Chuyên đề giới hạn của hàm số và sự liên tục

nhất một ( ); : ( ) 0sè c a b f c∈ = . 3. Một số thuật toán cần lưu ý: a. Xét (tìm điều kiện tham số) sự liên tục của hàm số tại điểm 0x : Bước 1: Tính ( )0f x . Tính (hoặc xác định sự tồn tại) giới hạn ( ) 0 lim →   x x f x Bước 2: So sánh ( )0f x và ( ) 0 lim →   x x f x để đưa ra kết luận ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0− + → → →    = ⇔    =   =    lim Hµm sè liªn tôc t¹i lim lim o o x x x x x x f x f x x f x f x f x b. Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (a;b). o Chứng tỏ hàm số ( )=y f x liên tục trên đoạn [ ];a b o Chứng tỏ ( ). ( ) 0<f a f b . Khi đó ( ) 0=f x có ít nhất một nghiệm thuộc ( );a b . Chuyên đề GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ SỰ LIÊN TỤC Đại số và Giải tích 11 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 2 • Muốn chứng minh : ( ) 0=f x có n nghiệm phân biệt thì ta tìm n khoảng rời nhau và trên mỗi khoảng đó ( ) 0=f x đều có nghiệm. II- LUYỆN TẬP: Bài tập 1: Xét sự liên tục của hàm số tại điểm 0x đã chỉ ra: 1) 2 9 khi 3 ( ) 3 6 khi 3  − ≠ = −  = x x f x x x tại 0 3=x 2) ( ) 2 3 2 2 7 5 khi 2 3 2 1 khi 2  − + − ≠ = − +  = x x x x f x x x x tại 0 2=x 3) ( ) 3 3 2 khi 1 1 4 khi 1 3  + + ≠ − +=   = −  x x x xf x x tại 0 1= −x 4) ( ) 1 2 3 khi 2 2 1 khi 2  − − ≠ =  −  = x x f x x x tại 0 2=x 5) ( ) 3 3 2 2 khi 2 2 3 khi 2 4  + − ≠ −=   =  x x xf x x tại 0 2=x 6) ( ) 2 khi 4 5 3 3 khi 4 2  − ≠ + −=   = x x xf x x tại 0 4=x 7) ( ) 2 4 khi 2 2 1 khi 2  + < =  + ≥ x x f x x x tại 0 2=x 8) ( ) 4 2 1 khi 1 3 2 khi 1  + − ≤ − =  + > − x x x f x x x tại 0 1= −x 9) ( ) 2 khi 0 1 khi 0  < =  − ≥ x x f x x x tại 0 0=x 10) ( ) 5 khi 5 2 1 3 3 khi 5 2 − > − −=   ≤  x x x f x x tại 0 5=x Bài tập 2: Tìm a để hàm số liên tục tại 0x đã chỉ ra: 1) ( ) 3 2 khi 1 1 1 khi 1  + − ≠ =  −  + = x x f x x a x tại 0 1=x 2) 2 2 2 khi 2 ( ) 4 khi 2  + − ≠ =  −  = x x f x x a x tại 0 2=x 3) ( ) 2 3 2 khi 1 1 4 a khi 1 2  − + < −=  − + ≥ + x x x x f x x x x tại 0 1=x 4) ( ) 3 3 2 2 khi 2 2 1 khi 2 4  + − > −=   + ≤  x x xf x ax x tại 0 2=x Bài tập 4: Tìm a để hàm số liên tục trên ℝ : 1) ( ) 2 khi 1 2 3 khi 1  < =  − ≥ x x f x ax x 2) ( ) ( ) 2 2 khi 2 1 khi 2  ≤ =  − > a x x f x a x x 3) ( ) 2 4 khi 2 2 khi 2  − ≠ = −  = x x f x x a x 4) 2 khi 1 ( ) khi 1 3 4 khi 3  <  = + ≤ ≤  − > x x f x ax b x x x Chuyên đề GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ SỰ LIÊN TỤC Đại số và Giải tích 11 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 3 5) 2sin khi 2 ( ) sin khi 2 2 cos khi 2 − < −   = + − ≤ ≤   > π x x π π f x a x b x π x x 6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 26 x 3 0 3 0 3  − − − ≠ −  = =  =  x x x x x f x a x b x Bài tập 5: Chứng minh các phương trình sau có nghiệm thoả yêu cầu đề ra: ( ) ( ) 4 2 3 2 3 0 1;1 . 6 1 0 2;2 . 1 0 2 2 + − − = − − + = − − + = = = a) 4 cã Ýt nhÊt 2 nghiÖm ph©n biÖt trªn b) 2 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt trªn c) sin cã nghiÖm. d) cos cã nghiÖm. e) cos s x x x x x x x x x x ( ) ( ) 5 4 5 3 3 2 ; 6 3 5 2 0 2;5 . 