Chuyên đề Hệ phương trình đại số

, thay vào (2) của hệ : 2 2 4 2 1 1 32 0 0 2 2 2 x x x x                     . Phương trình này vô nghiệm . Do đó hệ vô nghiệm . III. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Loại 1. Một phương trình của hệ có dạng : f(x)=f(y). Một phương trình cho ta biết tập giá trị của x hoặc y . Từ đó suy ra hàm số f(x) đơn điệu suy ra x=y . Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau :     3 3 8 8 5 5 1 1 2 x x y y x y        Hướng dẫn : Từ (2) suy ra : , 1x y  . Từ (1) ta xét hàm số : f(t)=  3 25 '( ) 3 5 0 1;1t t f t t t        Do vậy f(t) là một hàm số nghịch biến . Vậy để có (1) chỉ xảy ra khi x=y . Khi đó (2) trở thành :  8 8 8 8 8 8 1 1 1 1 1 1 ; ; ; ; 2 2 2 2 2 2 x x x y                    Ví dụ 2.( Ngoại thương -2000) . Giải hệ phương trình : 3 3 6 6 3 3 1 x x y y x y        Hướng dẫn : Học hinh giải ví dụ 1 , từ đó suy ra cách giải ví dụ 2. Loại 2. Hệ đối xứng mà sau khi biến đổi thường đưa về dạng f(x)=f(y) hoặc f(x)=o. Trong đó f là một hàm số đơn điệu . Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau : 2 1 2 1 2 2 3 1 2 2 3 1 y x x x x y y y               Hướng dẫn giải Đặt u=x-1;v=y-1 khi đó hệ có dạng : 2 2 1 3 1 3 v u u u v v         Trừ hai phương trình vế với vế ta có phương trình : 2 21 3 1 3u vu u v v       (*) Xét hàm số : 2 2 ( ) 1 3 '( ) 1 3 ln3 0 1 u uuf u u u f u u           . Hàm số đồng biến . Để có (*) thì chỉ xảy ra khi u=v.Thay vào (1)    2 2 21 3 ln 1 ln3 ( ) ln 1 ln3uu u u u u f u u u u             Chuyên đề: Hệ phương trình đại số Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Trang 10 2 2 2 1 11'( ) ln3 ln3 0 1 1 u uf u u u u u            . Chứng tỏ hàm số nghịch biến . Nhưng ta lại có f(0)=0 vì vậy phương trình có nghiệm u=0 và v=0 .Do đó hệ có nghiệm duy nhất : x=y=0. Ví dụ 2. ( ĐH-KA-2010 ) .Giải hệ phương trình sau :    2 2 2 4 1 3 5 2 0 4 2 3 4 7 x x y y x y x            Hướng dẫn Điều kiện : 3 5 , 4 2 x y  . Đặt :  215 2 5 2 t y y t     , thay vào (1)của hệ ta có : 2 3 3 354 3 8 2 2 t x x t x x t t              . Xét hàm số : 3 2( ) '( ) 3 1 0 ( )f x x x f x x x f x        đồng biến cho nên vế trái chẳng qua là khi t=2x . Do đó : 25 4 5 2 2 2 x y x y      . Thay vào phương trình (2) của hệ ta được : 2 2 2 5 4 3( ) 4 2 3 4 0 0; 2 4 x g x x x x                  Dễ thấy x=0 và x=3/4 không là nghiệm . Ta xét :  2 25 4 4 3'( ) 8 8 2 4 4 3 0 0; 2 43 4 3 4 g x x x x x x x x x                       , với : 1 1 ( ) 0 ; 0 2 2 g x y    là nghiệm của hệ Ví dụ 3. Giải hệ phương trình sau :     5 4 10 6 2 1 4 5 8 6 2 x xy y y x y          Hướng dẫn Điều kiện : 4 5 x   . Chia cả hai vế của phương trình (1) cho 5 0y  5 5x x y y y y                . Hàm số : 5 4( ) ; '( ) 5 1 0f t t t f t t t R       . Chứng tỏ f(t) đồng biến . Cho nên để có (*) thì chỉ xảy ra khi 2 x y x y y    Thay vào phương trình (2) ta được : 4 5 8 6 1x x x      Vậy hệ có nghiệm là : (x;y)=(1;-1) IV. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Với phương pháp này học sinh cần quan sát nắm chắc các biểu thức không âm trong hệ để có thể vận dụng các bất đẳng thức Cô si để đánh giá . Chuyên đề: Hệ phương trình đại số Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Trang 11 Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau : 2 3 2 2 23 2 2 9 2 2 9 xy x x y x x xy y y x y y               Hướng dẫn Cộng hai vế phương trình của hệ vế với vế ta có : 2 2 3 2 23 2 2 2 9 2 9 xy xy x y x x y y        . Ta có : x=y=0 là một nghiệm của hệ . Ta có :   23 2 32 9 1 8 2 2x x x VT xy xy xy          . Khi đó : 2 2 2VP x y xy   . Cho nên dấu bằng chỉ xảy ra khi : x=y=1. Vậy hệ có hai nghiệm : (x;y)=(o;0);(1;1) Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau : 3 3 3 4 2 6 2 y x x x y y          Hướng dẫn Hệ đã cho               2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 y x x x y y             Nếu y>2 từ (1)suy ra x<2 . Vô lý vì (2) vô nghiệm Nếu y<2 từ (2) suy ra x<2 . Vô lý vì (1) vô nghiệm Vậy hệ có nghiệm duy nhất : (x;y)=(x;2) Ví dụ 3.Giải hệ phương trình sau :         2 4 7 2 4 7 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x y y y y x             Hướng dẫn Dễ thấy : x=y=0 hoặc x=y=-1 là nghiệm của hệ Xét : x>0    7 2 4 2 3 4 5 6 7 71 1 1 1 1 1y x x x x x x x x x x x y x                     7 2 4 2 3 4 5 6 7 71 1 1 1 1 1x y y y y y y y y y y y x y                  Vậy hệ vô nghiệm . Tương tự khi y>0 hệ cũng vô nghiệm Xét : x<-1 71 0 1x y      Ta có : 1+      2 3 4 5 6 7 71x x x x x x x x y x          . Tương tự khi yy Hệ cũng vô nghiệm Xét trường hợp -1<x<0 . Hệ cũng vô nghiệm . Kết luận : Hệ có nghiệm : (x;y)=(0;0);(-1;-1) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Giải các hệ phương trình sau a.      2 3 3 2 2000 19 x y y NNI x ty x y        b.        2 2 2 2 2 3 98 10 y x y x MDC x ty x x y y        Chuyên đề: Hệ phương trình đại số Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Trang 12 c.       22 2 2 2 19 2001 7 x xy y x y HH x xy y x y           d.   2 2 3 2 2001 3 2 x y x TL y x y         Bài 2. Giải các hệ phương trình sau : a.     2 3 2 4 2 5 4 2008 5 1 2 4 x y x y xy xy KA x y xy x                b.   2 2 2 1 7 08 1 13 xy x y KB x y xy y        Bài 3. Giải các hệ phương trình sau : a. 4 3 2 2 3 2 1 1 x x y x y x y x xy          b.   4 3 2 2 2 2 2 9 08 2 6 6 x x y x y x CD KB x xy x           c. 2 2 12 2x y x x y y x x y          d.   2 2 1 2 2 2 3 2 2 2 2 2 4 1 0 x yx xy x y x x y x            Bài 4. Giải các hệ phương trình sau : a. 3 3 3 2 2 1 19 6 x y x y xy x        b. 3 2 2 2 2 12 0 8 12 x xy y y x        c.    2 2 2 2 1 1 5 1 1 49 x y xy x y x y                 d. 2 2 2 2 2 5 2 1 0 4 12 12 10 0 x xy y x y x y xy x y               Bài 5. Giải các hệ phương trình sau : a.     2 212 20 0 ln 1 ln 1 x xy y x y x y           b.   3 2 3 2 3 3 2 2 1 log log 3 1 2 y x x x y y x y x y x                      c.     2 3 4 6 2 2 2 2 1 1 x y y x x x y x          d. 2 6 2 2 3 2 x y x y y x x y x y             Bài 6. Giải các hệ phương trình sau a. 2 2 2 2 1 xy x y x y x y x y          b. 2 2 2 2 48 24 y x y x y x y         c. 2 2 2 3 4 6 4 4 12 3 xy x y x y x y          d. 2 2 2 2 2 0 y x y x xy y x           Bài 7. Giải các hệ phương trình sau a. 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 6 x y x y y x y xy           b. 2 2 4 2 2 1 3 2 x y y y xy x y        Chuyên đề: Hệ phương trình đại số Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Trang 13 c. 2 2 2 2 2 2 1 3 x y y x x y x          d. 3 3 3 y x y x x x y x x            Bài 8. Giải các hệ phương trình sau : a. 2 21 1 x y y x y x y           b.     2 2 2 3 4 4 7 1 2 3 xy x y x y x x y             c. 2 2 2 4 1 1 3 x y y x xy x x xy y           d. 2 3 2 2 23 2 2 9 2 2 9 xy x x y x x xy y y x y y               Bài 9. Giải các hệ phương trình sau : a.     2 5 3 4 x y xy x y xy x y xy x y xy          b.   4 4 2 2 2 2 6 41 10 x y x y xy x y        c.     2 2 2 2 1 4 2 1 7 x y xy y y x y x y           d.   3 3 2 2 4 16 1 5 1 x y y x y x         Bài 10. Giải các hệ phương trình sau : a. 2 2 2 2 2 2 1 2 1 x y x y xy x x y xy y xy            b. 2 2 2 2 2 8 6 0 4 1 0 x y x y x xy y x             c. 2 2 3 3 3 2 2 x xy y x y y x         d.     2 2 3 3 2 2 2 2 3 2 6 5 3 x y x x y x x y           Bài 11. Giải các hệ phương trình sau : a. 2 2 5 5 3 3 3 31 7 x y xy x y x y          b.     22 3 2 4 1 4 8 1 40 14 1 y x x x x x y x          c.     2 2 2 2 1 4 2 1 7 x y xy y y x y x y           d.     2 3 4 6 2 2 1 1 x y y x x x y x          Bài 12. Giải các hệ phương trình sau : a. 2 2 sinx siny 0; 4 3 8 3 1 6 2 2 1 8 x ye x x y y y                     b. 2 2 4 4 2 2 5 6 20 81 x y x y x y xy         c. 1 3 1 2 1 7 1 4 2 x x y y x y                   d.    2 2 2 4 3 5 2 0 4 2 3 4 7 x x x y y x y x            Chuyên đề: Hệ phương trình đại số Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Trang 14 ST&BS: Cao Văn Tú. Lớp: CNTT_K12D Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com Blog: www.caotu28.blogspot.com