Chuyên đề Các bài toán về số và chữ số

bị trừ và số trừ đều chia hết cho 2 thì hiệu của chúng cũng chia hết cho 2. - Nếu một số hạng chia hết cho 2 và các số hạng còn lại không chia hết cho 2 thì tổng của chúng cũng không chia hết cho 2. - Nếu số bị trừ hoặc số trừ chia hết cho 2, số trừ hoặc số bị trừ không chia hết cho 2 thì hiệu của chúng cũng không chia hết cho 2. Cũng có tính chát tương tự đối với trường hợp chia hết cho 3,4,5,9... Bài 1: Không làm phép tính, hãy xét xem các tổng và hiệu dưới đây có chia hết cho 3 hay không? a) 240 + 123 b) 240 – 123 c) 459 + 690 + 1236 d) 2454 + 374 Lời giải: Ta thấy 240 và 123 đều chia hết cho 3 nên: a) 240 + 123 chia hết cho 3. b) 240 – 123 chia hết cho 3. c) 459, 690 và 1236 đều chia hết cho 3 nên 459 + 690 + 1236 chia hết cho 3. d) 2454 chia hết cho 3 và 734 không chia hết cho 3 nên 2454 + 374 không chia hết cho 3. Bài 2: Tổng kết năm học 2007- 2008, một trường tiểu học có 462 học sinh tiên tiến và 195 học sinh giỏi. Ban giám hiệu dự định thưởng cho mỗi học sinh giỏi nhiều hơn học sinh tiên tiến 2 quyển vở. Cô văn phòng nhẩm tính phải mua 1996 quyển thì đủ phát thưởng. Hỏi cô văn phòng đã tính đúng hay sai? Giải thích tại sao ? Lời giải: Ta nhận thấy: Số học sinh tiên tiến và số học sinh giỏi đều là những số chia hết cho 3, vì vậy số vở phát thưởng cho mỗi loại học sinh phải là một số chia hết cho 3. Suy ra tổng số vở phát thưởng cũng là một số chia hết cho 3, mà 1996 không chia hết cho 3. Vậy cô văn phòng đã tính sai. IV. Các bài toán về phép chia có dư. Những tính chất cần lưu ý: 1. Nếu a chia cho 2 dư 1 thì chữ số tận cùng của a phải là 1, 3,5, 7 hoặc 9. 2. Nếu a chia cho 5 dư 1 thì chữ số tận cùng của a phải bằng 1 hoặc 6. Tương tự, trường hợp dư 2 thì chữ số tận cùng phải là 2 hoặc 7; dư 3 thì tận cùng là 3 hoặc 8; dư 4 tận cùng là 4 hoặc 9. 3. Nếu a và b có cùng số dư khi chia cho 2 thì hiệu của chúng chia hết cho 2. Tương tự, ta có trường hợp chia hết cho 3, 4, 5 hoặc 9. Bài 1: Cho a = .Hãy thay x, y bởi những chữ số thích hợp để khi chia a cho 2, 5 và 9 đều dư 1. Lời giải: Ta nhận xét: - a chia cho 5 dư 1 nên y phải bằng 1 hoặc bằng 6. - Mặt khác a chia cho 2 dư 1 nên y phải bằng 1. Số phải tìm có dạng a = . - chia cho 9 dư 1 nên x + 4+5+9+1 = x+ 19 dư 1. Vậy x phải chia hết cho 9 vì 19 chia cho 9 dư 1. Suy ra x = 9. Số phải tìm là 94591. Bài 2: Cho a = . Hãy thay x, y bằng những chữ số thích hợp để dược một số có 3 chữ số khác nhau chia cho 2,3 và 5 đều dư 4. ................................................................. V. Vận dụng tính chất chia hết và phép chia có dư để giải các bài toán có lời văn. Bài 1: Cho 3 tờ giấy. Xé mỗi tờ thành 4 mảnh. Lờy một số mảnh và xé mỗi mảnh thành 4 mảnh nhỏ, sau đó lại lấy một số mảnh xé thành 4 mảnh nhỏ...Khi ngừng xé theo quy luật trên ta đếm được 1999 mảnh lớn nhỏ cả thảy. Hỏi người ấy đếm đúng hay sai ? Giải thích tại sao? Lời giải: Khi xé một mảnh thành 4 mảnh thì số mảnh tăng thêm là 3. Lúc đầu có 3 mảnh, sau mỗi đợt xé số mảnh tăng thêm sẽ chia hết cho 3 nên tổng số mảnh lớn nhỏ sau mỗi đợt xé phải chia hết cho 3. Số 1999 không chia hết cho 3 nên người ấy đã đếm sai. Bài 2: Một cửa hàng rau quả có 5 rổ đựng cam và chanh (trong mỗi rổ chỉ đựng một loại quả). Số quả trong mỗi rổ lần lượt là 104,115,132,136 và 148 quả. Sau