Chuyên đề Hướng dẫn học sinh giải các bài toán hình có liên quan đến diện tích tam giác

ch chia. Gọi một số người nêu cách chia và giải thích. Giáo viên tổng hợp các ý kiến và nêu bài giải: a. Cách 1: Giáo viên vẽ hình như sau: A Đặt vấn đề: Giả sử AM chia tam giác ABC thành 2 phần có diện tích bằng nhau là tam giác ACM và tam giác ABM. Vậy các em có suy nghĩ xem điểm M có gì đặc biệt không? Vì 2 tam giác ACM và ABM có diện tích bằng nhau mà chúng lại chung chiều cao hạ từ đỉnh A nên 2 đáy CM và C M B BM bằng nhau. Vậy M là điểm chia cạnh CB thành 2 phần bằng nhau. Từ đó rút ra cách chia thứ nhất là dùng thước đo cạnh BC rồi lấy điểm M chia đôi cạnh đó thành 2 phần bằng nhau. Nối AM ta được 2 phần có diện tích bằng nhau. ( Lưu ý: Điểm M cũng có thể trên cạnh AB hoặc AC). Cách 2: A - Lấy điểm M bất kỳ trên BC. Nối AM. - Đo cạnh AM, chia đôi độ dài AM. - Đặt N là điểm chính giữa của AM. N - Nối CN, BN. Đường gấp khúc CNB chia tam giác ABC thành 2 phần có diện tích bằng nhau. C M B Giải thích: SABN = SNBM ( Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh B, đáy AN=MN) (1) SACN = SCNM ( Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh C, đáy AN=MN) (2) Từ (1) và (2) ta có: SABN +SACN = SCNB ( 2 phần có diện tích bằng nhau). ( Lưu ý: Điểm M có thể lấy trên 2 cạnh kia và cách chia tương tự). Cách 3: - Dùng thước có vạch mi li mét chia cạnh AB thành 3 A phần bằng nhau. - Đặt M là điểm trên cạnh AB sao cho: BM= - Tương tự chia cạnh AC thành 4 phần bằng nhau. M Đặt N là điểm trên cạnh AC sao cho: CN= N - Nối MN thì đoạn MN sẽ chia tam giác ABC thành 2 phần có diện tích bằng nhau. C B Giải thích: Nối BN ta có: SCBN = SABN ( vì chung chiều cao hạ từ đỉnh B, đáy CN = đáy AN) (1) SBNM = SABN ( vì chung chiều cao hạ từ đỉnh N, đáy BM = đáy AB) (2) Từ (1) và (2) suy ra diện tích CNB = diện tích BNM (cùng bằng diện tích ABN ). Mặt khác từ (2) ta có: SBMN = SABN hay SBMN = SAMN Vậy: SBMN + SCNB = SAMN hay diện tích tứ giác CNMB = diện tích tam giác AMN ( 2 phần có diện tích bằng nhau). ( Lưu ý: ta còn có thể tìm ra nhiều cách chia tương tự). b. Cách 1: - Vẽ hình như sau: A - Đặt vấn đề: Giả sử ABC đã được chia thành 4 phần có diện tích bằng nhau là 4 tam giác : CAD, DAE, EAF, FAB. Vậy chúng ta thử suy nghĩ gì xem các điểm D,E,F có gì đặc biệt không? C D E F B Vậy D, E, F là các điểm chia cạnh BC thành 4 phần bằng nhau. Từ đó rút ra cách chia thứ nhất là: Dùng thước có vạch mi li mét đo cạnh BC chia thành 4 phần bằng nhau. Đặt D, E, F lần lượt là các điểm chia trên BC sao cho CD = DE = EF = FB. Nối AD, AE, A F ta được các đoạn thẳng chia diện tích tam giác ABC thành 4 phần có diện tích bằng nhau. ( Lưu ý: Có thể chia theo các cạnh AB, AC cũng được ). Cách 2: A - Lấy điểm M bất kì trên BC. Nối AM. - Dùng thước đo đoạn AM, chia AM thành 4 phần D bằng nhau: AD = DE = EF = FM. E - Nối BD, BE, BF, CD, CE, CF. F Các đường gấp khúc CDB, CEB, CFB chia diện tích tam giác ABC thành 4 phần có diện tích bằng nhau. C M B Cách 3: A - Dùng thước đo CB, lấy F trên CB sao cho CF = D - Đo cạnh AB, chia thành 3 phần: AD = DE = EB E - Nối AF, FD, FE. Các đoạn thẳng AF, FD, FE chia diện tích ABC thành 4 phần bằng nhau. C F B Cách 4: A - Dùng thước đo các cạnh của tam giác chia mỗi cạnh của tam giác thành 2 phần bằng nhau. E - D, E, F lần lượt là các điểm chính giữa của các cạnh