Chuyên đề Hình học không gian - Chủ đề: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và đoạn vuông góc chung

đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng SB và AD. Bước 3: Tính MI. Ta có: 2 .MI OH= Xét SON∆ vuông tại O: 2 2 2 1 1 1 OH OS ON = + . Bài tập 7: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a . Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC và AD. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng DM và D’N. Hướng dẫn:
Giải bằng Phương pháp 2: Bước 1: Chọn mặt phẳng ( )'D NJ . (với hình bình hành DJIM) Dễ chứng minh được: ( )// 'DM D NJ Bước 2: Chiếu DM trên ( )'D NJ . (hay tính ( ), 'd DM D N ) Do ( )// 'DJ MI DJ IJ IJ D JD⇒ ⊥ ⇒ ⊥ . Ta có: ( ) ( )' 'D JD D NJ⊥ , dựng ( )' 'DH D J DH D NJ⊥ ⇒ ⊥ Suy ra: ( ) ( )( ) ( )( ), ' , ' , 'd d dDM D N DM D NJ D D NJ DH= = = + Dựng hình chữ nhật HKPD⇒ KP là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng DM và D’N. Bước 3: Tính DH. Xét 'D DJ∆ vuông tại D: 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 4 ' ' 'DH DD DJ DD MI DD AM = + = + == + . Bài tập 7: Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’. Hãy xác định đoạn vuông góc chung của BD’, B’C. Hướng dẫn: Bước 1: Chọn mặt phẳng ( )' 'ABC D . Dễ dàng chứng minh ( )' ' 'BC ABC D⊥ Bước 2: Dễ thấy, ( )' ' 'BD ABC D⊂ . Dựng 'HK BD HK⊥ ⇒ là đoạn vuông góc chung của BD’ và B’C. Bước 3: Tính HK: Ta có 1 ' 2 HK C P= Xét ' 'BC D∆ vuông tại C’: 2 2 2 1 1 1 ' ' ' 'C P C D C B = + O P K I H S A B C D M N P KH J IN D C BA B' C' A' D' M P K H D C BA B' C' A' D' Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 6 Bài tập 8: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a . Hãy xác định đoạn vuông góc chung của hai đương thẳng A’C’ và B’C. Hướng dẫn: Bước 1: Chọn mặt phẳng ( )' 'DBB D . Dễ chứng minh được: ( )' ' ' 'A C DBB D⊥ Bước 2: Chiếu B’C trên ( )' 'DBB D : Ta có: ( )' 'OC DBB D⊥ 'B O⇒ là hình chiếu của B’C trên ( )' 'DBB D . + Dựng ' ' 'O H B O O H⊥ ⇒ là khoảng cách của A’C’ và B’C. + Dựng hình chữ nhật O’HKP⇒ KP là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng A’C’ và B’C. Bước 3: Tính O’H. Xét ' 'O B O∆ vuông tại O’: 2 2 2 1 1 1 ' ' ' 'O H O B OO = + . Bài tập 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh a , cạnh bên SA a= , SA⊥ (ABC), I là trung điểm cạnh BC. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng SI và AB. Hướng dẫn:
Giải bằng Phương pháp 2: Bước 1: Chọn mặt phẳng ( )SIJ , với //IJ AB và AJ IJ⊥ . Dễ chứng minh được: ( )//AB SIJ Bước 2: Chiếu AB trên ( )SIJ (hay tính ( ),d AB SI ) Ta có: ( ) ( )SAJ SIJ⊥ , dựng ( )AH SJ AH SIJ⊥ ⇒ ⊥ Suy ra: ( ) ( )( ) ( )( ), , ,d d dAB SI AB SIJ A SIJ AH= = = + Dựng hình chữ nhật AHKP⇒ KP là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng AB và SI. Bước 3: Tính AH. Xét SAJ∆ vuông tại A: 2 2 2 1 1 1 AH AJ SA = + . Bài tập10: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a . Gọi I, J lần lượt là tâm các hình vuông ADD’A’ và BCC’B’. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng CI và AJ. Hướng dẫn:
