Chuyên đề Một số phương pháp giải toán phân tích đa thức thành nhân tử

hạng tử Phương pháp này vận dụng một cách thích hợp tính chất giao hoán, tính chất kết hợp của phép cộng, để làm xuất hiện từng nhóm các hạng tử có nhân tử chung, rồi sau đó vận dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng. Sau đây là một số ví dụ : Bài 8 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A= 4x5 +6x3 +6x2 +9 Giải: Ta có : A= 4x5 +6x3 +6x2 +9 = 2x3(2x2 + 3) + 3(2x3 + 3) = (2x3 + 3)(2x2 + 3) Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x2 + 2x + 1 – y2 Giải: Ta có: B = x2 + 2x + 1 – y2 = (x2 + 2x + 1) – y2 = (x + 1)2 – y2 =(x +1 – y)(x + 1 + y ) Bài 10 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x2 + 2xy + y2 – xz - yz Giải: Ta có : A = x2 + 2xy + y2 – xz - yz = (x2 + 2xy + y2) – (xz + yz) = (x + y)2 – z(x + y) = (x + y)(x + y – z) Bài 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = 2xy + z + 2x + yz Giải: Ta có : P = 2xy + z + 2x + yz = (2xy + 2x) + (z + yz) = 2x(y + 1) + z(y + 1) = (y + 1)(2x + z) 2.3. Phương pháp dùng hằng đẳng thức đáng nhớ Phương pháp này dùng hằng đẳng thức để đưa một đa thức về dạng tích, hoặc luỹ thừa bậc hai, bậc ba của một đa thức khác. Các hằng đẳng thức thường dùng là : A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 - 2AB + B2 = (A - B)2 A2 - B2 = (A + B) (A - B) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 A3 - B3 = (A - B)( A2 + AB + B2) A3 + B3 = (A + B)( A2 - AB + B2) Sau đây là một số bài tập cụ thể: Bài 12: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x4 + x2y2 + y4 Giải: Ta có : A = x4 + x2y2 + y4 = (x4 + 2x2y2 + y4) - x2y2 = (x2 + y2)2 - x2y2 = (x2 + y2 + xy)(x2 + y2 – xy) Bài 13: Phân tích đa thức sau thành nhân tử M = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2 Giải: Ta có : M = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 + (x2 – x + 1)2 = (x2 + 1)2 – x2 + (x2 – x + 1)2 = (x2 – x + 1) (x2 + x + 1) + (x2 – x + 1)2 = (x2 – x + 1) (x2 + x + 1 + x2 – x + 1) = 2(x2 – x + 1)(x2 + 1) Bài 14: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (x + y)3 +(x - y)3 Giải: Dựa vào đặc điểm của vế trái và áp dụng hằng đẳng thức ta sẽ có cách khác giải như sau : Cách 1: A = (x + y)3 +(x - y)3 = ((x + y) +(x - y))3 – 3((x + y) +(x - y)) (x + y)(x - y) = 8x3 – 3.2x(x2 – y2) = 2x(4x2 – 3(x2 – y2)) = 2x(x2 + 3y2) Cách 2: A = (x + y)3 +(x - y)3 = ((x + y) +(x - y))((x + y)2 – (x + y)(x – y) + (x – y)2 = 2x(2(x2 + y2) - (x2 – y2)) = 2x(x2 + 3y2) Bài 15: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = 16x2 + 40x + 25 Giải: Ta có: A = 16x2 + 40x + 25 = (4x)2 + 2.4.5.x + 52 = (4x + 5)2 .2.4. Phương pháp thực hiện phép chia: Nếu a là một nghiệm của đa thức f(x) thì có sự phân tích f(x) = (x – a).g(x) ,g(x) là một đa thức. Để tìm g(x), ta chia f(x) cho (x – a). Sau đó lại phân tích tiếp g(x). Sau đây là một số ví dụ cụ thể: Bài 16: Phân tích đa thức sau thành nhân tử f(x) = x5 + 6x4 + 13x3 + 14x2 + 12x + 8 Giải: Dễ thấy: f(-2) = (-2)5 + 6(-2)4 + 13(-2)3 + 14(-2)2 + 12(-2) + 8 = 0 Nên chia f(x) cho (x + 2), ta được: f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4) = (x + 2).g(x) Dễ thấy: g(x) = x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 có g(-2) = 0 Nên chia g(x) cho (x + 2), ta được: g(x) = (x + 2)(x3 + 2x2 + 2x + 2) Đặt h(x) = x3 + 2x2 + 2x + 2. Ta có: h(-2) = 0 Nên chia h(x) cho(x + 2), được: