ng lµ sè nguyªn tè - NÕu n + 3 = 4k víi kZ, k > 1 th× A = k(4k - 3) lµ tÝch cña hai thõa sè lín h¬n 1 nªn A lµ hîp sè. VËy víi n = 4 th× lµ sè nguyªn tè 7 Bµi 7: §è vui: N¨m sinh cña hai b¹n Mét ngµy cña thËp kû cuèi cïng cña thÕ kû XX, mét nh­ê kh¸ch ®Õn th¨m tr­êng gÆp hai häc sinh. Ng­êi kh¸ch hái: Cã lÏ hai em b»ng tuæi nhau? B¹n Mai tr¶ lêi: Kh«ng, em h¬n b¹n em mét tuæi. Nh­ng tæng c¸c ch÷ sè cña n¨m sinh mçi chóng em ®Òu lµ sè ch½n. VËy th× c¸c em sinh n¨m 1979 vµ 1980, ®óng kh«ng? Ng­êi kh¸ch ®· suy luËn thÕ nµo? Gi¶i: Ch÷ sè tËn cïng cña n¨m sinh hai b¹n ph¶I lµ 9 vµ 0 v× trong tr­êng hîp ngùoc l¹i th× tæng c¸c ch÷ sè cña n¨m sinh hai b¹n chØ h¬n kÐm nhau lµ 1, kh«ng thÓ cïng lµ sè ch½n. Gäi n¨m sinh cña Mai lµ th× 1 +9+a+9 = 19 + a. Muèn tæng nµy lµ sè ch½n th× a{1; 3; 5; 7; 9}. HiÓn nhiªn Mai kh«ng thÓ sinh n¨m 1959 hoÆc 1999. VËy Mai sinh n¨m 1979, b¹n cña Mai sinh n¨m 1980. Chúc các bạn học tốt!!!