Giải bằng Phương pháp 2: Bước 1: Chọn mặt phẳng ( )'AA J . Dễ chứng minh được: ( )// 'CI AA J Bước 2: Chiếu IC trên ( )'AA J (hay tính ( ),d CI AJ ) Dựng IH MJ⊥ , để ý rằng ( )'A A MIJ⊥ . Ta có: ( )' ' IH MJ IH AA J IH A A ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ Suy ra: ( ) ( )( ) ( )( ), , ' , 'd d dCI AJ CI AA J I AA J IH= = = P H K O' D C BA B' C' A' D' O P KH J I S A B C P K HM J I D D' A' C' B' A B C Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 7 + Dựng hình chữ nhật IHKP⇒ KP là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng AJ và CI. Bước 3: Tính IH. Xét MIJ∆ vuông tại I: 2 2 2 1 1 1 IH IM IJ = + . Bài tập 11: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a , cạnh bên ' 2AA a= , AD’⊥BA’.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD’ và BA’ . Hướng dẫn:
Giải bằng Phương pháp 2: Bước 1: Chọn mặt phẳng ( )'AD E , với // ' ' BE DD BE DD   = . Dễ chứng minh được: ( )' // 'A B AD E Bước 2: Chiếu A’B trên ( )'AD E (hay tính ( )' , 'd A B AD ) Ta có: ( ) ( ) ( )' ' ' ' ' ' AI BD AI BB D B AD E BB D B AI BB ⊥ ⇔ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ Dựng ( )' 'BH D E BH AD E⊥ ⇒ ⊥ Suy ra: ( ) ( )( ) ( )( )' , ' ' , ' , 'd d dA B AD A B AD E B AD E BH= = = + Dựng hình chữ nhật BHKP⇒ KP là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng A’B và AD’. Bước 3: Tính BH. Xét IBE∆ vuông tại B: 2 2 2 1 1 1 BH BE BI = + . Bài tập 12: Cho hình lăng trụ đứng tam giác đều ABC.A’B’C’, đáy ABC có cạnh a , cạnh bên bằng h . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BC’. Hướng dẫn:
Giải bằng Phương pháp 2: Bước 1: Chọn mặt phẳng ( )'BDC , với //CD AB CD AB   = . Dễ chứng minh được: ( )// 'AC BDC Bước 2: Chiếu AC trên ( )'BDC (hay tính ( ), 'd AC BC ) Gọi I là trung điểm BD. Ta có: ( ) ( ) ( )' ' ' ' CI BD BD CC I BDC CC I CC BD ⊥ ⇔ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ Dựng ( )' 'CH C I CH BDC⊥ ⇒ ⊥ Suy ra: ( ) ( )( ) ( )( ), ' , ' , 'd d dAC BC AC BDC C BDC CH= = = + Dựng hình chữ nhật CHKP⇒ KP là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng AC và BC’. Bước 3: Tính CH. Xét 'ICC∆ vuông tại C: 2 2 2 1 1 1 'CH CI CC = + . I P K H E A B C D A' B' C'D' DI C' B' A' B A C HK P Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 8 Bài tập 13: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo ' 2AC a= và 'AB AA a= = . a) Chứng minh: ' 'AC CD⊥ b) Tính d(D,(ACD’)). c) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa AC’, CD’. Hướng dẫn: a) Do ' ' 'AA AB a ABB A= = ⇒ là hình vuông. Suy ra: ( ) ' ' ' ' ' ' ' CD DC CD ADCB CD AC CD A D ⊥ ⇔ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ . b) Ta có: ( ) ( ) ( )' ' 'CD ADCB ADI AD C⊥ ⇒ ⊥ và ( ) ( )'ADI AD C AI∩ = . Dựng DH AI⊥ ( ) ( )( )' , 'dDH AD C D AD C DH⇒ ⊥ ⇔ = Xét 'ADC∆ vuông tại D: 2 2 2 1 1 1 'DH DA DC = + . c) Theo câu a, ( )' 'CD ADCB⊥ và ( ) { }' 'CD ADCB I∩ = . Dựng 'IK AC IK⊥ ⇒ là đoạn vuông góc chung của AC’ và CD’. Xét 'DAC∆ đồng dạng với 'KIC∆ , ta có: ' . ' ' ' KI KC AD KC KI AD DC DC = ⇔ = . Bài tập 14: Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’. a) Chứng minh: ( )' ' 'BC A B CD⊥ b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa AB’ và BC’. Hướng dẫn: a) Chứng minh ( )' ' 