Chuyên đề: Đường tròn

uyến BD, CE với (A) (D,E là các tiếp điểm khác H). Chứng minh rằng: a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng. b) DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC Hướng dẫn: a) Chứng minh Þ D, A, E thẳng hàng b) Gọi O là trung điểm của BC. Ta cần chứng minh DE vuông góc với bán kính OA tại A. DẠNG 3: Chứng minh đẳng thức hình học (dạng toán dành cho học sinh giỏi): I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI: b1: Xác định những đoạn tiếp tuyến bằng nhau b2: Biến đổi các vế, hoặc một trong hai vế bằng với vế còn lại của đẳng thức. b3: Hoặc dùng phép tính cộng diện tích và phương pháp diện tích; một số đẳng thức hình học có liên quan II. BÀI TẬP TRÊN LỚP: Cho (I) nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA theo thứ tự tại D, E, F. Chứng minh rằng: 2AD=AB+AC – BC Giải Ta có: AB, BC, AC là các tiếp tuyến của (I) Þ DB=BE; AD=AF; CE=CF Đặt: DB=BE=y; AD=AF=x; CE=CF=z Ta lại có: x+y=AB (1); x+z=AC (2); y+z=BC (3) + Cộng từng vế (1), (2), (3), ta được: x+y+z = (4) +trừ (4) cho (2) theo vế, ta được: x= – BC Hay AD= – BC Þ2AD = AB+AC–BC (đpcm) z z y y x x E F A B D C I Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn. Qua điểm M bất kì thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D. Chứng minh rằng: a) b) CD=AC+BD c) Tích AC,BC không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn. Giải a) Xét nửa (O), có AC, AM là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại C Þ Ô1 = Ô2, AC=CM (1) MD, BD là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại D Þ Ô3 = Ô4 ; MD=MB (2) Mà Ô1 + Ô2 + Ô3 + Ô4 =1800 Þ 2 Ô2 + 2 Ô3 =1800 ÞÔ2 + Ô3 =1800 : 2 = 900 Vậy (đpcm) b) Ta có CD = CM + MD (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra CD = AC + BD (đpcm) D C O 4 3 2 1 M y x A B c) Ta có đường kính AB cố định Gọi R là bán kinh (O) suy ra R không đổi. Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong DCOD vuông tại O, ta được: OM2 = CM . MD Þ R2 = AC . BD Vậy tích AC.BD không đổi (=R2) III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Từ M ở ngoài đường tròn (O;R), kẻ đường thẳng qua O cắt đường tròn tại hai điểm A và B. a) Chứng minh rằng: MA.MB=MO2 – R2 b) Kẻ cát tuyến thứ hai MCD với đường tròn. Chứng minh MC.MD= MA.MB Hướng dẫn: a) ta có MA=MO – OA (1); MB = MO + OB (2) Thay (1) và (2) vào Vế trái MA.MB thực hiện phép tính, biến đổi thành vế phải. b)Kẻ OI^CD, sử dụng các đẳng thức MC=MI – IC ; MD = MI + ID và IC=ID thay vào vế trái của đẳng thức, biến đổi thành vế phải. Một đường thẳng d cố định nằm ngoài đường tròn (O;R). Lấy M bất kì nằm trên d. Từ M kẻ hai tiếp tuyến MP và MQ đến đường tròn (O) (P, Q là các tiếp điểm). Kẻ OH vuông góc với d. Dây cung PQ cắt OH ở I, cắt OM ở K. Chứng minh rằng: a) OH.OI=OM.OK=R2 b) Khi M thay đổi trên đường thẳng d thì vị trí của I luôn luôn cố định? Hướng dẫn: a)+ Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, hệ thức lượng trong tam giác vuông MQO tính R theo OM và OK +chứng minh hai tam giác OKI và OHM đồng dạng, lập tỉ số đồng dạng, biến đổi thành đẳng thức của đề bài. b) (O) cố định, d cố định Þ OH cố định Vận dụng kết quả câu a, suy luận I cố định. CHỦ ĐỀ 5: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI CỦA ĐƯỜNG TRÒN: A. TÓM TẮT KIẾN THỨC: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN (O;R) VÀ (O’;r) SỐ ĐIỂM CHUNG HỆ THỨC GIỮA OO’ VÀ R, r (R>r) Hai đường tròn cắt nhau 2 R – r < OO’ < R+r Hai tiếp xúc nhau: * Tiếp xúc ngoài * Tiếp xúc trong 1 OO’ = R + r OO’ = R – r Hai đường tròn không giao nhau: * Ở ngoài nhau * (O) đựng (O’) 0 OO’ > R + r OO’ < R – r * Tính chất của đường nối tâm: Đường nối tâm là trục đối xứng của hình gồm cả hai đường tròn. Hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm vuông góc với dây chung và đi qua trung điểm của dây chung ấy. Hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm. H A B O O' R r O O' * Tiếp tuyến chung của hai đường tròn: Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó. Tiếp tuyến chung ngoài là tiếp tuyến chung không cắt đoạn nối tâm. Tiếp tuyến chung trong là tiếp tuyến chung cắt đoạn nối tâm. B. CÁC DẠNG TOÁN: DẠNG 1: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn: I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Xét (O;R) và (O’,r): Xác định đoạn nối tâm OO’ So sánh OO’ với R+r hoặc R – r (R>r) rồi trả lời vị trí tương đối II. BÀI TẬP TRÊN LỚP: Cho đường tròn (O) bán kính OA và đường tròn đường kính OA a) Hãy xác định vị trí tương đối của đường tròn (O) và đường tròn đường kính OA b) Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C. Chứng minh rằng AC = CD Giải a) Gọi (O’) là đường tròn đường kính OA Ta có: đoạn nối tâm OO’=OA – O’A Vậy (O’) tiếp xúc trong với (O) tại A. b) Ta có: DACO có cạnh OA là đường kính của (O’) ngoại tiếp nên DACO vuông tại C ÞCO^AC Xét (O) có CO^AC Þ AC = CD C O' O D A Cho hai đường tròn (O;2cm) và (O’;3cm), OO’ = 6cm a) Hai đường tròn (O), (O’) có vị trí tương đối như thế nào với nhau? b) Vẽ (O’;1cm) rồi kẻ tiếp tuyến OA với đường tròn đó (A là tiếp điểm). Tia O’A cắt đường tròn (O’;3cm) ở B. Vẽ bán kính OC của (O) song song với O’B; B và C cùng thuộc một nửa mặt phẳng có bờ OO’. Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O;2cm) và (O’;3cm). Giải I C B O O' a) Ta có: OO’ = 6 > 2+3 nên (O) và (O’) ở ngoài nhau b) Tứ giác ABCO có AB//CO, AB=CO nên ABCO là hình bình hành Ta lại có: Â = 900 Do đó: ABCO là hình chữ nhật. Suy ra Mà BÎ(O’), CÎ(O) Nên: BC là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Vẽ các đường tròn (I;IA) và (B;BA) a) Hai đường tròn (I) và (B) nói trên có vị tri tương đối như thế nào? Vì sao? b) Kẻ một đường thẳng đi qua A, cắt các đường tròn (I), (B) theo thứ tự tại M và N. So sánh độ dài AM và MN? Hướng dẫn: a)( I) và (B) tiếp xúc trong b) chứng minh và sử dụng tính chất đường kính vuông góc với dây cung, suy ra AM=MN Cho (O;R), điểm A nằm ngoài đường tròn (R<OA<3R). Vẽ đường tròn (A;2R) a) Đường tròn (O) và (A) có vị trí như thế nào với nhau? b) Gọi B là một giao điểm của hai đường tròn trên. Vẽ đường kính BOC của (O). Gọi D là giao điểm (khác C) của AC và (O). Chứng minh rằng AD=DC. Hướng dẫn: a) (O) và (A) cắt nhau b) Chứng minh DABC cân và BD là đường cao ÞAD=DC DẠNG 2: Chứng minh hai đường tròn cắt nhau, tiếp xúc, ...: I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Sử dụng tính chất đường nối tâm. Kẻ tiếp tuyến chung để sử dụng tính chất đặc trưng và tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau. Đường nối tâm là trục đối xứng của hình gồm cả hai đường tròn. II. BÀI TẬP TRÊN LỚP: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ nửa đường tròn tâm O’đường kính OA. Vẽ dây cung AC của (O) cắt nửa (O’) tại D. Chứng minh: a) Đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc tại A. b) OD//OC Giải a) Ta có: A, O’, O thẳng hàng OO’=OA – O’A = R – r Þ (O) và (O’) tiếp xúc trong tại A (đpcm) b) Ta có: DAO’D cân (O’A=O’D=r) (1) DAOC cân (OA=OC=R) (2) Từ (1) và (2): Mà và ở vị trí đồng vị Nên OC//O’D (đpcm) _ C _ 1 _ 1 _ 1 _ O ' _ D _ O _ B _ A Cho đoạn thẳng OO’=13cm. Dựng đường tròn (O;12cm) và (O’;5cm). a) Chứng tỏ (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. b) Vẽ đường kính AC của (O) và AD của (O’). Chứng minh rằng ba điểm C, B, D thẳng hàng. Giải a) Ta có: 13 < 12 + 5 Þ OO<R + r Nên (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B b) Xét (O): có AC là đường kính; BÎ(O) Þ Xét (O’): có AD là đường kính; BÎ(O’) Þ Do đó: Suy ra: A, B, D thẳng hàng (đpcm) _ C _ O _ O ' _ A _ B _ D III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Cho đoạn thẳng OO’ và điểm A nằm giữa hai điểm O và O’. Vẽ đường tròn (O;OA) và đường tròn (O’; O’A). Qua A vẽ đường thẳng cắt (O) tại B và cắt (O’) tại C. a) Chứng minh (O) và (O’) tiếp xúc nhau. b) Vẽ đường kính BD của (O) và CE của (O’), chứng minh D,A,E thẳng hàng. Hướng dẫn: a) Chứng tỏ OO’=OA+O’A b) Sử dụng kết quả: Qua A chỉ có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với DE (AÎDE) +D, A, E thẳng hàng +BA^DA và EA^AC. Cho DABC vuông tại A, AB=6cm, AC=8cm, đường cao AH. Đường tròn tâm O đường kính AH cắt AB tại D, đường tròn (O’) đường kính CH cắt AC tại E. a) Chứng tỏ (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm phân biệt b) Chứng minh rằng đường thẳng DE là tiếp tuyến của (O’) Hướng dẫn: a) (Áp dụng định lí Pitago và hệ thức lượng trong tam giác vuông) Tính bán kính của (O) và bán kính của (O’), rồi so sánh với OO’. Chứng tỏ OO’<R+r b) Chứng minh EÎ(O’) và O’E^DE BÀI TẬP TỔNG HỢP CHO CÁC CHỦ ĐỀ: Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ điểm A bên ngoài đường tròn, kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Từ B, kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường tròn tại D (D khác B). Nối AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K. Nối BK cắt AC tại I a. Chứng minh tứ giác ABOC có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn. b. Chứng minh rằng : IC2 = IK.IB. c. Cho chứng minh ba điểm A, O, D thẳng hàng. Giải a) Ta có ( t/c tiếp tuyến) Vậy tứ giác ABOC nội tiếp Hay tứ giác ABOC có bốn đỉnh cùng thuộc một đường tròn. O I K D A B C b) xét IKC và IC B có (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung CK) c) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung BC) Mà BD//AC (gt) ( so le trong) Mà AB = AC (t/c 2tt cắt nhau); OB = OC = R Do đó 3 điểm A, O, D cùng thuộc đường trung trực của BC Vậy 3 điểm A, O, D thẳng hàng. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và H là trực tâm.Vẽ hình bình hành BHCD.Đường thẳng đi qua D và song song BC cắt đường thẳng AH tại E. Chứng minh A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn Chứng minh Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và M là trung điểm của BC,đường thẳng AM cắt OH tại G. Chứng minh G là trọng tâm của tam giácABC. Giải 1) 2) Học sinh tự giải 3) Vì BHCD là HBH nên H,M,D thẳng hàng Tam giác AHD có OM là đường trung bình Þ AH = 2 OM Và AH // OM Xét DAHG và DMOG có (đ đ) ∽ Hay AG = 2MG Tam giác ABC có AM là trung tuyến; G AM Do đó G là trọng tâm của tam giác ABC D G M O E H A C B Hết