F BC, AB, AC. - Nối AD, DE, DF ta được các đoạn thẳng chia tam C D B giác ABC thành 4 phần có diện tích bằng nhau. Cách 5: A - Dùng thước đo cạnh AB, lấy D là điểm chính giữa AB. Đo cạnh CB, lấy điểm E, F sao cho: D CF = FE = - Nối ED, AE, AF ta được các đoạn thẳng chia tam giác ABC thành 4 phần bằng nhau. C F E B Lưu ý: Từ các cách chia trên ta có thể mở rộng ra được nhiều cách chia khác. Chẳng hạn như cách chia sau: A ( BE = BC, AD = AC, EF = FC). v. v…… D B E F C Mở rộng: - Từ bài toán ở ví dụ 1, ta dễ dàng làm được các bài toán dạng như: chia tam giác thành các phần (3 phần, 5 phần, 6 phần….) tuỳ ý có diện tích bằng nhau. - Cao hơn cũng có thể dễ tìm ra cách giải bài toán như sau: Bài tập: Chia tứ giác ABCD thành 2 phần ( 3 phần, 4 phần….) có diện tích bằng nhau. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM < MB. Hãy tìm điểm N trên BC sao cho khi nối MN thì đoạn MN chia tam giác ABC thành 2 phần có diện tích bằng nhau. A - Đo cạnh AB, P là điểm chính giữa AB. M - SACM < SBCM ( vì chung chiều cao hạ từ đỉnh C, đáy: CM < BM ). P - SACP = SBCP ( chung chiều cao hạ từ đỉnh C, đáy AP = BP ). - Từ đỉnh P kẻ đường song song với CM cắt BC C N B tại N. Khi đó tứ giác MPNC chính là hình thang nên: SCMP= SMNC do đó SAMNC = SMBN. Vậy MN đã chia tam giác ABC thành 2 phần có diện tích bằng nhau. Mở rộng: các bài tự giải: 1. Cho tứ giác ABCD có diện tích tam giác ABC nhỏ hơn diện tích tam giác ACD. Hãy tìm điểm E trên DC sao cho khi nối AE thì đoạn AE chia tứ giác ABCD thành 2 phần có diện tích bằng nhau. 2. Cho tam giác ABC trên cạnh AB lấy điểm M. Nối CM ta được tam giác CAM, tìm điểm N trên cạnh AC sao cho khi nối BN ta có: SCAM = SBNC. Ví dụ 3: Cho hình thang ABCD có 2 đường chéo AC và BD. Hãy chứng tỏ rằng: a, SACD = SBCD b, SDAB = SCAB Sau khi gợi ý hướng dẫn giải bài toán ở ví dụ 3, giáo viên mở rộng cho HS giải các bài thuộc dạng này như: 1.Cho hình thang ABCD có 2 đáy là AB và CD. Hãy chứng tỏ rằng diện tích tam giác AID bằng diện tích tam giác BIC ( hoặc hãy so sánh diện tích tam giác AID và BIC ) biết I là điểm chung của 2 đường chéo AC và BD. 2. Trong hình vẽ sau, ABCD là hình thang, biết diện tích tam giác APD là 12cm2, diện tích tam giác BQC là 13 cm2. Tính diện tích tứ giác PMQN? A M B P Q D N C 3. Cho tứ giác ABCD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I có: IB = ID, IA = IC. Hãy chứng tỏ rằng: Tứ giác ABCD là hình thang. Cạnh đáy AB = đáy CD. Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có cạnh BC dài 3 cm. Trên BC lấy một điểm D cách B 1cm. Nối AD, trên AD lấy một điểm E rồi nối E với B và E với C. a. Hãy so sánh diện tích hai tam giác AEB và AEC. b. Cho biết diện tích tam giác ABC bằng 6 cm2 và E là điểm chính giữa của AD. Hãy tính chiều cao của tam giác EBC hạ từ E xuống BC. Các dạng tương tự: - Điểm D có thể chạy trên BC với tỉ lệ giữa BD và CB khác nhau. - Điểm E cũng có thể chạy trên AD với tỉ lệ giữa ED và AD khác nhau. - Bài toán cũng có thể cho chiều cao hạ từ E xuống CB của tam giác CEB và yêu cầu tính đoạn CB. Lưu ý: Các bài dạng này có liên quan đến kiến thức hai tam giác có chung đáy (ACE và ABE hoặc CED và BED ) thì diện tích và chiều cao là 2 đại lượng tỉ lệ thuận. Các bài mở rộng của dạng này như: 1. Cho hình vẽ sau: A Biết AE = AC, CD = BC. E a. So sánh BO và OE. O b. Tính SAOE biết SBOD = 800 cm2 