Chuyên đề một vài loại dãy truy hồi

) Hướng dẫn: nghiệm riêng * nu có dạng: * os sin4 4n n n u ac bpi pi= + , a=1, b=0. * Trường hợp 4: 1 2 ...n n n nkf f f f= + + + Trong trường hợp này ta tìm nghiệm riêng * niu ứng với từng hàm: nif , i=1,2,k Nghiệm riêng *nu ứng với hàm nf là: * * * * 1 2 ...n n n nku u u u= + + + CHUYÊN ðỀ: MỘT VÀI LOẠI DÃY TRUY HỒI MAI XUÂN HUY NGUYỄN TẤT PHONG 13 Bài5: Tìm số hạng tổng quát của dãy số sau: 4 3 2 1 3 33 3 3 2 sin cos 10.2 2 2 3 2 3 n n n n n n n n u u u u u pi pi + + + +− + − + = − + + Vấn ñề 3: Trở lại với dãy tựa afine: 1n n nau bu f+ + = (3.1) với ,a b là các hằng số khác 0 cho trước và nf là một hàm số biến là n . Nếu hàm nf là một hàm số bất kì thì liệu bài toán có giải quyết ñược một cách trọn vẹn hay không? Bằng phương pháp biến thiên hằng số, ta có thể tìm ñược lời giải cho bài toán trên như sau: Số hạng tổng quát của dãy: 1 0n nau bu+ + = (cấp số nhân) là: nnu Cλ= trong ñó b a λ = − . ðể tìm nghiệm riêng của (3.1) ta xem C biến thiên theo n nghĩa là C là một hàm của n và tìm nn nu C λ= . Thay vào (3.1) ta ñược: 1 1 n n n n naC bC fλ λ++ + = Suy ra: 1 ( )n nn n n b aC bC f a λ λ+ − + = 1( )n n n nb C C fλ +− − = 1( ) nn n n fC C bλ+ − = − Lấy tổng hai vế từ 0 ñến 1n − ta ñược: 1 0 0 1 n k n k k fC C b λ − = = − ∑ Do ñó nghiệm riêng của dãy là: 1 * 0 0 1 n nk n k k f u C b λλ − =   = −    ∑ Vậy số hạng tổng quát của dãy là: 1 0 0 1 nn nk n k k f u C C b λ λλ − =   = + −    ∑ , C const= , 0C phụ thuộc vào 0u Ví dụ 8: Tìm số hạng tổng quát của dãy: 2 1 15 ( 3 1) ! 5n n u u n n n+ = + − + 1 0u = Ta có: *1, 5 5nn na c u C= = − ⇒ = Theo công thức trên ta có: 21 0 0 1 [( 1) 5 ] !( ) 5 5.5 n n k k k k kC C − = + − = − − ∑ CHUYÊN ðỀ: MỘT VÀI LOẠI DÃY TRUY HỒI MAI XUÂN HUY NGUYỄN TẤT PHONG 14 = 21 0 2 0 [( 1) 5 ] ! 5 n k k k k kC − + = + − +∑ = 1 0 ( 1) 1 1 0 [( 1)( 1)! . ! 5 5 n k k k k k k kC − + + + = + + + −∑ 1 . !0 0 5n n n + = + − 1 . ! 5n n n + = Do ñó: 1 . ! . !5 5 5 5 5 n n n n n n n n n u C C + = + = + 0 0 0u C= ⇒ = Vậy số hạng tổng quát của dãy là: . ! 5n n n u = Bài tập ñề nghị(Bài 6) Tìm số hạng tổng quát của dãy: 1. 