'BC A B CD⊥ : Ta có: ( ) ' ' ' ' ' ' BC B C BC A B CD BC CD ⊥ ⇔ ⊥ ⊥ . b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa AB’ và BC’: Bước 1: Chọn mặt phẳng ( )' 'A B CD . Dễ chứng minh được: ( )' ' 'BC A B CD⊥ Bước 2: Chiếu AB’ trên ( )' 'A B CD : Ta có: ( )' 'AH A B CD⊥ 'HB⇒ là hình chiếu của AB’ trên ( )' 'A B CD . + Dựng 'IJ B H IJ⊥ ⇒ là khoảng cách của AB’ và BC’. + Dựng hình chữ nhật IJKP⇒ KP là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng AB’ và BC’. Bước 3: Tính IJ. Xét 'CB D∆ đồng dạng với 'JB I∆ , ta có: ' . ' ' ' IJ IB CD IB IJ CD B D B D = ⇔ = . D' C' B'A' D C B A H K I J P I D' A' C'B' A B C D K H Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 9 III- BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài tập 1: Tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, AD⊥BC, AD a= và ( ),d D BC a= . Gọi H là trung điểm của BC . a) Chứng minh: BC ⊥ (ADH) b) DI ⊥ (ABC) c) Xác định và tính đoạn vuông góc chung giữa AD và BC. Bài tập 2: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a , góc 060BAD = và có đường cao SO a= .Tính: a) d(O,(SBC)) b) d(AD,SB) Bài tập 3: Cho hình lập phương ABCD.A/B/C/D/ tâm đáy là O, O/.Xác định đoạn vuông góc chung giữa: a) OO/ và CD/. b) BD và CD/. c) BO/ và CD/. Bài tập 4: (Đại Học Y Dược Tp. HCM – 1999). Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình vuông ABCD. Trên đường thẳng Ox vuông góc với mặt phẳng (P) lấy điểm S. Gọi α là góc nhọn tạo bởi mặt bên và đáy của hình chóp S.ABCD. a) Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình chóp S.ABCD theo a và α . b) Xác định đường vuông góc chung của SA cà CD. Tính độ dài đường vuông góc chung đó theo a và α . Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 10 MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC: Đề 02: ĐH B- 2002 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng a . a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’D. b) Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB’, CD, A’D’. Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C’N. Đề 03: ĐH Dự bị D-1 2002 Cho tứ diện đều ABCD, cạnh 6 2a = . Hãy xác định độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AD và BC. Đề 04: ĐH B- 2007 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. Đề 05: ĐH Dự bị D-2 2007 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a . M là trung điểm của đoạn AA’. Chứng minh: 'BM B C⊥ và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và B’C. Đề 06: ĐH D- 2008 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB BC a= = , cạnh bên =' 2AA a . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C. Đề 07: ĐH A-2010 Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD. H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng ( )ABCD và SH a= 3 . Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a . Đề 08: ĐH A- 2012 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao 2HA HB= . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 060 . Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a . RẤT MONG NHẬN ĐƯỢC GÓP Ý CỦA QUÍ THẦY CÔ VÀ CÁC BẠN HỌC SINH! Xin trân trọng cám ơn!