khi bán được một rổ cam, người bán hàng thấy số chanh còn lại gấp 4 lần số cam. Hỏi cửa hàng đó có bao nhiêu quả mỗi loại? Lời giải: Tổng số cam và chanh của cửa hàng là” 104+115+132+136+148 = 635(quả) Số chanh còn lại gấp 4 lần số cam cho nên số quả chanh và số quả cam còn lại phải chia hết cho 5. Tống số 635 quả chia hết cho 5, vì vậy số quả cam đã bán phải chia hết cho 5. Trong 5 rổ cam và chanh của cửa hàng chỉ có rổ đựng 115 quả là chia hết cho 5, vậy cửa hàng đã bán rổ đựng 115 quả cam. Số cam còn lại bằng số quả chưa bán. Mặt khác: ( 104+132+136+148): 5 = 104 (quả) Trong 4 rổ còn lại chỉ có rổ đựng 104 quả là có số quả bằng số quả còn lại. Vậy theo đầu bài 104 quả là rổ cam và 3 rổ đựng 132,136,148 quả là các rổ chanh. Số cam của cửa hàng có là: 104+115 = 219(quả) Số chanh của cửa hàng có là: 635-219 = 416(quả) Đáp số : 219 quả cam và 416 quả chanh. Bài 3: Một cửa hàng dồ sắt có 7 thùng đựng 2 loại đinh 5 phân và 10 phân (mỗi thùng chỉ đựng một loại đinh). Số đinh trong mỗi thùng theo thứ tự là 24kg, 26kg, 30kg, 37kg, 41kg, 55kg và 58 kg. Sau khi bán hết 6 thùng và chỉ còn một thùng đinh 10 phân, người bán hàng thấy rằng trong số đinh đã bán, đinh 10 phân gấp 3 lần đinh 10 phân. Hỏi cửa hàng đã có bao nhiêu kilôgam đinh mỗi loại? ************************************ Chuyên đề 4. Các bài toán về phân số I. Các bài toán về cấu tạo số: Một số kiến thức cần lưu ý: 1. Để kí hiệu một phân số có tử số bằng a, mẫu số bằng b ( với a và b là STN # 0) ta viết: - Một số b chỉ số phần bằng nhau được chia ra từ 1 đơn vị, tử số a chỉ số phần được lấy đi. - Phân số còn hiểu là thương của phép chia a:b 2. Mỗi số TN a có thể coi là một phân số có mẫu số bằng 1: 3. Phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số thì nhỏ hơn 1; phân số có tử số lớn hơn mẫu số thì phân số đó lớn hơn 1. 4. Nếu nhân cả tử số và mẫu số của một phân số với một số TN khác 0 thì được một phân số mới bằng phân số đã cho: = ( n#0) 5. Nếu ta chia cả.................................bằng phân số đã cho. 6. Phân số có mẫu số bằng 10, 100, 1000,.....gọi là phân số thập phân. 7. Nếu ta cộng cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số hoặc trừ cả tử số và mẫu số đi cùng một số thì hiệu giữa tử số và mẫu số không thay đổi. Bài 1: Cho phân số . Cộng thêm vào tử số và mẫu số của phân số đó với cùng một số tự nhiên ta được phân số mới bằng phân số . Tìm số tự nhiên được cộng thêm? Lời giải: Hiệu của mẫu số và tử số của phân số đã cho là : 7 – 3 = 4 (đơn vị). Khi ta cộng vào cả tử số và mẫu số với cùng một số tự nhiên thì hiệu giữa mẫu số và tử số của phân số mới vẫn bằng 4. Đối với phân số mới ta có sơ đồ sau : 4 Tử số: Mẫu số : Số phần bằng nhau của mẫu số mới nhiều hơn tử số là: 9 – 7 = 2 (phần) Tử số của phân số mới là : 4 : 2 7 = 14 Số tự nhiên cộng thêm là : 14 – 3 = 11 Đáp số : 11. Bài 2. Rút gọn các phân số sau: a) (100 chữ số 9 ở tử số và 100 chữ số 9 ở mẫu số) b) . Lời giải: a) Ta nhận xét : 999...95 = 5 199...9 100 CS 100CS Vậy : = b) Ta có : = = II. So sánh phân số: Những kiến thức cần nhớ: 1.Muốn quy đồng mẫu số..................................... 2. Khi so sánh hai phân số: - Có cùng mẫu số : ta so sánh hai tử số, phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn. - Không cùng mẫu số thì ta quy đồng mẫu số rồi so sánh