21 0( 1) !, 0n nu u n n n u+ = + + + = Vấn ñề 4: Dãy tựa afine với hệ số biến thiên: 1n n n nu q u f+ = + 0,1,2...n = Nghiệm tổng quát của dãy có dạng: * n n nu v v= + trong ñó nv là nghiệm cơ bản của dãy: 1n n nu q u+ = và *nv là nghiệm riêng của dãy. Dễ tìm ñược 1 1 n n i i u C q − = = ∑ và * nv ñược tìm bằng phương pháp biến thiên hằng số như ở vấn ñề 3. Ví dụ 9: Tím số hạng tổng quát của dãy: 1 1 . ! 9 8 n nu nu n n u + = +  = Giải: Nghiệm cơ bản của dãy: 1n nv nv+ = là ( 1)!nv C n= − Do ñó nghiệm riêng của dãy có dạng: * ( 1)!n nv C n= − Thay vào dãy ta ñược: 1n nC C n+ = + Từ ñó: 21 1( ) 2 2n C n= − Suy ra : 21 1( 1)! ( ) ( 1)! 2 2n u C n n n= − + − − CHUYÊN ðỀ: MỘT VÀI LOẠI DÃY TRUY HỒI MAI XUÂN HUY NGUYỄN TẤT PHONG 15 Do 1 9 8 u = nên 1C = Vậy số hạng tổng quát của dãy là: 21 1( 1)! ( ) ( 1)! 1 2 2n u n n n n= − + − − ≥ III.Dãy truy hồi có dạng: ( )1n nu f u+ = Phần này ta sẽ khảo sát loại dãy truy hồi có dạng: ( )1n nu f u+ = .Rõ ràng tính chất của dãy { }nu hoàn toàn phụ thuộc vào hàm f và phần tử xuất phát 0u . Giả sử :f M M→ là một ánh xạ cho trước và 0u M∈ 1. f ñơn ñiệu trên M. + Nếu f ñơn ñiệu tăng trên M. Nếu 0 1 0 1 1 2( ) ( )u u f u f u u u≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤ . Từ ñó dễ chứng minh ñược ( ) 0n nu ≥ là một dãy tăng Hoàn toàn tương tự nếu ( )0 1 1 0n n n nu u u u u+ ≥≥ ⇒ ≤ ⇒ là một dãy giảm +Nếu f ñơn ñiệu giảm trên M Khi ñó ta xét ánh xạ tích 2 .f f f= là một hàm tăng trên M Áp dụng kết quả trên ta có: -Nếu 0 2u u≤ ⇒ dãy con { }2 0n nu ≥ là một dãy tăng và { }2 1 0n nu + ≥ là 1 dãy giảm . -Nếu 0 2u u≥ ⇒ dãy con { }2 0n nu ≥ là một dãy giảm và { }2 1 0n nu + ≥ là 1 dãy tăng . 2. f liên tục trên M và M ñóng trong ℝ Giả sử { } 0n nu ≥ hội tụ và nếu nó hội tụ vềα thì Mα ∈ (do M ñóng trong ℝ ) Vì f liên tục trên M nên ( ){ } 0n nf u ≥ hội tụ về ( )f α .Do ñó : ( )fα α= α⇒ là một nghiệm M∈ của phương trình: ( )f α α= Ví dụ 10: Hãy khảo sát dãy số { } 0n nu ≥ với 0 1 21, 1 n n n u u u u += = + 0n∀ ≥ Giải: Nhận thấy { } 00n n nu n u ≥≥ ∀ ⇒ là 1 dãy dương . Ta có : 3 1 2 2 0 01 1 n n n n n n n u u u u u n u u + − = − = − < ∀ ≥+ + 1 0n nu u n+⇒ < ∀ ≥ ⇒ dãy { } 0n nu ≥ là 1 dãy giảm thực sự. Rõ ràng { } 0n nu ≥ nằm trong ñoạn [ ]0,1 và ( ) 1 xf x x = + là ánh xạ liên tục trên [ ]0,1 Do ñó giới hạn a của dãy { } 0n nu ≥ là nghiệm của pt: ( )f a a= với [ ]0,1 0 1 a a a a a ∈ ⇒ = ⇔ = + Vậy dãy ñã cho là dãy ñơn diệu giảm thực sự,bị chặn và có giới hạn là a=0 Ví dụ 11: Cho dãy { } 