C D B Lưu ý: Hoàn toàn tương tự với các bài toán cho tỉ lệ giữa AE với AC và CD với CB khác nhau. 2. Cho tam giác ABC. Trên AC lấy điểm N sao cho AN = AC. Trên BC lấy điểm M sao cho BM = MC. Nối M với N kéo dài cắt AB tại P. Biết SAPN = 100 cm2. a. Tính SABC. b. So sánh PN với MN. Lưu ý: Cách giải tương tự với các bài toán cho tỉ lệ giữa AN với AC và BM với CB khác trên. Ví dụ 5: Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và D có diện tích bằng 16 cm2, AB = CD, AB là đáy bé, CD là đáy lớn. Kéo dài DA và CB cắt nhau tại M. Tính SMAB. Mở rộng: - Các dạng bài có thể giải tương tự là tỉ lệ giữa AB và CD khác trên. - Ngoài ra từ bài này có thể mở rộng cho các bài toán như: Ngoài các dữ kiện mà bài toán cho trên có thể cho biết thêm độ dài của đoạn MD tính độ dài các đáy và chiều cao của hình thang ABCD. Hoặc cho biết thêm đoạn AB. Tính độ dài đoạn AM, MD…(Từ bài mẫu trên ta tính được SMBD, đáy MD => tính được chiều cao AB => tính được DC = AB x 3; Diện tích hình thang ABCD biết, đáy AB, CD tính được => tính được chiều cao AD hoặc cho biết đoạn AB => tính được đáy DM của MBD). Ví dụ 6: Cho tam giác ABC có diện tích là 97 cm2. Người ta léo dài cạnh CB về phía B một đoạn BB’ dài bằng CB, kéo dài cạnh BA về phía A một đoạn AA’ dài bằng BA và kéo dài cạnh AC về phía C đoạn CC’ bằng AC. Tính SA’B’C’. Lưu ý: Hoàn toàn tương tự với các bài toán cho tỉ lệ giữa các đoạn kéo dài thêm với các cạnh của tam giác khác trên. Mở rộng: Từ bài toán này ta có thể dễ dàng tìm ra cách giải các bài toán như: 1. Cho tam giác ABC có diện tích 123cm2. Kéo dài AC về phía C một đoạn CE dài bằng AC. Kéo dài CB về phía B một đoạn BF dài bằng CB. Nối AF, EF. Tính diện tích tam giác AEF. 2. Cho tam giác ABC có diện tích 96cm2. Kéo dài AC về phía C một đoạn CE dài bằng hai lần AC. Kéo dài CB về phía B một đoạn BF dài bằng CB. Tính diện tích tam giác AEF. Lưu ý: Với các bài cho tỉ lệ các đoạn kéo dài thêm với cạnh của tam giác ABC khác hai bài mở rộng trên hoàn toàn có cách giải tương tự . Ví dụ 7: Cho tam giác đều ABC. I là một điểm ở trong tam giác. Từ I hạ IE, IK, IL lần lượt vuông góc với các cạnh AB, BC, AC. Hãy chứng tỏ rằng: IE + IK + IL = AH; trong đó AH là đường cao của tam giác ABC. Mở rộng: Từ bài trên cho học sinh làm các dạng bài tương tự như: 1. Cho điểm I nằm trên cạnh của tam giác. 2. Cho tam giác đều ABC cạnh băng 10 cm, diện tích bằng 90cm2. I là điểm bất kì trong tam giác, từ I kẻ IE, IK, IN lần lượt vuông góc với các cạnh AB, BC, AC. Hãy tính tổng: IE +IK + IN. 3. Hoàn toàn tương tự bài2 với các bài sau: a, Cho tam giác đều ABC biết độ dài cạnh và cho điểm I như trên và biết tổng của IE + IK + IN yêu cầu tính diện tích tam giác ABC. b, Cho tam giác đều ABC, cho biết diện tích tam giác, biết tổng IE = IK = IN yêu cầu tính cạnh của tam giác ABC. Kết luận: Để HS đạt kết quả tốt trong việc học các dạng toán nâng cao nói chung và dạng hình của chuyên đề trên thì trước hết HS phải nắm vững kiến thức cơ bản và các kiến thức mở rộng rồi tiếp xúc với nhiều bài mẫu từ dễ đến khó dần dần các em sẽ chủ động trong các tình huống, biết nhận dạng các hình nhanh và tự tin xử lý các số liệu của đề ra. Mặt khác trong quá trình giảng dạy giáo viên cũng cần đầu tư thời gian thích đáng trong việc tìm hiểu bài dạy, sưu tầm phân dạng bài tập để hướng dẫn HS giải mang lại hiệu quả cao.