5 4 1 0 2;3 ) 6 1 2 0  − −    − + − = − − + − = − + + − = in cã Ýt nhÊt 2 nghiÖm trªn f) cã Ýt nhÊt 3 nghiÖm ph©n biÖt trªn g) cã Ýt nhÊt 3 nghiÖm ph©n biÖt trªn h cã nghiÖm d−¬ng. π x π x x x x x x x x ------------------------------------------------------------------------- MỘT SỐ BÀI TẬP CHỌN LỌC: Bài tập 1: Giả sử hai hàm số ( )=y f x và 1 2  = +    y f x đều liên tục trên [ ]0;1 và (0) (1)=f f . Chứng minh rằng phương trình 1 ( ) 0 2  − + =    f x f x luôn có nghiệm trong đoạn 1 0; 2      . Gợi ý: Đặt hàm số 1 ( ) ( ) 2  = − +    g x f x f x liên tục trên [ ]0;1 . Ta có: 1 1 1 1 (0) (0) ; (1) (0) 2 2 2 2        = − = − = −                g f f g f f f f 2 1 1 1 (0). (0) 0 0; 2 2 2       = − − ≤ ∀ ∈             g g f f x Suy ra: 1 (0). 0 ..ycbt... 2 0 1 (0). 0 1 2 2    < ⇒    ⇔  =   = ⇔   =    g g x g g x Chuyên đề GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ SỰ LIÊN TỤC Đại số và Giải tích 11 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 4 Bài tập 2: Chứng minh rằng nếu: 2 3 6 0+ + =a b c thì phương trình: 2 0+ + =ax bx c có ít nhất một nghiệm trên ( )0;1 . Gợi ý: Trường hợp1: 0≠a . Ta có: ( ) [ ] 2 2 2 4 2 (0) 3 9 3 2 (0). 4 6 9 2(2 3 6 ) 3 0 3 9 9 3 2 (0). 0 ... ... 3 2 3 02 2 2 (0). 0 0 0; 3 3 30  = = + +     ⇒ = + + = + + − = − ≤       < ⇒   ⇔  + =   = ⇔ = ⇔ ⇒ = ∈     + =     a b f c f c c c c f f a b c a b c c f f a b f f c x ax bx vµ ycbt Trường hợp 2: 0=a . Ta có: 0 3 6 0 + =  + = bx c b c * Nếu 0 0 th× b c= = và do đó phương trình có vô số nghiệm suy ra phương trình có nghiệm trên ( )0;1 . * Nếu 0≠b : ( )0 1 0;1 2 = − = ∈ b x c Bài tập 3: Cho hàm số [ ] [ ]( ) : : 0;1 0;1 = →y f x f và liên tục. Chứng minh rằng tồn tại [ ]0;1∈c sao cho: ( ) =f c c . Gợi ý: Đặt hàm số ( ) ( )= −g x f x x liên tục trên [ ]0;1 [ ] [ ]: 0;1 0;1 0 1 0 ( ) 1 L−u ý: f x f x → ≤ ≤ ≤ ≤֏ Ta có: (0) (0) 0; (1) (1) 1 0= ≥ = − ≤g f g f do [ ]0 ( ) 1 , 0;1≤ ≤ ∀ ∈f x x Lúc đó: [ ](0). (1) 0 , 0;1≤ ∀ ∈g g x Bài tập 4: Cho hàm số ( )=y f x liên tục trên đoạn [ ]1;1− . Chứng minh rằng với mọi , 0>a b cho trước, phương trình: ( 1) (1) ( ) − + = + af bf f x a b luôn có nghiệm thuộc [ ]1;1− . Gợi ý: Đặt ( 1) (1) ( ) ( ) − + = − + af bf h x f x a b liên tục trên [ ]1;1− . Ta có: [ ] [ ] [ ]2 (1) ( 1)( 1) (1) (1) (1) ; ( 1) (1)( 1) (1) ( 1) ( 1) (1) ( 1) (1). ( 1) 0, , 0 − −− + = − = + + − −− + − = − − = + + − − − ⇒ − = ≤ ∀ > + a f faf bf h f a b a b b f faf bf h f a b a b ab f f h h a b a b Chuyên đề GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ SỰ LIÊN TỤC Đại số và Giải tích 11 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 5 Bài tập 5: Cho phương trình: 2 0+ + =ax bx c ( )0≠ac . Biết rằng 2 6 19 0+ + =a b c . Chứng minh phương trình có nghiệm trên ( )0;1 . Gợi ý: Xét dấu 1 (0). 3       f f Bài tập 6: Cho phương trình: 3 2 0+ + + =ax bx cx c ( )0≠ac . Biết rằng 0 12 9 2 + + = a b c . Chứng minh phương trình có nghiệm trên ( )0;1 . Gợi ý: Xét dấu 3 (0). 4       f f Bài tập 7: Cho phương trình: 2 0+ + =ax bx c ( )0≠ac . Biết rằng 0 2001 2000 1999 + + = a b c . Chứng minh phương trình có nghiệm trên ( )0;1 . Gợi ý: Xét dấu 2000 (0). 