h(x) = (x + 2)(x2 + 1) Vậy: f(x) = (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x2 + 1) = (x + 2)3(x2 + 1) Khi thực hiện phép chia f(x), g(x), h(x) cho (x + 2), ta có thể sử dụng sơ đồ Hoocne để thực hiện phép chia được nhanh hơn. Ví dụ chia f(x) cho (x + 2) như sau : 1 6 13 14 12 8 -2 1 4 5 4 4 0 Vậy f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4) Chia x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 cho (x + 2) như sau : 1 4 5 4 4 -2 1 2 2 2 0 Vậy x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 = (x + 2)(x3 + 2x2 + 2x + 2) Chia x3 + 2x2 + 2x + 2 cho (x + 2) như sau : 1 2 2 2 -2 1 0 1 0 Vậy x3 + 2x2 + 2x + 2 = (x + 2)(x2 + 1) Vậy h(x) = (x + 2)3(x2 + 1) Bài 17: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x4 – 2x3 – 11x2 + 12x + 36 Giải: Tìm nghiệm nguyên của đa thức (nếu có) trong các ước của 36 : 1; 2; 3; 4; 6 ; 9; 12; 18; 36. Ta thấy : x = -2 P(-2) = 16 + 16 –44 – 24 +36 = 68 – 68 = 0 Ta có: P = x4 + 2x3 – 4x3 – 8x2 – 3x2 – 6x + 18x + 36 = x3 (x + 2) – 4x2(x + 2) – 3x(x + 2) + 18(x + 2) = (x + 2)(x3 – 4x2 – 3x + 18) Lại phân tích Q = x3 – 4x2 – 3x + 18 thành nhân tử Ta thấy: Q(-2) = (-2)3 – 4(-2)2 – 3(-2) + 18 = 0 Nên chia Q cho (x + 2), ta được : Q = (x + 2)(x2 – 6x + 9) = (x + 2)(x – 3)2 Vậy: P = (x + 2)2(x – 3)2 .2.5. Phương pháp đặt ẩn phụ Bằng phương pháp đặt ẩn phụ (hay phương pháp đổi biến) ta có thể đưa một đa thức với ẩn số cồng kềnh , phức tạp về một đa thức có biến mới, mà đa thức này sẽ dễ dàng phân tích được thành nhân tử. Sau đây là một số bài toán dùng phương pháp đặt ẩn phụ. Bài 18: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (x2 + x) + 4(x2 + x) - 12 Giải: Đặt : y = x2 + x , đa thức đã cho trở thành : A = y2 + 4y – 12 = y2 – 2y + 6y – 12 = y(y – 2) + 6(y – 2) = (y – 2)(y + 6) (1) Thay : y = x2 + x vào (1) ta được : A = (x2 + x – 2)(x2 + x – 6) = (x – 1)(x + 2)(x2 + x – 6) Bài 19: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12 Giải: A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12 Đặt y = (x2 + x + 1). Đa thức đã cho trở thành : A = y(y + 1) – 12 = y2 + y – 12 = y2 – 3y + 4y – 12 = y(y – 3) + 4(y – 3) = (y – 3)(y + 4) (*) Thay: y = (x2 + x + 1) vào (*) ta được : A = (x2 + x + 1 - 3)(x2 + x + 1 + 4) = (x2 + x – 2) (x2 + x + 6) = (x – 1)(x + 2)(x2 + x + 6) .2.6. Phương pháp đề xuất bình phương đủ ( tách số hạng) Phương pháp đề xuất bình phương đủ là phương pháp thêm, bớt các hạng tử trong đa thức để làm xuất hiện các đa thức có thể đưa về hằng đẳng thức đáng nhớ. Sau đây là một số ví dụ : Bài 20: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x2 – 6x + 5 Giải: Ta có thể giải bài toán trên đây bằng một số cách như sau: Cách 1: A = x2 – 6x + 5 = x2 – x – 5x + 5 = x(x – 1) – 5(x – 1) = (x – 1)(x – 5) Cách 2 : A = x2 – 6x + 5 = (x2 - 2x + 1) – 4x + 4 = (x – 1)2 – 4(x – 1) = (x – 1)(x – 1 - 4) = (x – 1)(x – 5) Cách 3 : A = x2 – 6x + 5 = (x2 – 6x + 9) – 4 = (x – 3)2 – 4 = (x – 3 – 2) (x – 3 + 2) = (x – 1)(x – 5) Cách 4 : A = x2 – 6x + 5 = (x2 – 1) – 6x + 6 = (x – 1)(x + 1) – 6(x – 1) = (x – 1)( x + 1 – 6) = (x – 1)(x – 5) Cách 5 : A = x2 – 6x + 5 = (3x2 – 6x + 3) – 2x2 + 2 = 3(x – 1)2 - 2(x2 – 1) = 3(x – 1)(3(x – 1) – 2 ( x + 1)) = (x – 1)(x – 5) Cách 6 : A = x2 – 6x + 5 = (5x2 – 10x + 5) – 4x2 + 4 = (x – 1)2 – 4x(x – 1) = (x – 1)( (5(x – 1) – 4x)) = (x – 1)(x – 5) Cách 7 : A = x2 – 6x + 5 = (6x2 – 6x) – 5x2 + 5 = 6x(x – 1) - 5(x – 1) (x + 1) = (x – 1)(6x – 5(x + 1)) = (x – 1)(x – 5) Cách 8 : A = x2 – 6x + 5 Đặt f(x) = x2 – 6x + 5 Dễ thấy tổng các hệ số của f(x) bằng 0 hay f(x) = 0 nên f(x) chia hết cho (x- 1). Thực hiện phép chia f(x) cho (x –1) được thương là (x – 5). Vậy A = (x – 1)(x – 5) Chú ý: Để phân tích đa thức ax2 + bx + c (c0) bằng phương pháp tách số hạng ta làm như sau : Bước 1 : lấy tích a.c = t Bước 2 : phân tích t thành hai nhân tử ( xét tất cả các trường hợp) t = pi.qi Bươc 3 : tìm trong các cặp nhân tử pi, qi một cặp pa, qa sao cho : pa + qa = b Bước 4 : viết ax2 + bx + c = ax2 + pax + qax + c Bước 5 : từ đây nhóm các số hạng và đưa nhân tủ chung ra ngoài dấu ngoặc. 2/ Kết quả Tụi đó ỏp dụng cỏc cỏch phõn tớch này cho nhiều năm dạy toỏn lớp8 và tụi thấy rất hiệu quả sau cỏc lần kiểm tra.ngoài 3 phương phỏp cơ bản sgk tụi đưa ra một phương phỏp khỏc vào trong tiết luyện tập nhằm phỏt huy trớ tuệ cho một sú em khỏ giỏi 3. Bài học kinh nghiệm và giải pháp thực hiện Trong quá trình thực hiện đề tài và bản thân tôi là người trực tiếp thực hiện việc dạy toỏn lớp8. Tôi đã rút ra một số bài học kinh nghiệm và giải pháp thực hiện như sau: - Để thực hiện tốt công tác cụng tỏc dạy trước hết giáo viên cần phải có một trình độ chuyên môn vững vàng, nắm vững các thuật toán, giải được các bài toán khó một cách thành thạo. Cần phải có một phương pháp giảng dạy phù hợp kích thích được sự tò mò, năng động, sáng tạo, tích cực của học sinh. - Toán học là một bộ môn khó, các vấn đề của toán là rất rộng. Chính vì vậy, giáo viên cần phải biết chắt lọc, xây dựng thành một giáo trình ôn tập cơ bản bao gồm tất cả các chuyên đề. Với mỗi chuyên đề cần phải chọn lọc ra những bài toán điển hình, cơ bản nhất để học sinh từ đó phát huy những khả năng của mình, vận dụng một cách sáng tạo vào giải các bài toán khác cùng thể loại. - Trong quá trình dạy cần thường xuyên bám sát đối tượng học sinh, theo dõi và động viên kịp thời sự cố gắng, nỗ lực của từng học sinh. Đồng thời, kích thích các em phát huy tối đa khả năng của mình trong quá trình ôn luyện, học tập. Bên cạnh đó, cần theo dõi kiểm tra, uốn nắn kịp thời những sai sót mà học sinh có thể mắc phải, giúp các em có niềm tin, nghị lực và quyết tâm vượt qua những khó khăn bước đầu khi học tập các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi mà giáo viên đưa ra. - Trong quá trình dạy cũng cần hết sức tránh cho học sinh những biểu hiện tự đắc, cho mình là giỏi. Điều này sẽ làm cho các em khó tránh khỏi những thất bại khi giải toỏn. Chính vì vậy, giáo viên cần luôn có những bài toán khó, để các em thấy được quá trình học là một quá trình không thể diễn ra trong ngày một, ngày hai, mà là cả một quá trình lâu dài, thường xuyên, liên tục. Tuy nhiên, cũng cần tránh cho học sinh sự tự ti, vì liên tục không giải được các bài toán khó sẽ gây ra cho các em những sự nản chí, mất niềm tin vào khả năng của mình. 4. Kết luận Do năng lực còn hạn chế, nên đề tài của tôi không thể tránh được những thiếu sót, bản thân tôi rất mong có sự đóng góp, bổ xung của các bạn đồng nghiệp, để tôi có thể hoàn thiện hơn. Trên đây, đề tài của tôi cũng mới chỉ đề cập đến một vấn đề nhỏ trong quá trình cỏc bài học phõn tớch đa thức thành nhõn tử – Tuy nhiên, theo tôi đây cũng là một trong những mạch kiến thức rất trọng tâm của chương trình toán. Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn ./.