Chuyên đề phương trình hàm

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM Dạng 1: Tìm f(x) , biết = v(x) Đặt t = u(x) , tính x theo t : x = (t) Thế vào biểu thức đã cho ta được f(t) = Khi đó thay t bởi x ta được : f(x) Ví dụ 1: Tìm hàm số f(x) biết : 1, f(2x + 1) = 7x + 5 2, Hướng dẫn giải 1, Đặt t = 2x + 1 Hệ thức đã cho trở thành : f(t) = Vậy f(x) = 2, Đặt t = Do đó f(t) = Vậy f(x) = Bài tập tự luyện: 1, Tìm hàm f(x) biết : a) Nhân lượng liên hợp . ĐS: b) Hướng dẫn giải Đặt Dạng 2: Tìm f(x) biết Từ hệ thức đã cho suy ra hệ thức mới chỉ chứa và Ta được hệ pt chứa 2 ẩn và Giải hệ này ta đưa bài toán về dạng 1. Ví dụ 1: * a.f(x) + b.f(–x) = C Thay x bởi – x ta được a.f(–x) + b.f(x) = C * a.f(x) + bf = C Thay x bởi ta được a.f ta được a.f + b.f(x) = C Ví dụ 2: Tìm hs f(x) biết : 1, 2.f(x) – f(–x) = 2, (x – 1) f(x) + = Hướng dẫn giải 1, Ta có : 2.f(x) – f(–x) = (1) Thay x bởi – x thì đẳng thức trở thành (2) Nhân 2 vào hai vế của (1) xong cộng với (2) theo từng vế ta được 2, Ta có : (x – 1).f(x) + (3) Thay x bởi thì đẳng thức này thành: Hay (4) Nhân vào hai vế của (3) ta được: (5) Lấy (4) trừ (5) theo từng vế ta được: Suy ra : Bài tập tự luyện: Bài 1: Tìm hàm f(x) biết : a) Thay x bởi – x ta được: (2) Từ (1) và (2) ta có hệ: b) f(x) là một đa thức bậc ba thỏa: Hướng dẫn giải Vì f(0) = 0 (1) = = Cách khác : Bài 2 : Tìm hàm số f(x) biết rằng Hướng dẫn giải Đặt Thay và vào pt của đề bài ta có: Đổi k/h biến số ta được: với Bài 3: Cho h/số f(x) xđ với tìm h/số này biết rằng Hướng dẫn giải Đặt với Thay và vào (*) ta được Đổi u thành x ta được ta được hệ : * * x = 1 ta thay x = 1 vào (1) : f(1) + f(1) = 2 f(1) = 1 Tóm lại: Bài 3 Tìm ( xác định) h/số f(x) thỏa: với mọi x, y (*) Hướng dẫn giải Thay x = 0 , y= 0 vào (*) ta có : Với (2) Từ (1), (2) Thay y = – x vào (*) Lại cho y = 0 Ta có (3) theo (5) Từ (4) và (6) ta suy ra : . Đảo lại xem h/số Ta nhận thấy f(x) thỏa yêu cầu của bài toán. Vậy Dạng 3: Tìm hai hàm f(x) và g(x) biết: Khử f hoặc g để đưa về dạng 2 hoặc dạng 1 và g(x) Ví dụ : Khử f : Trong (1) đặt t = u(x) thì nên (1) thành Trong (2) cũng đặt t = p(x) thì nên (2) thành Từ (3) và (4) khử f(t) Ví dụ 1: Tìm hai hàm f(x) và g(x) sao cho: Hướng dẫn giải Đặt t = x + 1 x = t – 1 và do đó (1) trở thành: Lại đặt do đó (2) trở thành: (4) Cộng (3) và(4) theo từng vế ta được: Suy ra f(t) = 2t – 1 với 2t – 1 . Vậy f(x) = 2x – 1 Mặt khác thay f(t) = 2t – 1 vào (4) ta được: Vậy g(x) = x + 10 Bài tập: Tìm các hàm f(x) và g(x), biết: Hướng dẫn giải Đặt u = x + 6 x = u – 6 Thay x = u – 6 vào (1) ta có : Đặt Thay x = 2t – 2 vào (2) , ta có: f(t) + g(2t+3) = 2t + 2 (4) Đổi u và t thành x, ta có: Giải hệ ta được và Đặt y = 2x + 3 Thay vào biểu thức của g ta được: Tóm lại ta đã tìm được f(x) và g(x) như sau: b) Đặt u = 2x – 1 1 – x = Đặt Từ (1),(2) Thay vào (1) ta có : Đặt t = BÀI TẬP NÂNG CAO Bài 1: Tìm hàm số y = f(x) biết rằng: f(x.y) + f(x – y) + f(x + y + 1) = x.y + 2x +1 Hướng dẫn giải Xét pt : f(x.y) + f(x – y) + f(x + y + 1) = x.y + 2x +1 (1) Từ (1) cho y = – 1 , y = 0 ta được: (2) (3) Từ (2), (3) Đặt t = – x Đặt g(t) = f(t) – t ta có g(t) = f(0) – 0 = g(0) Để tính g(0) ta viết (1) dưới dạng Lấy x = y = 0 Do g(t) = g(0) Do đó : Bài 2: Cho hàm f(x) với biến số thực x, không đồng nhất 0 thỏa pt: f(x).f(y) = f(x – y) Tìm f(x) Hướng dẫn giải Cho x = a với ta có : (*) a tồn tại vì f(x) không đồng nhất 0 Thay y = 0 ta có : Thay y = x từ (*) (2) Thay y = từ (*) (3) Từ (2) và (3) Vậy f(x) = 1 Bài 3: Tìm hàm số f(x) nếu: Hướng dẫn giải Trong (1) cho x = 0 , y = t ta có: Trong (1) cho x = ta có: (3) Trong (1) cho ta có: (4) Cộng (2) với (3) ta được: (5) Lấy (5) trừ (4) ta được : (6) Rõ ràng (6) thỏa mãn (1) và Vậy hàm cần tìm là: Bài 4: Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa điều kiện . Tìm hàm số f(x) Hướng dẫn giải Theo đề bài suy ra: Khi thì Mà f(x) là hàm liên tục nên Tức là : . Điều đó chứng tỏ f(x) không đổi với mọi x hay f(x) = c = hằng số Thử lại ta được f(x) = c thỏa điều kiện đề bài Bài 5: Tìm hàm f(x) biết Hướng dẫn giải Đặt Hay Như thế f(x) và là nghiệm của hệ: Giải hệ (1) và (2) bằng cách khử ta được Bài 6: Cho hàm số f(x) xác định trên R và bị chặn trong với a là số dương cho trước và thỏa điều kiện: Hãy tìm hàm số f(x) Hướng dẫn giải Từ (1) suy ra: f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cộng các đẳng thức trên vế theo vế ta được: Với bất kỳ x nào, ta chỉ cần chọn n đủ lớn , ta sẽ có: Mặt khác vì f(x) bị chặn trong khoảng nên tồn tại số c sao cho Từ (2) ta cho n thì ta được : Vậy . Thử lại thấy hàm số này thỏa yêu cầu đề bài. Bài 7: Tìm các hàm số f xác định và đồng biến trên R thỏa hệ thức sau: với mọi (1) Hướng dẫn giải Thay vào (1) ta có : (2) Thay x = y =0 (3) Từ (2) và (3) (4) Do f đồng biến trên R nên Do đó Thay x = vào (1) ta được: f(0) = Từ (5) f(0) = f(y) – 2y (7) Từ (6) , (7) Thử lại thấy f(x) = 2x + thỏa yêu cầu đề ra Bài 8: Tìm hàm số y = f(x) thỏa điều kiện Giải Từ Ta có Vậy : ( C là hằng số ) Vậy Bài 9: Hãy tìm hàm số y = f(x) biết rằng Giải Do f’(1) = 1 Vậy Bài 10: Cho P(x) là một đa thức bậc n thỏa mản điều P(x) 0 x CMR: P(x) + P’(x) + P”(x) + . . . + P(n)(x) 0 x Giải Do P(x) 0 x vậy nếu gọi P(x) = anxn + an – 1 xn – 1 + . . . + a1x + ao thì n là số chẵn và an > 0 Xét hàm số : F(x) = P(x) + P’(x) + P”(x) + . . . + P(n)(x) Khi đó F(x) cũng là một đa thức bấc n, với hệ số của xn cũng chính là an Do F(x) là hàm liên tục và an > 0 n chẵn, nên F(x) phải đạt giá trị bé nhất Giả sử minF(x) = F(xo) khi đó ta có F’(xo) = 0 Do P(n + 1)(x) 0 F’(x) = P’(x) + P”(x) + . . . + P(n)(x) F’(x) = F(x) – P(x) Như vậy từ F’(xo) = 0 F(xo) = P(xo) Do P(x) 0 x F(xo) = P(xo) 0 Hiển nhiên ta có F(x) F(xo) x F(x) 0 x đfcm ĐỀ HỌC SINH GIỎI CÁC NĂM TRƯỚC Đề 1: ( 2008) Cho hàm số f : R R thỏa mãn 3 tính chất sau: 1. f(1) = 1 2. f( x + y ) – f(x) – f(y) = 2xy 3. f() = Tính Giải Từ tính chất 2 cho x = 0 f(y) – f(0) – f(y) = 0 f(0) = 0 (1) Đặt x = y = ta được : f(t) – 2f() = (2) Tương tự đặt x = y = ( ) ta được : Theo tính chất 3 ta suy ra Từ (2) và (3) ta có hệ Thử lại hàm số nầy thỏa mãn cả ba tính chất . Vậy Đề 2: Cho tam thức bậc hai f(x) = x2 + px + q với p, q là các số nguyên. CMR Tồn tại số nguyên K để f (K) = f( 2009 ) . f( 2010 ) Giải Ta chứng minh: f [ f(x) + x ] = f(x). f( x + 1) Thật vậy : f [ f(x) + x ] = [ f(x) + x ]2 + p [ f(x) + x ] + q = f2(x) + 2f(x).x + x2 + p.f(x) + p(x) + q = f(x) [ f(x) + 2x + p ] + x2 + px + q = f(x) [ f(x) + 2x + p ] + f(x) = f(x) [ f(x) + 2x + p + 1 ] = f(x) [ x2 +px + q +2x + p + 1 ] = f(x) [ (x +1)2 + p(x + 1) + q ] = f(x). f(x + 1) Vậy f [ f(x) + x ] = f(x). f(x + 1) Với x = 2009 đặt K = f (2009) + 2009 ( K ) Thế thì: f ( K ) = f [ f( 2009) + 2009 ] = f ( 2009).f ( 2009 + 1) = f ( 2009).f ( 2010) Vậy số K cần tìm là K = f ( 2009) + 2009 - - - - - Hết - - - - - Biên soạn: LÊ VĂN QUANG _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ A/ MỤC TIÊU: Cung cấp cho học sinh một số cách tìm hàm số đơn giản và một số đề thi học sinh giỏi trong tỉnh nhằm nâng cao và mở rộng kiến thức cho học sinh khá giỏi Là tài liệu nội bộ cho giáo viên trong tổ tham khảo B/ NỘI DUNG: Chủ đề gồm có 2 phần: Các cách tìm hàm số đơn giản Các dạng bài tập luyện tập và bài tập nâng cao