2001       f f Bài tập 8: Cho phương trình: 4 2 0 (*)− − =x x . Chứng minh phương trình (*) có nghiệm ( )0 1;2∈x và 70 8>x . Gợi ý: Xét dấu (1). (2)f f . Chứng minh 70 8>x : ( ) 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 . 2 2 2 1;2 2 2 − − = ⇔ = + + ≥ = ∈ + > (1) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy: (2) DÊu b»ng x·y ra khi , vËy víi th× dÊu b»ng ë (2) kh«ng x·y ra. VËy ta cã: (3) Tõ (1) vµ (3) suy ra: x x x x x x x x x x 4 8 7 0 0 0 0 0 7 2 8 8 ( 8). (2) 0..... > ⇒ > ⇒ > < C¸ch kh¸c: HoÆc cã thÓ chØ râ: x x x x x f f Bài tập 9: Cho phương trình: 6 1 0 (*)− − =x x . Chứng minh phương trình (*) có nghiệm ( )0 1;2∈x và 130 4>x . Bài tập 10: Chứng minh các phương trình sau đây luôn có nghiệm với bất kỳ giá trị nào của tham số m : 3a) cos cos2 =0 b) ( 1) ( 2) 2 3 0+ − + + + =x m x m x x x Gợi ý: ( ) 3 1 3 1 ( ) . 4 42 2 3 1 . 0..... 4 4 2 ( ) ( 1) ( 2) 2 3. (1) 5 ( 2) 1 1 .    = + = = −            = − <        = − + + + = − = − − a) §Æt cos cos2 Ta cã: vµ Suy ra: b) §Æt Ta cã: vµ Suy ra: π π f x x m x f f π π f f f x m x x x f f f f ( )2 1 0.....= − < Chuyên đề GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ SỰ LIÊN TỤC Đại số và Giải tích 11 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 6 Bài tập 11: Chứng minh các phương trình sau đây luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số : ( )2 4 2 7 3 a) 1 2 2 0 b) ( 16) ( 6) 0 c) ( 1)( 2) (2 3) 0 d) (2cos 2) 2sin 5 1 + + + − = − + − = − − + − = − = + m m x x m x x x m x x x x m x x Bài tập 12: Chứng minh với mọi , , a b c các phương trình sau đây luôn có nghiệm: a) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 b) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 − − + − − + − − = − − + − − + − − = a x b x c b x c x a c x a x b ab x a x b ac x c x a bc x b x c Gợi ý: 2 2 2 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) (0) 3 (0) ( ) ( ) ( ) 3 a) §Æt Ta cã liªn tôc trªn vµ: f x a x b x c b x c x a c x a x b f x f a a a b a c f b b b c b a f c c c b c a f abc f f a f b f c a b c = − − + − − + − − = − −  = − −  = − −  = ⇒ = − ℝ ( ) 2 2 2 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 (0) ( ) 0 0 hoÆc Tån t¹i sao cho (®pcm) a b b c c a f a f b f f c x f x − − − ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ = Bài tập 13: a) Chứng minh rằng phương trình: 3 2 1 1000 0 100 − − =x x có ít nhất một nghiệm dương. b) Chứng minh rằng với mọi số thực , , a b c phương trình: 3 2 0+ + + =x ax bx c có ít nhất một nghiệm Gợi ý: ( ) ( ) 3 2 1( ) 1000 100 1 (0) 0 ( ) 0 0 100 (0). 0 .... ( ) , , ( ) a) §Æt liªn tôc trªn Ta cã: vµ lim suy ra víi sè tuú ý th× Lóc ®ã: lim b) , lim D x x x f x x x f f x M f M f f M f x a b c f x →+∞ →+∞ →−∞ = − − = − > < ⇒ = +∞ ∀ ∈ = −∞ ℝ ℝ ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ). ( ) 0 ... ... o lim nªn tån t¹i tuú ý sao cho: T−¬ng tù: lim nªn tån t¹i tuú ý sao cho: Tõ ®ã suy ra: ycbt. x x f x A f A f x B f B f A f B →+∞ →−∞ = +∞ > > = −∞ < < < ⇒