0n nu ≥ xác ñịnh như sau : CHUYÊN ðỀ: MỘT VÀI LOẠI DÃY TRUY HỒI MAI XUÂN HUY NGUYỄN TẤT PHONG 16 1 2u = 12 2n nu u n−= + ∀ ≥ Hãy xác ñịnh giới hạn của dãy : lim n x u →∞ Giải:Rõ ràng dãy ñã cho là một dãy dương Xét ánh xạ: ( ) 2f x x= + trên ( )0,+∞ ( ) 1 0 2 2 f x x ′⇒ = > + ( )0,x∀ ∈ +∞ ⇒ f ñơn ñiệu tăng trên ( )0,+∞ mà 2 12 2 2u u= + > = Do ñó ta có: 1 2n nu u n+ > ∀ ≥ ⇒ dãy số ñã cho là dãy số tăng Theo nguyên lý quy nạp ta có: 2nu < (1) n N∀ ∈ Tuy vậy : + ( )11 2 2 1n u= ⇒ = < ⇒ ñúng +Giả sử (1) ñúng ñến n K= tức là : 2ku < .ta sẽ chứng minh (1) ñúng với 1n k= + Tức là : 1 2ku + < Ta có : 1 2 2 2k ku u+ = + < + (theo giả thiết quy nạp) ⇒ 1 2ku + < (ñpcm) { }nu là một dãy tăng và bị chặn trên bởi 2 do ñó lim n n u a →∞ ∃ = Do ánh xạ ( ) 2f x x= + liên tục từ )2,2 vào )2,2 nên ta có giới hạn a là nghiệm của phương trình : ( )f a a= ⇒ )2,2 22 2 0 2a a a a a= + ⇔ − − = ⇔ = (do 2α ≥ ) Vậy lim 2n n u →∞ = Ví dụ 12: Cho dãy { } 0n nu ≥ xác ñịnh như sau: 1 2 1 1 1 2007 n n n u u u u n+ = = + ∀ ≥ Tìm 1 2 2 3 1 lim ... n n n uu u u u u→∞ +   + + +    Giải: Theo giả thiết ta có : 2 1 1 1 1 12007 1 2007 n n n n n n n u u u u n u u u + + +   − = ⇔ = − ∀ ≥    Do ñó : ( )1 2 12 3 1 1 1 1 1 1 ... 2007 2007 1 1 n n in i i n uu u u u u u u u =+ + +     + + + = − = −        ∑ Mà 2 1 2007 n n n n u u u u+ = + > (do 0 0nu n> ∀ ≥ ) { }nu⇒ là một dãy ñơn ñiệu tăng Giả sử { }nu bị chặn trên . Khi ñó ∃ lim n x u →∞ = a >1 (a hữu hạn ) CHUYÊN ðỀ: MỘT VÀI LOẠI DÃY TRUY HỒI MAI XUÂN HUY NGUYỄN TẤT PHONG 17 Ánh xạ ( ) 2 2007 xf x x= + liên tục từ ( )1,+∞ và ( )1, +∞ .Do ñó a là nghiệm của phương trình ( )f a a= trên ( )1,+∞ ⇒ ( ) 2 0 1, 2007 a a a a= + ⇔ = ∉ +∞ (vô lý ) ⇒ { } 0n nu ≥ không bị chặn trên ⇒ lim nn u→+∞ = +∞ (do { }nu tăng) ⇒ 1lim 0 n nu →∞ = . Từ (1) ta có : 1 2 2 3 1 lim ... n n n uu u u u u→∞ +   + + +    = 1 1lim 2007 1 2007 n nu →∞ +   − =    Ví dụ 13: Khảo sát sự hội tụ và tính giới hạn (nếu có) của dãy { } 0n nu ≥ xác ñịnh bởi công thức: 1 1 1 (1 ) n n n A u u u α α α α − − − = − + , n=1,2, với 0u cho trước, 0A > , 0 1α< < là các hằng số cho trước. Giải: Xét hàm số: 1( ) (1 ) Af y y y α α α α − = − + 1 '( ) (1 )(1 )f y Ay αα −= − − Ta có bảng biến thiên: y 0 Aα +∞ '( )f y - 0 + ( )f y +∞ +∞ Aα Từ ñó suy ra: ( ) ( )f y f A Aα α≥ = (1) Vì 0 1 0 1nu