Chuyên đề Hệ phương trình Đại số

)1;− +∞ . Mặt khác: Do ( )f x liên tục trên ( )1;− +∞ và ( ) 1 lim +→− = −∞ x f x ; ( )lim →+∞ = +∞ x f x Nên pt có nghiệm trong khoảng ( )1;− +∞ ⇒ phương trình ( ) 0f x = có nghiệm duy nhất trong khoảng ( )1;− +∞ . Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất với 0∀ >a . Bài tập: Giải hệ phương trình: 2 2 3 2 3 3 2 3  + + = +  + + = + x x y y y x Bài giải: Điều kiện: ; 0≥x y . Hệ 2 2 2 3 2 3 3 3 3 3  + + = + ⇔  + + = + + (*)x x y x x y y Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 8 Xét phương trình: 2 23 3 3 3+ + = + +x x y y (**) Xét hàm số: ( ) ( )2 / 2 3 3 3 0 23 = + + ⇒ = + > + t f t t t f t tt ; ( )0;∀ ∈ +∞t . ⇒ ( )f t đồng biến trên ( )0;+∞ . Phương trình (**) trở thành: ( ) ( )= ⇔ =f x f y x y Thay x y= vào (*) của hệ ta được: 23 3 0+ + − =x x . Xét hàm số: ( ) 23 3= + + −g x x x có ( )/ 2 1 0 23 = + > + x g x xx ( )0;∀ ∈ +∞x ⇒ ( )g x đồng biến trên ( )0;+∞ . ( ) 0⇒ =g x có nhiều nhất một nghiệm, mà: ( )1 0 1 1.g x y= ⇒ = ⇒ = Vậy hệ đã cho có nghiệm là ( )1;1 . Bài tập: Giải hệ phương trình: ( )6 4 sin sin 10 1 3 2 5 ; 4 − =   + = +   < <  x y xe y x y π π x y (1) (2) (3) Bài giải: Phương trình (1) sin sin ⇔ = x ye e x y (*) . Xét hàm: ( ) sin = te f t t với 5 ; 4  ∈    π t π . Ta có: ( ) ( )/ 2 sin cos 0 sin − = > te t t f t t với 5 ; 4  ∈    π t π ( )⇒ f t đồng biến trong khoảng 5; 4       π π Khi đó pt (*) trở thành: ( ) ( )f x f y x y= ⇔ = , thế vào phương trình (2) ta được: ( )6 410 1 3 2+ = +x x . Do 6 1+x = ( )( )2 4 21 1+ − +x x x đặt 2 1= +u x ; 4 2 1= − +v x x ta được: ( )2 2 310 3 3 = = + ⇔  = u v uv u v v u * Với 3u v= thay vào ta có pt vô nghiệm * Với 3v u= thay vào pt ta được 5 33= ± +x đối chiếu với (3) ta được 5 33= +x Vậy hệ pt có một nghiệm là ( )5 33; 5 33+ + Bài tập: (Khối A- 2013) Giải hệ phương trình: ( ) 44 2 2 1 1 2 2 1 6 1 0  + + − − + =  + − + − + = (1) (2) x x y y x x y y y Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 9 Bài giải: Điều kiện: 1; .≥ ∈ x y ℝ (1) ( )2 22 1 6 1 0⇔ + − + − + =x y x y y ( ) ( )2 21 4 0 1 4 0⇔ + − − = ⇔ + − = ⇒ ≥x y y x y y y . Ta có: 441 1 2+ + − − + =x x y y ⇔ ( ) ( ) ( )4 44 41 1 1 1 1 1 **+ + − = + + + + −x x y y Đặt ( ) 41 1= + + −f t t t thì ( )f t đồng biến trên )1; +∞ Nên (**) ⇔ ( ) ( )4 41 1f x f y x y= + ⇔ = + . Thế vào (*) ta có: ( )24 8 5 24 2y y y y y y= + = + + ⇔ 7 4 0 1 2 4 = ⇒ =  + + = y x y y y ⇔ 0 1 =  = y y (vì ( ) 7 42= + +g y y y y đồng biến trên )0; +∞ ) Vậy hệ có nghiệm là ( ) ( )1;0 , 2;1 . Cách khác: Từ (*) 0y⇒ ≥ Xét 4 1 1 0 0 = − + = ⇔  = x x y y (thỏa điều kiện) Xét 4 1 0− + >x y Lúc đó: ( ) ( )4 41 2 1 0+ − + + − − =x y x y ⇔ ( )( ) 4 4 24 4 1 1 0 1 11 2 − − − − + = − + − ++ + + x y x y x y x yx y ⇔ ( ) ( )( ) 4 24 4 1 1 1 0 1 11 2    − − + =  − + − ++ + +  x y x y x yx y ⇔ 4 1x y= + , tiếp tục như trên. Bài tập: (Khối B- 2013) Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 3 3 2 1 0 4 4 2 4  + − + − + =  − + + = + + + x y xy x y x y x x y x y Bài giải: Ta có: 2 2 2 2 2 3 3 2 1 0 (1) 4 4 2 4 (2)  + − + − + =  − + + = + + + x y xy x y x y x x y x y Xem (1) là phương trình bậc 2 theo y ta được: 2 1y x= + hay 1y x= + . TH1: 2 1y x= + . Thế vào (2) ta có: ( ) ( ) 14 1 9 4 3 4 ; 4  = + + + = − = ≥ −    f x x x x g x x ⇔ 0x = (vì ( )f x đồng biến và ( )g x nghịch biến trên 1 ; 4  − +∞  . Vậy 0x = và 1y = . TH2: 1y x= + . Thế vào (2) ta có : Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 10 2 1 3 1 5 4 3 3 3  + + + = − + ≥ −    x x x x x ⇔ ( )3 1 5 4 3 1 2 3+ + + = − + +x x x x x ⇔ ( ) ( ) ( )3 1 1 5 4 2 3 1   + − + + + − + = −   x x x x x x ⇔ ( ) ( ) ( ) 2 2 23 3 1 1 5 4 2 − + − + + = − + + + + + + x x x x x x x x x x ⇔ 2 0x x− = hay ( ) ( ) 1 1 3 3 1 1 5 4 2 − − + = + + + + + +x x x x (Vô nghiệm) ⇔ 0 1 1 2 x y x y  = ⇒ =  = ⇒ = Vậy nghiệm của hệ là ( )0;1 hay ( )1;2 . III- BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài tập: Giải các hệ phương trình sau: 1) ( )( ) 3 3 1 1 4 2 4 36  − = −   − − + = − x y x y x y x y Gợi ý: Xét hàm số ( ) ( )3 1 0= − ≠f t t t t . Hệ có nghiệm ( ) ( )2;2 ; 6; 6− − . 2) 3 3 2 2 2  + = +  + = x x y y x y Gợi ý: Xét hàm số ( ) ( )3= + ∈f t t t t ℝ . Hệ có nghiệm ( ) ( )1;1 ; 1; 1− − . 3) 5 5 2 2 2  + = +  + = x x y y x y Gợi ý: Xét hàm số ( ) ( )5= + ∈f t t t t ℝ . Hệ có nghiệm ( ) ( )1;1 ; 1; 1− − . 4) ( )( )2 21 1 1 (1) 6 2 1 4 6 1 (2) x x y y x x xy xy x  + + + + =   − + = + + Gợi ý: (1) ( ) ( )22 2 21 1 1 1x x y y x x y y⇔ + + = − + + ⇔ + + = − + + − ( ) ( )f x f y⇔ = − với ( ) ( ) ( ) 2 2 / 2 2 11 0 1 1 t tt t f t t t t f t t t −+ + = + + ∈ ⇒ = > ≥ + + ¡ Suy ra: x y= − , thế vào (2) ta được: 2 2 2 2 256 2 1 4 6 1 6 2 1 2 4 x x x x x x x x x   + + = − + + ⇔ + + − =    Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 11 Từ đây hệ có các nghiệm là: ( ) 3 11 3 111; 1 ; ; . 2 2  − − + −      5) ( ) ( )( ) 3 1 4 2 1 1 3 (1) 2 4 6 3 (2) x x y y x y x y x y  − + + = − +  + − + = − − Gợi ý: (2) ( )( )1 2 4 0 2 4x y x y y x⇔ + + − + = ⇔ = + (do điều kiện của hệ) Thay vào (1) ta có: ( ) ( )3 1 2 8 2 3 2 3 1 3 1 2 2 3 2 3x x x x x x x− + − = + ⇔ − + − = + + + ( ) ( )3 1 2 3f x f x⇔ − = + với ( ) ( )2 0f t t t t= + ≥ . Dễ chứng minh được ( )f t đồng biến trên )0; +∞ suy ra: 3 1 2 3 4 12.x x x y− = + ⇔ = ⇒ = 6) 3 3 2 5 3 2 3 4 (1) 1 0 (2) x x y y y x y  + − = + +  + + = Gợi ý: Từ vế trái của (1) ta thấy có dạng đơn giản: ( ) 3 2f t t t= + − Chúng ta phân tích: ( ) ( )3 2 33 4 2y y y g y g y+ + = + − , rõ ràng ( )g y y b= + . Đồng nhất thức ta được: ( ) ( )33 23 4 1 1 2y y y y y+ + = + + + − Lúc đó (1) có dạng: ( ) ( )1f x f y= + , dễ thấy ( )f t đồng biến trên ¡ suy ra: 1y x+ = Thay vào (2) ta được phương trình: ( )5 3 2 4 2 4 2 0 3 3 0 3 3 0 3 3 0 x x x x x x x x x x x x  = + − + = ⇔ + − + = ⇔  + − + = Phương trình 2 4 2 4 3 33 3 0 2 4 x x x x x   + − + = + − + >    . Vậy hệ có nghiệm là ( )0; 1− . 7) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 2 4 1 2 1 6 (1) 2 2 4 1 1 (2) x y x x x y y x x  + + + =   + + = + +  Gợi ý: Ta thấy 0x = không thỏa (1), chia (2) cho 2x ta được phương trình: ( ) ( )2 2 1 12 1 2 1 1 1y y x x     + + = + +          có dạng ( ) 12f y f x   =     với ( ) ( )21 1f t t t= + + ( )t∈ ¡ . Dễ chứng minh được ( )f t đồng biến trên ¡ , suy ra: 12y x = thay vào (1) ta được: Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 12 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 22 1 6 0 6 2 1 h x g x x x x x x x x x+ + + − = ⇔ + − = − +14 2 43 1 44 2 4 43 Chứng minh ( )h x nghịch biến và ( )g x đồng biến trên ¡ nên phương trình có nghiệm duy nhất 11 2 x y= ⇒ = . Hệ có nghiệm 11; 2       . 8) ( )( )2 2 2 2 3 2 1 3 2 4 1 1 8 (1) 2 0 (2) x x y y x y x y x  + − + + + =   − + = Gợi ý: Ta thấy 0x = hoặc 0y = thay vào hệ không thỏa. Giả sử 0xy ≠ , phương trình (1) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 1 4 .4 8 1 4 2 4 1 2 4 1 1 1 11 2 4 1 1 1 1 2 2 1 1 x x y x y x y x x y x x y y x y y x x x y y y y x x + − + ⇔ = ⇔ + − + = + − + −     ⇔ + + = + + ⇔ + + = + +        có dạng: ( )1 2f f y x   =    . Mời độc giả tiếp tục bài toán. 9) 3 2 3 2 2 3 2 3 (1) 3 2 8 (2) x x y y x y y  − + = +  − = + Gợi ý: Ta thấy ( )23 2 3 23 2 3 .x x y y− + = + Cố gắng phân tích thử ( )23 2 3 23 2 3x x g y− + = + (quá phức tạp!) Hướng khác: 3 23 2 3.x x y y− + = + Đặt 23 3a y a y= + ⇔ = + , 33 3y y a a+ = − . Phân tích đồng nhất thức: 3 2 33 2 3x x g g− + = − ta được 1g x= − . Lúc đó: (1) có dạng ( ) ( )1 3f x f y− = + với ( ) 3 3f t t t= − đồng biến trên )1; +∞ . Từ đó giải được nghiệm của hệ là ( )3;1 . 10) ( ) ( ) 3 3 2 3 1 2 3 x y x y  + =  − = Gợi ý: Ta thấy 0x = thay vào hệ không thỏa. Giả sử 0x ≠ , hệ ( ) 3 3 3 3 12 3 1 3 13 32 y x y y f y f x xx y x  + =   ⇔ ⇒ + = + ⇒ =     − =  với ( ) 3 3f t t t= + . Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 13 Nghiệm của hệ phương trình là ( ) 11; 1 ; ;2 . 2   − −     11) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 3log 2 6 2 log 2 1 y x xe y x y x y − += +  + + = + + + Gợi ý: Ta có ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 y x x yxe x e y e f x f y y − += ⇔ + = + ⇒ = + Nghiệm của hệ là ( )4; 4− 12) ( ) 3 2 3 2 8 3 2 1 4 0 4 8 2 2 3 0 x x y y x x y y y  − − − − =  − + + − + = 13) ( ) ( ) 3 2 3 55 64 3 3 12 51 x y xy y y x  + =  + + = + 14) ( )3 2 3 3 2 4 4 1 2 2 3 2 2 14 3 2 1 x x x x y y x x y  − + − = − −   + = − − + 15) 3 2 2 1 5 4 4 12 x y x y x xy y xy  + + + + =  + + + + + = 16) 3 3 2 2 2 2 2 3 3 1 3 2 2 0 x y x y x x y y  − − = −  + − − − + = IV-TÀI LIỆU THAM KHẢO: 1- Tuyển tập Đề thi- Đáp án ĐH Quốc gia từ 2002- 2013 Bộ giáo dục và đào tạo 2- Chuyên đề HPT Thầy Nguyễn Trường Sơn 3- Sáng tạo và giải PT- BPT- HPT Thầy Nguyễn Tài Chung 4- Tạp chí Toán học tuổi trẻ NXB Giáo dục Việt Nam 5- Tuyển tập Đề thi thử Bắc Trung Nam Thầy Hoàng Văn Minh 6- Nguồn internetGoogle.comvolet.vnBoxmath.info