hai tử số của các phân số đã quy đồng được. 3. Các phương pháp khác : - Nếu hai phân số có cùng tử số thì phân số nào có mẫu số lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn. - So sánh qua một phân số trung gian: < và < thì <. - So sánh “phần bù” với 1 của mỗi phân số : 1 - . - So sánh “phần hơn” với 1 của mỗi phân số: - 1 < - 1 thì < . Bài 1: Hãy so sánh các cặp phân số sau bằng cách nhanh nhất: a) và ; b) và ; c) và . Lời giải: a) Ta có : > và > vậy >. b)Ta có: 1- = và 1- = mà : > nên < c) Ta có : = 1 + và = 1 + mà < nên < . Bài 2: Hãy viết 5 phân số khác nhau nằm giữa hai phân số: và Lời giải: Ta có. = = và = = mà: = < <<<<< = Vậy 5 phân số thoả mãn điều kiện của đầu bài là: ; ; ; ; Bài 3. Hãy so sánh các cặp phân số sau bằng cách nhanh nhất: a) và ; b) và; c)và . Bài 4. Hãy viết 10 phân số khác nhau nằm giữa 2 phân số sau: và . ...................................................... III. Thực hành 4 phép tính trên phân số: Một số kiến thức cần lưu ý: 1.Phép cộng: - Cộng hai phân số cùng mẫu số ( Quy tắc SGK). - Cộng hai phân số khác mẫu số ( Quy tắc SGK). 2. Phép trừ ương tự phép cộng ). 3. Phép nhân ( Quy tắc SGK). 4. Phép chia ( Quy tắc SGK). 5. Các tính chất của phép tính trên phân số. - Tính chất giao hoán. - Tính chất kết hợp. - Tính chất phân phối. Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau bằng cách nhanh nhất: a) + + + ++ b) Lời giải: a) + + + ++= ( + ) + ( + ) + ( + ) = + + = 1 + 2 + 2 = 5. b) = ( ) ( ) = () = = = 1. Bài 2. Phân tích các phân số dưới đây thành tổng của các phân số có mẫu số khác nhau và tử số đều bằng 1. a) ; b) Lời giải: a) 35 = 15 7 và 13 = 1+ 5 + 7 Vậy: = + + b) 16 = 1 2 2 2 2 và 16 = 1 + 2 + 8 Vậy : = + + Bài 3: Trong phong trào thi đua lập thành tích chào mừng ngày 20 – 11, học sinh trường tiểu học Kim Đồng đã đạt được số điểm 10 như sau: Số điểm 10 của khối 1 bằng tổng số điểm 10 của 4 khối còn lại; số điểm 10 của khối 2 bằng tổng số điểm 10 của 4 khối còn lại; số điểm 10 của khối 3 bằng tổng số điểm 10 của 4 khối còn lại; số điểm 10 của khối 4 bằng tổng số điểm 10 của 4 khối còn lại và khối 5 đạt được 101 điểm 10. Hỏi toàn trường đã đạt được bao nhiêu điểm 10 và mỗi khối đạt được bao nhiêu điểm 10? Lời giải: Gọi số điểm 10 của khối 1 là 1 phần thì số điểm 10 của 4 khối còn lại là 3 phần như thế và số điểm 10 của cả trường là: 3 + 1 = 4 phần như thế. Vậy số điểm 10 của khối 1 bằng tổng số điểm 10 của toàn trường. Lập luận tương tự ta có : - Số điểm 10 của khối 2 bằng tổng số điểm 10 của toàn trường. - Số điểm 10 của khối 3 bằng tổng số điểm 10 của toàn trường. - Số điểm 10 của khối 4 bằng tổng số điểm 10 của toàn trường. Phân số biểu diễn số điểm 10 của 4 khối trên là : + + + = ( tổng số điểm 10 của toàn trường ) Số điểm 10 của toàn trường là : 101 : = 420 (điểm) Số điểm 10 của khối 1là : 420 = 105 (điểm) Số điểm 10 của khối 2 là : 420 = 84 (điểm) Số điểm 10 của khối 3 là : 420 = 70 (điểm) Số điểm 10 của khối 4 là : 420 = 60 (điểm) Đáp số : Toàn trường: 420 điểm; khối 1: 105 điểm; khối 2: 84 điểm; khối 3: 70 điểm; khối 4: 60điểm. Bài 4: Tính bằng cách thuận tiện nhất: a) + + + + + + b) + + c) + + + + + + + Bài 5: Tính bằng cách thuận tiện nhất: ......................................................................................................................