u n> ⇒ > ∀ ≥ . Từ (1) suy ra 1, 2...nu A nα≥ ∀ = Mặt khác ta có: 1 1 1 1 1( ) 0 2n n n nu u u A u n α α αα − − − − − = − ≤ ∀ ≥ Do ñó: { } 0n nu ≥ là dãy không tăng và bị chặn dưới nên nó có giới hạn hữu hạn. Giới hạn ñó là nghiệm của phương trình: ( )f y y= trên (0, )+∞ . Giải phương trình này ta ñược nghiệm: y Aα= Vậy giới hạn của dãy số ñã cho là: y Aα= CHUYÊN ðỀ: MỘT VÀI LOẠI DÃY TRUY HỒI MAI XUÂN HUY NGUYỄN TẤT PHONG 18 IV. Dãy truy hồi quy về hàm lượng giác: Ta xét một số ví dụ sau: Ví dụ 14: Cho dãy { } 0n nu ≥ thỏa mãn ñiều kiện: 01 1u− < < , 11 2 n n u u − + = . Hai dãy n{ },{w }nv xác ñịnh như sau: nv 4 (1 )n nu= − và n 1 2w ... nu u u= Tìm lim n n v →∞ và lim w n n→∞ Giải: Chọn ( , )oα pi∈ sao cho 0 osu c α= 1 1 os u os 2 2 c c α α+ ⇒ = = 2 1 1 24(1 ) 4.2sin 2v u α ⇒ = − = Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh ñược: n os 2n u c α = , 2 n+14 .2sin 2 n nv α = Do ñó: 2 lim 2nn v α →∞ = n 1 2 sin w ... 2 sin 2 n n n u u u α α = = sinlim w n n α α→∞ = Bài tập ñề nghị:(Bài 7) 1. Cho 0 02, 1u v= = . Lập hai dãy số theo quy tắc sau: 1 2 n n n n n u v u u v + = + và 1 1n n nv u v+ += a. Lập công thức số hạng tổng quát của dãy. b. Tìm lim n n u →∞ và lim n n v →∞ ðáp sô: Công thức số hạng tổng quát của hai dãy là: 1 n 2 n n 1 2 3 tan 3 2 .3os os os... os 2.3 2 .3 2 .3 2 .3 n n u c c c c pi pi pi pi pi + = = 1 n 2 n 1 2 3 sin 3 2 .3os os os... 2.3 2 .3 2 .3 n n v c c c pi pi pi pi + = = Từ ñó tính: lim n n u →∞ và lim n n v →∞ 2.Cho dãy n 1{u }n ≥ thỏa mãn: 1u 1= 2 1 1 1 1 2n n u u+ = − − CHUYÊN ðỀ: MỘT VÀI LOẠI DÃY TRUY HỒI MAI XUÂN HUY NGUYỄN TẤT PHONG 19 Chứng minh rằng tồn tại duy nhất số A sao cho dãy n u{v }={ }(n )n nA ∈ℕ có giới hạn khác 0. ***** Trên ñây là một số dạng dãy truy hồi thường gặp trong toán học sơ cấp. Hy vọng sau bài viết này chúng ta sẽ có ñược những kiến thức cơ bản nhất về một số loại dãy truy hồi và ứng dụng của chúng. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Dương Quốc Việt (Chủ biên)-ðàm Văn Nhỉ, Giáo trình ðại số sơ cấp-Nhà xuất bản ðại học sư phạm 2007. 2. Phan Huy Khải, 10000 bài toán sơ cấp về dãy số-Nhà xuất bản Hà Nội. 3. Tuyển tập 30 năm tạp chí toán học và tuổi trẻ-Nhà xuất bản Giáo dục. 4. Lê ðình Thịnh (Chủ biên), Phương trình sai phân và một số ứng dụng-Nhà xuất bản Giáo dục.